六年级上册数学北师版知识要点

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总复习 一 圆 一、圆的认识(一) 1. 圆的特征:由一条曲线围成的封闭图形,圆上任意一点到圆心 的距离都相等。 2.圆的画法。 (1)手指画圆法。 以拇指为固定点,食指与拇指间的距离不变,将食指绕拇指旋转 一周,食指的运动轨迹就形成了一个圆。 (2)实物画圆法。 把圆形物体放在纸上固定不动,用笔沿实物的边缘描一周,就画成了 一个圆。 (3)系绳画圆法。 用一个图钉、一根线(没有弹力)和一支笔画圆的方法:用图钉将线的 一端固定在一点上,用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周,就画 成了一个圆。 (4)圆规画圆法。 根据圆心到圆上任意一点的距离(即半径)都相等,可以用圆规来 画圆。步骤如下: ①把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径); ②把带有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上; ③把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一 个圆。 3. 圆的各部分名称。 在食指绕拇指旋 转一周的过程中,拇指 所按的点不变,食指与 拇指间的距离不变。 用图钉、线和笔 画圆时,图钉要固定 好,线要拉直。 用圆规画圆,针尖 所在的位置是圆心,两 脚间的距离是半径。 1.同一个圆里有 无数条半径,长度都相 等。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页 (1)圆心。 画圆时,圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。 圆心一般用字母 O表示。 (2)半径。 用圆规画圆时,圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径,即圆心到 圆上任意一点的距离叫半径。 半径一般用字母 r表示。 在同一个圆里,所有半径的长度都相等。 (3)直径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母 d 表示。在同一个圆里,所有直径的长度都相等。 4. 圆的各部分之间的关系。 圆有无数条直径,无数条半径;同圆(或等圆)中的直径都相等,半 径都相等;直径的长度是半径的 2倍,可以表示为 d=2r或 r=d2。 5. 圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 6. 圆在生活中的应用。 汽车车轮、自行车的车轮、球、齿轮、方向盘、圆规、井盖、 钟表、水杯、环岛…… 二、圆的认识(二) 1. 圆的对称性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称 轴。圆有无数条对称轴。 2 . 常见的轴对称图形的对称轴的数量。 正方形有 4条、长方形有 2条、等边三角形有 3条、等腰三角 形有 1条、等腰梯形有 1条和圆有无数条。 2.直径是圆内最 长的线段。 1.判断直径和半 径时,一定要看其是否 经过圆心。 2.圆的大小与半 径的长短有关,与它所 在的位置无关。 3. 在同圆(或等 圆)中,“d=2r ”才能成 立。 圆的对称轴是直径 所在的直线,而不是直 径。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页 3. 利用圆的对称性确定圆心的方法。 方法一 把圆形纸片按下面的方法对折,两条折痕的交点就是 圆心。 方法二 把圆形纸片沿不同的方向任意折出两条直径(直径所 在的直线即对称轴),两条直径(折痕)的交点就是圆心。 4.圆与内接或外接正多边形组成的组合图形的对称轴是经过圆 心的正多边形的对称轴。 三、欣赏与设计 综合运用旋转、轴对称和平移的知识设计图案。 四、圆的周长 1.圆的周长的意义。 圆的周长就是圆一周的长度,也可以理解为将圆滚动一圈的长 度。直径的长短决定圆周长的大小。 2.圆周长的测量方法。 方法一 用滚动法测量圆的周长。 在圆形硬纸板的边缘上点一点 A,使点 A对准直尺的 0刻度,然后 使圆形硬纸板在直尺上向右滚动一周,点 A 所指的新刻度就是这个 圆形硬纸板的周长。 方法二 用绕线法测量圆的周长。 在圆形硬纸板的边缘上点一点 A,使点 A对准线的一个点,然后用 线从点 A 开始绕圆形硬纸板一周,做好标记,再拉直并测量绕圆形硬 纸板一周的线的长度,该长度就是圆形硬纸板的周长。 易错点:对称轴是 一条直线,所以直径所 在的直线是圆的对称 轴。 利用圆可以设计 出美丽的图案,并且设 计图案时可以综合运 用平移、旋转和轴对 称的知识。 