小学数学精讲教案3_2_4 环形跑道问题 教师版

小学数学精讲教案3_2_4 环形跑道问题 教师版

1、 掌握如下两个关系： （1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析 3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决 多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合 理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 　 同一出发点 直径两端 同向：路程差 nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和 nS nS-0.5S 模块一、常规的环形跑道问题 【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走 66 米，麻雀每 分钟走 59 米．经过几分钟才能相遇? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】黄莺和麻雀每分钟共行 （千米），那么周长跑道里有几个 米，就需要几分钟，即 （分钟）． 【答案】 分钟 【巩固】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。 已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试 【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟） 10 次相遇共用：4×10=40（分钟） 环形跑道问题 教学目标 知识精讲 66 59 125+ = 125 500 (66 59) 500 125 4÷ + = ÷ = 4 王老师 40 分钟行了：55×40=2200（米） 2200÷480=4（圈）……280（米） 所以正好走了 4 圈还多 280 米，480－280=200（米） 答：再走 200 米回到出发点。 【答案】200 米 【例 2】 上海小学有一长 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑 米，小 胖每秒钟跑 米， 小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？ 小亚第二次追上小胖两人 各跑了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛 【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要 秒，小亚跑了 （米）。 小胖跑了 （米）；第一次追上时，小胖跑了 圈，小亚跑了 圈，所以第二次追上时， 小胖跑 圈，小亚跑 圈。 【答案】小胖跑 圈，小亚跑 圈 【巩固】 小张和小王各以一定速度，在周长为 米的环形跑道上跑步．小王的速度是 米/分．⑴小张 和小王同时从同一地点出发，反向跑步， 分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张 和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是 （米/分）． ⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间 是： （分）． （圈）． 【答案】⑴ 米/分 ⑵ 圈 【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 (分钟)． 【答案】 分钟 【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长 800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据 ，可知小新第一次超过正南需要： (分钟)，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要 (分钟)． 【答案】 分钟 【巩固】 幸福村小学有一条 200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑 6 米， 晶晶每秒钟跑 4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶时两人各跑 了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一 次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 米)，又知道了冬冬和晶晶的 速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程． ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间： (秒) ②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为： (米) ③晶晶第一次被追上时所跑的路程： (米) ④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数： (圈) ⑤晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数： (圈) 【答案】 圈 【巩固】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是 400 米的环形跑道，小刚对小明说：“咱们 比比看谁跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果 10 分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学 300 6 4 (1) (2) 300 (6 4) 150÷ − = 6 150 900× = 4 150 600× = 2 3 4 6 4 6 500 200 1 500 1 200 300÷ − = 500 (300 200) 5÷ − = 300 5 500 3× ÷ = 300 3 400 450 250 2÷ − =（ ） 2 S v t=差 差 800 250 210 20÷ − =（ ） 800 3 250 210 60× ÷ − =（ ） 60 200 6 4 100÷ − =（ ） 6 100 600× = 4 100 400× = 600 2 200 6× ÷ =（ ） 400 2 200 4× ÷ =（ ） 4 们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑 140 米，那么如果小明第 次从背后追上小刚时， 小刚一共跑了 米． 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级 【解析】 米， 米。 【答案】 米 【巩固】 如图 1，有一条长方形跑道，甲从 A 点出发，乙从 C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每 秒跑 5 米，乙每秒跑 4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了 圈。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】 (10+6)÷(5-4.5)=32 秒，甲跑了 5×32÷32=5 圈 【答案】5 圈 【例 3】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时 同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题．同地出发，其实追及路程或相隔 距离就是环形道一周的长．这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度．