绕线时,要选择 没有弹性的线,并使线 与圆形硬纸板的边缘 完全重合。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页 3.圆周率的意义。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用 字母π表示,计算时通常取 3.14。 4.圆的周长的计算公式。 如果用字母 C表示圆的周长,那么 C=πd或 C=2πr。 5.圆的周长计算公式的应用。 已知圆的半径、直径和周长三种量中的一种量,就可以求出另外 两种量。 (1)已知圆的半径,求圆的周长:C=2πr。 (2)已知圆的直径,求圆的周长:C=πd。 (3)已知圆的周长,求圆的半径:r=C÷π÷2。 (4)已知圆的周长,求圆的直径:d=C÷π。 五、圆的面积 1.圆的面积的含义。 圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面 积。 2.圆面积的计算方法: 方法一 用数格子的方法估算出圆的面积。 在圆内画方格数一数,得到圆的面积。 此方法无法得到圆的面积的精确值。 方法二 转化法:将圆转化成平行四边形。 (1)将一个圆形纸片分别分成 8等份、16 等份后剪切、拼接。 所有圆的圆周率 都相等,约等于 3.14。 易错点:圆的周 长的一半与半圆的周 长不同,半圆的周长包 括圆周长的一半和一 条直径的长度。 半圆 的周长用公式表示为 C=πr+d=πr+2r。 错例:π=3.14 分析:在计算时, 圆 周 率 π 通 常 取 3.14,3.14是一个近似 值。π是一个无限不循 环小数,它的近似值是 3.14,但它并不等于 3.14。 正解:π≈3.14 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页 等分圆时,要沿着半径剪开;拼接时,也要使半径重合。 发现:把圆分成 8等份、16等份后,可以拼成近似的平行四边形。 (2)将一个圆形纸片分成 32 等份后剪切、拼接。 发现:把圆平均分成的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就 越接近平行四边形。 3.拼成的平行四边形和圆之间的比较。 观察圆和剪拼后的图形,可以发现:(1)在剪拼的过程中,图形面积 的大小没有发生变化,只是形状改变了,即圆的面积等于拼成的平行 四边形的面积。(2)拼成的平行四边形的高相当于圆的半径,它的底相 当于圆的周长的一半。 4.公式推导。 圆的面积=平行四边形的面积 =底×高 =C2×r =πr×r 把圆平均分成的 份数越多,每一份就会 越小,拼成的图形就越 接近平行四边形。 1.拼接后的图 形总有两条边是曲线, 所以只能叫“近似平行 四边形”。 2.圆的面积公 式的推导过程中运用 了转化的思想。 r²与 2r的区别: r²表示的是 r×r,读作 r 的平方 ;2r 表示的是 r+r。半径越长,圆的面 积。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页 =πr² 圆的面积计算公式:(1)文字公式为圆的面积=圆周率×半径的平 方;(2)如果用 S 表示圆的面积,r 表示圆的半径,那么圆的面积计算公 式是 S=πr²。 5. 把圆转化成三角形,推导圆的面积计算公式。 (1)把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿一条半径剪开,得到许 多长短不同的草绳,然后把草绳按由短到长的顺序排列,拼成一个三 角形。 (2)三角形的面积相当于圆的面积,三角形的底相当于圆的周长, 高相当于圆的半径。三角形的面积=底×高2 ,所以圆的面积公式为 S=2πr×r2 =πr²。 6.圆的面积计算公式。 如果用 S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式 是 S=πr²。 7.圆的面积计算公式的应用。 求圆的面积必须知道圆的半径。当已知圆的直径或周长,求面积 时,必须先求出圆的半径。 (1)已知圆的半径,求圆的面积:S=πr²。 (2)已知圆的直径,求圆的面积:r=d2,S=πr²=π d2 2 。 (3)已知圆的周长,求圆的面积:r=C÷π÷2,S=πr²=π(C÷π÷2) ² 。 8. 圆环的面积计算公式。 内圆面积:S内=πr² 错例:一个圆的半 径是 1.5 cm,它的面 积是多少? 错解: 3.14×1.5×2=3.14×3= 9.42(cm²)。 正解: 3.14×1.52=3.14×2.2 5=7.065(cm²)。 先算内圆的面积, 后算外圆的面积,最后 用外圆面积减去内圆 面积。 半圆的面积: S=πr²÷2 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页 外圆面积:S外=πR² 圆环面积:S环=πR²-πr²=π(R²-r²) 半圆的面积=圆的面积÷2 组合图形的面积: 几种基本图形的面积相加; 几种基本图形的面积相减。 二 分数混合运算 一、分数混合运算(一) 1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相 同,没有括号的,按从左到右的顺序计算;有括号的,要先算括号里 面的,再算括号外面的。 2. “连续求一个数的几分之几是多少” 的解题方法:依据分数 乘法的意义,用这个数连续乘几分之几。 3.分数连乘的运算顺序:没有括号的,按从左到右的顺序计算; 有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。 4.根据“除以一个数,等于乘这个数的倒数”,可以把分数乘除混 合运算或分数连除直接改写成分数连乘进行计算。 二、分数混合运算(二) 1.整数的运算律在分数运算中同样适用。在分数混合运算中 运用运算律,可以使计算简便。 2.“已知一个数比另一个数多(或少)几分之几,求这个数”的解 题方法: 先找准题中不同的 单位“1”,再根据已知或未 知的量确定计算方法。 在分数混合运算中 运用运算律,可以使计算 简便。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页 (1)先根据分数乘法的意义,求出多(或少)的几分之几是多少, 再用加(或减)法求这个数; (2)先求出另一个数占单位“1”的几分之几,再根据分数乘法的 意义,用乘法计算。 3.“已知总量及一部分量占总量的几分之几,求另一部分量”的 解题方法: (1)总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量; (2)总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量。 三、分数混合运算(三) 1.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的 解题方法: (1)先求比这个数多(或少)的数占这个数(即单位“1”)的几分之 几,再根据分数乘法的意义列方程解答; (2)先求出比这个数(即单位“1”)多(或少)的几分之几是多少, 再根据加减关系列方程解答。 2.“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量,求总量”的 解题方法(用方程解): 把总量看作单位“1”,可以根据“总量×(1-已知部分量占总量的 分率)=另一部分量”列方程解答;也可以根据“总量-总量×已知部分 量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。 乘加、乘减混合运 算中包含两级运算,计算 时要先进行第二级运算, 再进行第一级运算。 求单位“1”是多少,用 方程法解答比较简便。 画图理解数量关系 时,要先画表示单位“1”的 量。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页 三 观 察 物 体 一、搭积木比赛 1.辨认并画出从不同方向(上面、正面、左面)观察到的立体图形 (不超过 5个小正方体组合)的形状。 要想正确画出从不同方向(上面、正面、左面)观察到的立体图形 (5 个小正方体组合)的形状,应选好观察的方向,并确定观察到的立体 图形画成平面图形后的正确位置。 2.根据给定的从两个方向观察到的平面图形,确定搭成这个立体 图形所需要的小正方体的数量范围。 (1)根据给定的从两个方向观察到的平面图形,确定搭成这个立 体图形所需要的小正方体的数量范围时,可以采取根据给出的平面 图形还原立体图形的方法,将可能搭成的立体图形的各种情况一一 列举出来,然后数出需要的小正方体的数量。 (2)根据从两个方向看到的形状搭立体图形的方法是不唯一的。 3.根据给定的从一个方向观察到的平面图形和小正方体的数量 还原立体图形。 根据给定的从一个方向观察到的平面图形和小正方体的数量可 以还原成不同的立体图形,要把可能搭成的立体图形的各种情况一 一列举出来。 检验方法:根据平面图形摆立体图形时,摆完后要进行观察,验证 所看到的形状与已知平面图形是否相符。 要综合从不同方 向看到的所有平面图 形,才能确定原来的立 体图形是什么形状。 错例: 选择:观察下面的 立体图形,下面的说法 中正确的是( C )。 A.从正面和右面 观察到的形状相同 B.从上面和左面 观察到的形状相同 C.从左面和右面 观察到的形状相同 分析:左、右的位 置具有相对性,一般情 况下,从左面和右面观 察到的形状有所不 同。题中的立体图形 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页 4.