环形道一周的长度 可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为： (米/分)， 所以路程差为： (米)，即环形道一圈的长度为 2250 米．所以反向出发的相遇时间 为： (分钟)． 【答案】 分钟 【巩固】 两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向而行， 45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】（4+3）×45=315 米——环形跑道的长（相遇问题求解）315÷（4-3）=315 秒——（追及问题求解） 【答案】315 秒 【巩固】 一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发，经过多 少分钟两人相遇 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟 【答案】8 分钟 【巩固】 甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒 钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】176 【答案】176 【例 4】 在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背 向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间 的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离 又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数 量关系为：路程和 速度和 相遇时间．同向而行 2 分 30 秒相遇，2 分 30 秒＝150 秒，两个人 的速度和为： （米/秒），背向而跑则半分钟即 30 秒相遇，所以两个人的速度差为： 3 140 10 400 1000× − = 1000 3 3000× = 3000 250 200 50− = 50 45 2250× = 2250 250 200 5÷ + =（ ） 5 ÷ = 300 150=2÷ （米/秒）.两人的速度分别为： (米/秒)， (米/秒) 【答案】 米/秒 【巩固】 在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而 行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】甲乙的速度和为： (米/秒)，甲乙的速度差为： (米/秒)，甲的速度为： (米/秒)，乙的速度为： (米/秒)． 【答案】 米/秒 【例 5】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。 已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人每共走 1 圈相遇 1 次，用时 480÷(55+60)=4(分)，到第 10 次相遇共用 40 分钟，王老师共走了。 55×40=2200（米），要走到出发点还需走，480×5-2200=200（米） 【答案】200 米 【巩固】 在周长为 200 米的圆形跑道—条直径的两端，甲、乙两人分别以 6 米/秒，5 米/秒的骑车速度同 时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是 ＝100(米)．所需要的时间是 (秒)以后，两 人每隔 (秒)相遇一次因为 ＝53.3， 16 分钟内二人相遇 53 次. 【答案】53 次 【巩固】 在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔 4 分钟相遇一次；如果两人从同处 同向同时跑，每隔 20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是 1600 米，那么两人的速度分别是 多少？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人反向沿环形跑道跑步时，每隔 4 分钟相遇一次，即两人 4 分钟共跑完一圈；当两人同向跑步 时，每 20 分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要 20 分钟．两人速度和为： ( 米 / 分 ) ， 两 人 速 度 差 为 ： ( 米 / 分 ) ， 所 以 两 人 速 度 分 别 为 ： (米/分)， (米/分) 【答案】 米/分 【例 6】 甲、乙二人在操场的 400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后 6 分 甲第一次超过乙，22 分时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面 多少米？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】150 米。提示：甲超过乙一圈（400 米）需 22－6＝16（分）。 【答案】16 分 【例 7】 在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发， 按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。 那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25 （秒），休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这 300 30=10÷ 10 2 2 4− ÷ =（ ） 10 4 6− = 6 400 40 10÷ = 400 200 2÷ = 10 2 2 6+ ÷ =（ ） 10 2 2 4− ÷ =（ ） 4 200 2 100 11 200 2 10060 16 111 200 11 × − + 1600 4 400÷ = 1600 20 80÷ = 400 80 2 240+ ÷ =（ ） 400 240 160− = 160 时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。 【答案】140 秒 【例 8】 在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人 改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】由题意可知，两人的速度和为 ，速度差为 可得两人速度分别为 和 所以两人跑一圈分别需要 6 分钟和 12 分钟． 【答案】6 分钟和 12 分钟 【例 9】 有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同 时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道 上同一处? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】由题意知道：甲走完一周需要时间为 300÷120= （分）；乙走完一周需要时间为 300÷100=3（分） 丙走完一周需要时间为 300÷700= ，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为： 分 【答案】 分 【例 10】 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲行走 45 分钟，再行走 70－45=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45 分钟，乙行走 45 分钟也能走 完一圈.所以甲行走 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程．甲行走一圈需 70 分钟，所以乙 需 70÷25×45=126 分钟．即乙走一圈的时间是 126 分钟． 【答案】126 分钟 【例 11】 林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米， 那么她的后一半路程跑了多少秒？