三视图:三视图是观察者从三个不同方向观察同一个立体图形 而画出的平面图形。一个物体有六个视图:从物体的前面向后面看, 所得到的视图称为主视图,也叫正视图,能反映物体前面的形状;从物 体的上面向下面看,所得到的视图称为俯视图,能反映物体上面的形 状;从物体的左面向右面看,所得到的视图称为左视图,也叫侧视图,能 反映物体左面的形状;其他三种视图不常用。三视图就是主视图(从正 面看)、俯视图(从上面看)、左视图(从左面看)的总称,能够基本完整 地表达物体的外部结构。 二、观察的范围 1. 观察点的位置越低,观察到的范围越窄(小);观察点的位置越 高,观察到的范围越广(大)。 2.观察物体的时候,观察点距离被观察物体越近,观察到的物体 越大,观察景物的范围越小;观察点距离被观察物体越远,观察到的物 体越小,观察景物的范围越大。 三、天安门广场 1.判断拍摄地点与照片的对应关系的方法:可以假设自己在拍摄 地点,根据照片中景物的特点,联系生活经验判断;也可以借助实物模 拟,创设模拟情境,亲身观察,得出结论。 2.判断连续拍摄的一组照片的先后顺序的方法:可以假设自己随 着拍摄者的行走路线游览,想象自己会依次看到哪些景物;也可以联 系生活实际,借助实物模拟,创设模拟情境,亲身观察,得出结论。 从不同位置观察到的 形状如下: 因此,从正面和右 面观察到的形状相 同。 正解: A 温馨提示:解答这 类题时,要先画出从不 同位置观察到的形状, 再从中选择相同的。 观察物体时,观察点 的位置距离观察物体 的远近、高低发生变 化时,所观察到的画面 及范围也会发生相应 的变化。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页 四 百 分 数 一、百分数的认识 1.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫 作百分数。百分数也叫百分比、百分率。 2.百分数的读写:写数时,去掉分数线和分母,在分子后面写 “%”;读百分数时,先读百分号,再读百分号前面的数。 3. 百分数和分数的区别与联系: 联系:都可以表示两个数量的倍比关系。 区别:①意义不同,百分数只表示两个数量的倍比关系,不可以 表示具体数量,后面不能带单位名称;分数既可以表示具体的数量, 又可以表示两个数量的倍比关系,表示具体数量时可以带单位名 称。 ②百分数的分子可以是整数,也可以是小数,而分数的分子不 能是小数,只能是除0以外的自然数;百分数不可以约分,而分数一 般能通过约分化成最简分数。 ③任何一个百分数都可以写成分母是 100 的分数,而分母是 100 的分数不一定具有百分数所表示的意义。 ④应用范围不同,百分数在生产和生活中,常用于调查、统计、 分析和比较,而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。 在计算过程中,要注意部分与整体之间的关系。 二、合格率 1.合格率:合格的产品数量占产品总数的百分之几。 在写百分号时,两个 圆圈要写的小些,以免和 数字 0混淆。 百分数表示的是两 个数的倍比关系,不表示 一个具体的值。 易错点: 判断:25 m 可以写成 40%m。( √ ) 分析:虽然分数可以 化为百分数,但当分数表 示具体数量时,不能化为 百分数,因为百分数不能 表示具体的数量,后面不 能加单位名称。 正解:✕ 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页 2.小数化成百分数:可以先把小数化成分母是 100 的分数,再 改写成百分数;也可以先把小数的小数点向右移动两位,再在后面 添上“%”。 3.分数化成百分数:可以先把分数化成小数(除不尽时,通常保 留三位小数),再改写成百分数;也可以先把分数化成分母是100的 分数,再改写成百分数。 4. 一些常见的百分率的意义和计算方法。 发芽率:发芽的种子数量占种子总数的百分之几。 发芽率=发芽种子数 种子总数 出米率:米的质量占稻谷质量的百分之几。 出米率= 米的质量 稻谷的质量 出勤率:出勤人数占应出勤人数的百分之几。 出勤率= 出勤人数 应出勤人数 及格率:及格人数占考试人数的百分之几。 及格率=及格人数 考试人数 5. 百分率的应用。 (1)求一个数是另一个数的百分之几的应用题的解题方法与 求一个数是另一个数的几分之几的应用题的解题方法相同,只是 要将计算结果化成百分数。 (2)求百分率问题的实质就是求一个数是另一个数的百分之 几,结果要化成百分数。 百分率一般指部分 占整体的百分之几,用部 分除以整体,最后的结果 要化成百分数,除不尽的 百分号前面一般保留一 位小数。 出勤率、成活率、合 格率、发芽率、及格率等 最高是 100%;完成率、增 长率、利润率等可以超过 100%。 计算合格率的方法 与求一个数是另一个数 的几分之几的方法相同, 只是结果用百分数表示。 