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】设总时间为 X，则前一半的时间为 X/2，后一半时间同样为 X/2 X/2*5+X/2*4=450 X=100 总共跑了 100 秒 前 50 秒每秒跑 5 米，跑了 250 米 后 50 秒每秒跑 4 米，跑了 200 米 后一半的路程为 450÷2=225 米 后一半的路程用的时间为（250-225）÷5+50=55 秒 【答案】55 秒 【巩固】 某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米， 则他后一半路程跑了多少秒？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】44 【答案】44 【例 12】 甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米， 乙速 度是每小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇， 在过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？ 1 4 1 12 1 1 124 12 6  + ÷ =   1 1 124 12 12  − ÷ =   5 2 30 7 [ ] ( ) 5,30,35 30 30, ,3 302 7 2,7,1 1   = = =   30 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】30 分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这 0.6 千米用了 5 分钟，因为乙 和丙从出发到相遇共用 35 分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。 【答案】4.2 千米 【例 13】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当 乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的 周长？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙 共走完 1+ ＝ 圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相 遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100×3=300 米．有甲、乙第二次相 遇时，共行走(1 圈－60)+300，为 圈，所以此圆形场地的周长为 480 米． 【答案】480 米 【巩固】 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第 一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长. 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈．从出发开始算， 两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所 走的行程的 3 倍，那么从 到 的距离，应该是从 到 距离的 3 倍，即 到 是 (米)． (米)． (米)． 【答案】 米 【巩固】 如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端 与 同时出发，绕圆周相 向而行．它们第一 次相遇在离 点 8 厘米处的 点，第二次相遇在离 点处 6 厘米的 点，问，这个圆周的长是 多少? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从 点出发的小虫爬了 8 厘米，第二 次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了 1 个半圆周，其中从 点出发 的应爬行 (厘米)，比半个圆周多 6 厘米，半个圆周长为 (厘米)，一个圆周长 就是： (厘米) 【答案】 厘米 【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇， 1 2 1 2 3 2 3 2 A D A C A D 80 3 240× = 240 60 180− = 180 2 360× = 360 A C A B C D A A 8 3 24× = 8 3 6 18× − = (8 3 6) 2 36× − × = 36 在 D 点第二次相遇．已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】340 【答案】340 【例 14】 两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米．甲、乙两车同时分 别从相距 90 米的 A，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B 点时，甲车过 B 点后恰好又回到 A 点．此时甲车立即返回（乙车过 B 点继续行驶），再过多少 分与乙车相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】右图中 C 表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从 B 到 C 又返回 B 时，甲恰好转一圈回到 A，所 以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此 C 点距 B 点 180－90＝90（米）．甲从 A 到 C 用 了 180÷20＝9（分），所以乙每分行驶 90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从 A，B 出发相向而行相遇需要 90÷（20＋10）＝3（分）． 【答案】3 分 【巩固】 周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点．甲、乙两人分别从 A，B 两点同时相 背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B．如果以后甲、 乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如下图,记甲乙相遇点为 C.当甲跑了 AC 的路程时，乙跑了 BC 的路程；而当甲跑了 400 米时，乙 跑了 2BC 的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达 A 点所需时间的 .即 AC= ×400=200(米)，也就是甲跑了 200 米时，乙跑了 100 米，所以甲的速度 是乙速度的 2 倍．那么甲到达 A，乙到达 B 时，甲追上乙时需比乙多跑 400-100=300 米的路程， 所以此后甲还需跑 300÷(2-1)×2=600 米，加上开始跑的 l 圈 400 米．所以甲从出发到甲追上乙时， 共跑了 600+400=1000 米． 【答案】1000 米 【巩固】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到 达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以 甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）. 【答案】30 分 【例 15】 如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是 0.5 千米，A、B、C 三位运动员同时从交点 O 出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时 4 千米，每小时 8 千米，每小时 6 千米。 问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？ 1 2 1 2 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,二试 【解析】三个运动员走完一圈的时间分别为 小时、 小时、 小时，他们三人相遇地点只能是 点， 所以三人相遇时间是 小时、 小时、 小时的公倍数，即 小时，分别跑了 2 圈、4 圈、3 圈，共计 4.5 千米。 【答案】4.5 千米 【例 16】 甲、乙两车同时从同一点 出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行 驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面 追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离有多少米？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】首先是一个相遇过程，相遇时间： 小时，相遇地点距离 点： 千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间： 小时，乙车在此过程中走的 路程： 千米，即 5 圈余 3 千米，那么这时距离 点 千米．甲车调头后 又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离 点 千米，而第 4 次相遇时两车 又重新回到了 点，并且行驶的方向与开始相同．所以，第 8 次相遇时两车肯定还是相遇在 点， 又 ，所以第 11 次相遇的地点与第 3 次相遇的地点是相同的，距离 点是 3000 米． 【答案】3000 米 【巩固】 二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分钟，他们同时同地 同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击 掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】1428 【答案】1428 【例 17】 下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形．甲、乙两人分别从 两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经过多少时间 甲才能看到乙？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有 300 米长，当甲追上乙一条 边（300 米）需 300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了 90×15÷300＝4．5（条）边，甲、乙不 在同一条边上，甲看不到乙．甲再走 0．5 条边就可以看到乙了，即甲走 5 条边后可看到乙，共 需 300×5÷90＝16 （分钟 0，即 16 分 40 秒． 【答案】16 分 40 秒 O C B A 1 8 1 16 1 12 O 1 8 1 16 1 12 1 4 A 6 (65 55) 0.05÷ + = A 55 0.05 2.75× = 6 (65 55) 0.6÷ − = 55 0.6 33× = A 3 2.75 0.25− = A 0.25 2.75 3+ = A A 11 3 3 2÷ =  A 2 3 【巩固】 如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟 行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 开始时，甲在顺时针方向距乙 8+13+8=29 米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差 13，即至少要追上 29-13=16 米． 甲追上乙 16 米所需时间为 16÷(3-2)=16 秒，此时甲行了 3×16=48 米，乙行了 2×16=32 米． 甲、乙的位置如右图所示： 显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑 2 米，所需时间为 2÷3= 秒．所以经过 16+ =16 秒后甲第一次看见乙. 【答案】16 秒 【例 18】 下图是一个边长 90 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲逆时针每分行 75 米，乙顺时 针每分行 45 米．两人第一次在 CD 边（不包括 C，D 两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人第一次相遇需 分，其间乙走了 （米）．由此知，乙没走 135 米 两人相遇一次，依次可推出第 7 次在 CD 边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数） 【答案】第 7 次 【例 19】 如图，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A，B 两地顺时针方向沿长方 形 ABCD 的边走向 D 点.甲 8 时 20 分到 D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从 D 点出发.丙由 D 向 A 走去,8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追上.问三角形 BEF 的面积为多少平方米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置． 先分析甲的情况，甲 10 分钟，行走了 AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度， 乙 14 分钟行走了 60+AE 的路程，乙 20 分钟走了 60+AD+DF 的路程． 所以乙 10 分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程． 2 3 2 3 2 3 2 3 360 (75 45) 3÷ + = 45 3 135× = 有 ，有 然后分析丙的情况,丙 4 分钟,行了走 ED 的路程,再看丁的情况, 丁的速度等于丙的速度,丁 10 分钟行走了 DF 的距离． 有 ，即 5ED＝2DF． 联立 ，解得 于是,得到如下的位置关系： 【答案】 【例 20】 甲、乙两人从周长为 1600 米的正方形水池 ABCD 相对的两个顶点 A，C 同时出发绕池边沿 A→B→C→D→A 的方向行走。甲每分行 50 米，乙每分行 46 米，甲、乙第一次在同一边上行 走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】　第 分； 分。甲追上乙一条边长，即追上 400 米需 　　400÷（50－46）＝ 100（分），此时甲走了 50×100＝5000（米），位于一条边的中点，与乙 相距 400 米（见右图）。甲再走 200 米到达前面的顶点还需 4 分。这 4 分乙走了 184 米，距下一 个顶点还差 16 米。所以甲、乙第一次在同一边上行走，发生在出发后第 100＋4＝104（分），第 一次在同一边上行走了 （分）。 【答案】 分 【例 21】 如图，长方形 ABCD 中 AB∶BC=5∶4。位于 A 点的第一只蚂蚁按 A→B→C→D→A 的方向，位于 C 点的第二只蚂蚁按 C→B→A→D→C 的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两只蚂 蚁第一次在 B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在(　)边上。 (A)AB　　(B)BC　　(C)CD 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 60 60 10 14 10 AD AE DF+ += = ( ) ( ) 60 7 5 60 AD DF AE ED AE = + − = + 4 10 ED DF= ( ) ( ) 60 7 5 60 5 2 AD AE ED DF AE ED AE ED DF = + = +  + = +  = 87 18 45 AE ED DF =  =  = ABCD 1 1 160 (87+18) 60 87 18 45 15 (87+18)2 2 2 =2497.5 BEF ABE EDF FCBS S S S S∆ ∆ ∆ ∆= − − − = × − × × − × × − × × 四边形 2497.5 104 8 23 816 46 23 ÷ = 8 23 【解析】如图，长方形 ABCD 中 AB∶BC=5∶4。将 AB，CD 边各 5 等分，BC，DA 边各 4 等分。设每份长度 为 a。由于两只蚂蚁第一次在 B 点相遇，所以第一只蚂蚁走 5a，第二只蚂蚁走 4a，接下来，第 一只蚂蚁由 B 走到 E 点时，第二只蚂蚁由 B 走到 F 点，再接下来，当第一只蚂蚁由走到 G 点时， 第二只蚂蚁由 F 也走到 G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在 DA 边上。 【答案】DA 边上 【例 22】 在一个周长 90 厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A，B，C 三个爬虫分别在这三点上，它 们每秒依次爬行 10 厘米、5 厘米、3 厘米。如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行，那么 它们第一次到达同一位置需多长时间？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】60 秒。A 第一次追上 B 需 30÷（10－5）＝6（秒），以后每隔 90÷（10－5）＝18（秒）追上 B 一 次，即 A，B 到达同一位置的时间（单位：秒）依次是 6，24，42，60，78，… 同理，B，C 到达同一位置的时间（单位：秒）依次是 15，60，105，… 比较知，A，B，C 第一次到达同一位置需 60 秒。 【答案】60 秒 模块二、环形跑道——变道问题 【例 23】 如图 2，一个边长为 50 米的正方形围墙，甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发，沿闹墙按顺 时针方向运动，已知甲每秒走 5 米，乙每秒走 3 米，则至少经过 秒甲、乙走到正方 形的同一条边上。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题 【解析】行程问题 由题设可知，甲走完一条边需要 10 秒，乙需要 秒，要在同一条边上，首先路程差应小于一个 边长．经过 秒后，甲、乙路程差为一个边长，此时甲在 边的中点，而乙在 边的中点．因此需要再经过 5 秒后，甲到达 点，甲、乙才走到同一条边上．综上，至少需要 30 秒． 【答案】至少需要 30 秒 【例 24】 如图是一个跑道的示意图，沿 走一圈是 米，沿 走一圈是 米，其中 到 的直线距离是 米．甲、乙二人同时从 点出发练习长跑，甲沿 的小圈跑，每 米 用 秒，乙沿 的大圈跑，每 米用 秒，问： ⑴ 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？ ⑵ 发多长时间甲、乙再次在 相遇？ 50 3 50 (5 3) 25÷ − = CD AD D ACBEA 400 ACBDA 275 A B 75 A ACBDA 100 24 ACBEA 100 21 A 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为甲、乙沿不同的路线，所以并不是谁多跑一圈，就一定有一次超过．超过只可能发生在他们 共同经过的路线上，也就是 上． ⑴甲跑半圈 用时 秒，乙跑半圈 用时 秒．也就是说如果某次乙经过 点的时间比 甲晚不超过 秒，他就能在这半圈上追上甲． 甲跑一圈用的时间为 秒，乙跑一圈用的时间为 秒，下面看甲、 乙经过 点的时间序列表（单位：秒） 甲 0 66 13 2 19 8 26 4 33 0 乙 0 84 16 8 25 2 33 6 　　　　可以看出 336 秒与 330 秒恰好差 6 秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相 遇． 　　　　⑵要在 点相遇，两人跑的必须都是整数圈，甲跑一圈用 秒，乙跑一圈用 秒，它们的最小 公倍数为 ．因此 秒即 分 秒后，甲、乙第一次同时回到 点． 【答案】⑴第五圈 ⑵ 分 秒 【例 25】 如图所示，大圈是 400 米跑道，由 到 的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父子俩同时从 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 点便沿直线跑。父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一 次与父亲相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由 沿逆时针方向到 这一段跑道上相遇．而且儿子比父 亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲．儿子跑一圈所用的时间是 （秒），也就是说，儿子每过 76 秒到达 点一次．同样道理，父亲每过 50 秒到达 点一次．在 从 到 逆 时 针 方 向 的 一 段 跑 道 上 ， 儿 子 要 跑 （ 秒 ），父 亲 要 跑 （秒）．因此，只要在父亲到达 点后的 2 秒之内，儿子也到达 点，儿子就 能从后面追上父亲．于是，我们需要找 76 的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈 数），它比 50 的一个整数倍大，但至多大 2．换句话说，要找 76 的一个倍数，它除以 50 的余数 在 0 到 2 之间．这试一下就可以了： 余 26， 余 2，正合我们的要求．因此，在 父子第一次相遇时，儿子已跑完 2 圈，也就是正在跑第 3 圈． 【答案】第 3 圈 【例 26】 如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重．甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两 跑道的交点 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? EC D B A B A ACB ACB 48 ACB 42 A 6 275 100 24 66÷ × = 400 100 21 84÷ × = A A 66 84 [ ]66,84 924= 924 15 24 A 15 24 A B A B A B 19 (400 100) 76× ÷ = A A A B 19 (200 100) 38× ÷ = 20 (200 100) 40× ÷ = A A 76 50÷ 76 2 50× ÷ A 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在 右侧的半跑道上相遇．易知小跑道上 左侧的路程为 100 米,右侧的路程为 200 米,大跑道上 的左、右两侧的路程均是 200 米．我们将甲、乙的行程状况 分析清楚．当甲第一次到达 点时,乙还没有到达 点,所以第一次相遇一定在逆时针的 某 处．而当乙第一次到达 点时，所需时间为 秒,此时甲跑了 米,在离 点 米处．乙跑出小跑道到达 点需要 秒,则甲又跑了 米,在 点左边 米处．所以当甲再次到达 处时,乙还未到 处,那么甲必定能在 点 右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达 处开始计算,还需 秒,甲、乙第 二次相遇,此时甲共跑了 秒．所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 米． 【答案】 米 【例 27】 有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长 400 厘米，短跑道长 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑 道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器 人同时从 点出发，那么当两个机器人在跑道上第 3 次迎面相遇时，机器人甲距离出发点 点 多少厘米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】小数报 【解析】第一次在 点相遇，这时甲、乙共跑了 400 厘米(见左下图)； 第二次在 点相遇，这时甲、乙又共跑了 700 厘米(见右上图)； 同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了 700 厘米． 那么到第三次相遇时两者共跑了 厘米，共用时间 （秒）， 甲跑了 （厘米），距 点 （厘米）． 【答案】 厘米 【例 28】 下图是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接 B 或者 C. 小圈轨道的周长是 1.5 米， 大圈轨道的周长是 3 米. 开始时，A 连接 C，火车从 A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动， 同时变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第 10 次回 到 A 点时用了 秒钟. 200 200100 A B1 200 200100 A B2 B1 200 200100 A AB AB AB B B BA B 200 4 50÷ = 6 50 300× = B 300 200 100− = A 100 4 25÷ = 6 25 150× = A (100 150) 200 50+ − = B B B A (400 50) (6 4) 35− ÷ + = 50 25 35 110+ + = 6 110 660× = 660 A A 1B 2B 400 700 700 1800+ + = 1800 (6 4) 180÷ + = 6 180 1080× = A 400 3 1080 120× − = 120 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】126 秒 根据题意，AC 段连在一起为第 0 分钟、2 分钟、4 分钟、6 分钟… AB 段连在一起为第 1 分钟、3 分钟、5 分钟、7 分钟… 第 1 分钟，AC 连在一起，火车走了 10 米，走了 3 圈，还多 1 米； 此时 AB 段连在一起，也就是说当火车第 4 次回到 A 点时，走了 4 个 3 米，共 12 米； 火车两分钟可以走 20 米，所以在第二分钟又重新连回 AB 前，火车沿着小圈走了 8 米，而 8=5×1.5+0.5，也就是说火车第 9 次回到 A 点还多走了 0.5 米，当火车第 10 次回到 A 点时，火车 共走了 12 米，加上 6 个小圈，共 21 米。火车速度为 10 米/分，所以火车回到 A 点用了 21÷10=2.1 分钟，合计 126 秒。 【答案】126 秒 【例 29】 下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两 只甲虫首次相距最远？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，试题 【解析】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在 A 点，另一只在过 A 的直径另一直径端点 B， 所以在小圆甲虫跑了 n 圈，在大圆甲虫跑了 m＋ 圈；于是小圆甲虫跑了 30n，大圆甲虫跑了 48(m＋ )＝48m＋24。因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以 30n＝48m＋24； 即 5n＝8m＋4，有不定方城知识，解出有 n＝4，m＝2，所以小甲虫跑了 2 圈后，大小甲虫相距最 远。 【答案】2 圈 【例 30】 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、乙两只爬虫分别从 、 两地按 箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕 3、2 号环行跑道 作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20 厘米和每分钟 l5 厘米，甲、 C B A 1 2 1 2 A B 乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意，甲爬虫爬完半圈需要 分钟，乙爬虫爬完半圈需要 分 钟．由于甲第一次爬到 1、2 之间要 分钟，第一次爬到 2、3 之间要 分钟，乙第一次爬到 2、3 之间要 7 分钟，所以第一次相遇的地点在 2 号环形跑道的上半圈处． 由于甲第一次爬到 2、3 之间要 分钟，第二次爬到 1、2 之间要 分钟，乙第一次爬到 1、 2 之间要 14 分钟，所以第二次相遇的地点在 2 号环形跑道的下半圈处． 当两只爬虫都爬了 14 分钟时，甲爬虫共爬了 米， (米)，所以 甲在距 1、2 交点 35 米处，乙在 1、2 交点上，还需要 (分钟)相遇，所以第二次相 遇时，两只爬虫爬了 分钟． 所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了 厘米． 【答案】 厘米 【巩固】 一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫 ， ， 分别在这 3 个点上．它 们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行． 的速度是 10 厘米/秒， 的速度是 5 厘米/秒， 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】先考虑 与 这两只爬虫，什么时候能到达同一位置．开始时，它们相差 30 厘米，每秒钟 能 追上 (5-3)厘米． (秒)．因此 15 秒后 与 到达同一位置．以后再要到达同一位 置， 要追上 一圈，也就是追上 90 厘米，需要 (秒)． 与 到达同一位置，出 发后的秒数是 15，60，105，150，195，……再看看 与 什么时候到达同一位置．第一次是出 发后 (秒)，以后再要到达同一位置是 追上 一圈．需要 (秒)， 与 到达同一位置，出发后的秒数是　6，24，42，60，78，96，…对照两行列出的秒数，就知 道出发后 60 秒 3 只爬虫到达同一位置． 【答案】60 秒 【例 31】 如图所示，甲沿长为 米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动 路线的次序： ）。如果甲、乙两人同时从 点出发，且甲、乙二人的速度分 别是每秒 3 米和 5 米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在 、 两点处相遇（本题中，虽然在 处时两人都是顺 时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）． 从 到 ，在大圆周上是半个圆周，即 200 米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是 200 米．两人 的速度之比为 ，那么两人跑 200 米所用的时间之比为 ．设甲跑 200 米所用的时间为 5 个 时间单位，则乙跑 200 米所用的时间为 3 个时间单位．根据题意可知，1 个时间单位为 秒． 可以看出，只有甲跑的时间是 5 个时间单位的整数倍时，甲才可能在 点或 点，而且是奇数倍 时在 点，是偶数倍时在 点；乙跑的时间是 3 个时间单位的整数倍时，乙才可能在 点或 点， 321 BA 210 2 20 5.25÷ ÷ = 210 2 15 7÷ ÷ = 5.25 10.5 10.5 15.75 20 14 280× = 210 2 210 280 35÷ + − = 35 (20 15) 1÷ + = 14 1 15+ = 20 15 300× = 300 A B C A B C B C B C 30 (5 3) 15÷ − = B C B C 90 (5 3) 45÷ − = B C A B 30 (10 5) 6÷ − = A B 90 (10 5) 18÷ − = A B 400 1 2 3 4 1− − − − − A A B B A B 3:5 5:3 40200 3 5 3 ÷ ÷ = A B B A A B 同样地，是奇数倍时在 点，是偶数倍时在 点． 要使甲、乙在 、 两点处相遇，两人所跑的时间应当是 15 个时间单位的整数倍（由于 3 和 5 的奇偶性相同，所以只要是 15 个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是 15 个时间单 位、30 个时间单位、45 个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了 45 个时间单位后，也就是 说，出发后 秒两人第三次相遇． 也可以画表如下： 甲 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 乙 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 从中可以看出，经过 15 个时间单位后两人同在 点，经过 30 个时间单位后两人同在 点，经过 45 个时间单位后两人同在 点，这是两人第三次相遇． 【答案】 秒 【例 32】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为 600 米，小圆环的周长为 400 米。甲的速度为每秒 6 米，乙的速度为每秒 4 米。甲、乙二人同时由 点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈， 就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。 问：甲、乙可能相遇的位置距离 点的路程是多少？(路程按甲跑的计算) 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要 100 秒， 乙绕小圆环跑一周也需要 100 秒．所以两人的第一次相遇肯定是在 点；而以后在小圆周上肯定 还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次 乙回到 点，如果甲也在 点，则两人在 点相遇；如果甲不在 点，则此时甲相当于顺时针跑， 乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇． 设乙第 次回到 点的时间为 秒，则 ，此时甲跑了 米．而甲一个周期 为 米，因此， 时刻甲跑了 个周期． 而 ，其中整数部分表示甲回到 点，小数部分表示甲又从 点跑了一 部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是 米．由此，我们可以算出甲 的位置： 小数部分表示的路程 0 200 400 600 800 甲、乙相距的路程 0 800 600 400 200 甲、乙相遇还需的时间 0 80 60 40 20 甲、乙相遇的位置 0 80 160 240 320 以其中的第三列 为例进行说明：这一列表示 ，于是 ，这表明 甲回到 点后又跑了 200 米，此时乙在 点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两 人相距 米，所以需要的时间为 秒，在 80 秒内乙跑了 B A A B 40 45 6003 × = A B A B A B A B A B A B A B A B B A B 600 A A A A A A A m A t 100t m= 6 100 600m m× = 600 400 1000+ = t 600 1000 m 600 3 3 3 1000 5 5 5 m m m m   = = +       A A 3 10005 m ×   3m = 5k 5 1k + 5 2k + 5 3k + 5 4k + (5 1)k + 3 5 1m k= + 3 1000 2005 m × =   A A 1000 200 800− = 800 (4 6) 80÷ + = 4 80 320× = 米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为 米，这就是此时相遇点与 点的距 离．其它情况同理可得． 所以甲、乙可能相遇的位置在距离 点顺时针方向 320 米，240 米，160 米，80 米和 0 米． 【答案】甲、乙可能相遇的位置在距离 点顺时针方向 320 米，240 米，160 米，80 米和 0 米 模块三、环形跑道——变速问题 【例 33】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后 甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。 求甲原来的速度。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑 一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的 路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 米/秒 【答案】 米/秒 【例 34】 环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分 跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？ 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】55 分。解：甲比乙多跑 500 米，应比乙多休息 2 次，即 2 分。在甲多休息的 2 分内，乙又跑了 200 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑 500＋200＝700（米），甲跑步的时间为 700÷（120 －100）＝35（分）。共跑了 120×35＝4200（米），中间休息了 4200÷200－1＝ 20（次），即 20 分。 所以甲第一次追上乙需 35＋20＝55（分）。 【答案】55 分 【例 35】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 倍，当乙 第一次追上甲时，甲的速度立即提高 ，而乙的速度立即减少 ，并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米． 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5．假设甲、乙从 点同时出发，按逆时针方 向 跑 ． 由 于 出 发 时 两 者 的 速 度 比 为 ， 乙 追 上 甲 要 比 甲 多 跑 1 圈 ， 所 以 此 时 甲 跑 了 ，乙跑了 ；此时双方速度发生变化，甲的速度变为 ，乙的速 度变为 ，此时两者的速度比为 ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1 圈，则此次甲跑了 ，这个 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从 环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 个周长，又可 能是 个周长． 那么，这条环形跑道的周长可能为 米或 米． 【答案】 米 【例 36】 如图所示，甲、乙两人从长为 米的圆形跑道的 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分） 400 320 80− = A A A 17 3 17 3 2.5 25% 20% A 2:5 21 (5 2) 2 3 ÷ − × = 5 3 2 (1 25%) 2.5× + = 5 (1 20%) 4× − = 2.5: 4 5:8= 51 (8 5) 5 3 ÷ − × = 5 3 5 213 3 − = 5 12 3 3 − = 2100 1503 ÷ = 1100 3003 ÷ = 300 400 A 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 米，而在泥 泞道路上两人的速度均为每秒 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 点 还有 米。 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕 着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间 也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到 点，即两人在 点迎面相遇，然后再从 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期． 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人 第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相 遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是 点．本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与 点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与 点的距离． 对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到 跑完正常道路时，乙才跑了 米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此 时两人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了 米，这就 是第一次相遇点与 点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与 点的距离． 【答案】 米 【例 37】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每 人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲 跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5．已知沿跑道看从甲、乙两 人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速 度为 .如下图： 第一次相遇地点逆时针方向距出发点 的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了 的跑道长度. 在乙接下来跑了 跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了 圈．所以还剩下 的跑道长度， 甲以 4 的速度，乙以 的速度相对而跑，所以乙跑了 圈.也就是第二次相 遇点逆时针方向距出发点 圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差 圈，所以，这条 椭圆形跑道的长度为 米． 【答案】 米 【例 38】 如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上一点 P,同时反向各 发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇．如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将 在 AB 上一点 N 相遇．问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少? A 8 4 A A A A A A A 200 8 4 100÷ × = 100 50 150+ = A A 150 12 5 3 5 2 3 1 3 1 22 43 3 ÷ × = 1 3 12 5 1 12 1243 5 5   × ÷ +     1 8 = 1 8 3 1 19 5 8 40 − = 19190 40040 ÷ = 400 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形 ABCD 的边长为单位“1”. 有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 . 乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 . 有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有： = 且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有 ,解得 PC= . 所以 PM=MC= ,DP= . 现在甲、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为 . 有甲从 M 到达 N 点所需时间为 ； 乙从 M 到达 N 点所需时间为 . 有 ，解得 .即 AN= . 所以 AN÷BN 【答案】 【例 39】 一条环形道路，周长为 2 千米．甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周．现有自行 车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已 知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每 小时 20 千米．请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点．那么环行 2 周最少要用多少 分钟? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 ；乙、丙情况 类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为： 60 80 90 PD DA AO+ + 1 0.5 60 80 90 PD= + + 60 120 90 PC BC BO+ + 1 0.5 60 120 90 PD= + + 1 60 80 PD + 1 60 120 PC + 1 1 60 80 PC− + 1 60 120 PC= + 5 8 5 16 3 8 x 60 80 90 MD DA AN+ + 3 5 18 16 60 80 90 x+ = + + 60 120 90 MC CB BN+ + 5 1 116 60 120 90 x−= + + 3 5 18 16 60 80 90 x+ + + 5 1 116 60 120 90 x−= + + 1 32x = 1 32 1 31 32 32 = ÷ 1 31 = 1 31 1 20 1 1 1 1: 3: 45 20 4 20    − − =       而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比， 即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3． 因为有 3 人，2 辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长． 于是，甲步行的距离为 2× =0.8 千米；则骑车的距离为 2×2-0.8=3.2 千米； 所以甲需要时间为( )×60=19.2 分钟 环形两周的最短时间为 19.2 分钟． 参考方案如下：甲先步行 0.8 千米，再骑车 3.2 千米； 乙先骑车 2.8 千米，再步行 0.6 千米，再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ； 丙先骑车 3.4 千米，再步行 0.6 千米． 【答案】19.2 分钟 4 4 3 3+ + 0.8 3.2 5 20 +