百分数化成小数,去 掉百分号后,千万不要忘 记把小数点向左移动两 位。 一位小数表示十分 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页 三、营养含量 1.百分数化成小数:把百分号去掉,同时把小数点向左移动两 位(位数不够时,用“0”补足)。 2.百分数化成分数:把百分数改写成分母是 100 的分数,能约 分的要约成最简分数。 3. “求一个数的百分之几是多少”的问题的解题方法:与“求一 个数的几分之几是多少”的问题的解题方法相同,都用乘法计算,即 用这个数乘百分之几。 4.在计算时,要根据具体情况,先把百分数转化成分数或小数, 再计算。 四、这月我当家 1.百分数的应用题与分数应用题的解题思路相同,都要找准 单位“1”,单位“1”已知,求部分量,可以直接用乘法计算。 2.“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的解题方法:可以 根据等量关系式“单位‘1’×百分之几=已知量”列方程解答。 3.“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”也可以用除法计 算。 之几,两位小数表示百分 之几,三位小数表示千分 之几…… 当小数点向右移动 两位时,所得的数就扩大 到原来的 100 倍,再添上 百分号,又使它缩小到现 在的 1100,所以数的大小是 不变的。 整数可以看作小数 部分为 0 的小数。如 2=2.0=2.00。 一个数的小数点,向 左移动两位,位数不够时 用“0”补足。 整数也可以看作分 母是“1”的分数。如 5=51。 五 数 据 处 理 一、扇形统计图 1.扇形统计图。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页 扇形统计图是以一个圆作为总体,表示各部分量占单位“1” 的量。根据各部分量所占的百分比,用大小不同的扇形在这个圆中 表示部分量,所以称为扇形统计图。扇形所占的百分比越大,扇形 的面积就越大;扇形所占的百分比越小,扇形的面积就越小。 2. 扇形统计图的特点:能清楚地看出部分与整体之间的关 系,也就是部分占整体的百分比的大小。 3. 从扇形统计图中获取信息的方法:先与整体比较,看各部 分占整体的百分比是多少,再看各部分之间谁占的百分比大,在此 基础上仔细分析,得出结论。 二、统计图的选择 选择统计图的方法:条形统计图便于看出数据的多少;折线统 计图便于看出数据的变化趋势,也能看出数据的多少;扇形统计图 能清楚地看出部分与整体及部分与部分之间的关系。 扇形统计图不能直接表示数量的多少。 条形统计图的特点与作用: 特点:1. 用一个单位长度表示一定的数量; 2. 用直条的长短表示数据的多少。 作用:能清楚地看出各数据的多少,便于相互比较。 折线统计图的特点与作用: 特点:1. 用一个单位长度表示一定的数量; 2. 用折线的起伏表示数据的增减变化情况。 作用:能清楚地看出数据的增减变化情况和数据的多少。 扇形统计图的特点与作用: 扇形统计图中,各个 扇形占整个圆的百分比 之和应等于 100%,大于 100%或小于 100%都是 错误的。 为了区分扇形统计 图中的各种量,代表不同 量的扇形应涂有不同的 颜色。 在选择统计图时,要 根据题中数据的特点来 选择合适的统计图。 错 例 : 将 小 红 2006~2013 年身高的变 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页 特点:用整个圆的面积表示总体,用圆内的扇形面积表示各部 分量占总体的百分比。 作用:能清楚地看出各部分占总体的百分比及部分与部分之 间的关系。 三、身高的情况 分段整理、分析数据的方法:可以先把数据排列,并根据需要 把数据按一定的标准分段整理,再用统计图描述数据,最后对数据 作出全面的分析,并解决问题。 四、身高的变化 1. 绘制复式折线统计图的方法和步骤:绘制复式折线统计图 的方法和步骤与绘制单式折线统计图的方法相同,只是在同一统 计图中用两种或两种以上的线表示不同的量,并要标明图例。 2.观察统计图的方法:通过运用横向观察、纵向观察、对比观 察等多种方法,从中获取更多信息,提出并解决问题及作出合理的 预测。 3.比较两组数据的方法: (1)比较两组数据中的最大值或最小值; (2)比较两组数据的平均值; (3)把两组数据分段比较。 1. 要按一定的标准对数据进行合理分段。整理时注意不要遗 漏数据。 2.要分段整理数据,对整理后的数据进行分析。观察统计图 时,不仅要看每个数据的大小,还要把数据进行比较。 在依据统计图解决问题时,要能够选择合适的统计量,进行比 较和分析不同数据的区别,并且能够预测它们的变化趋势。 化情况制成统计图,应绘 (A)统计图。 A. 条 形 B. 折 线 C.扇形 分 析 : 将 小 红 2006~2013 年身高的变 化情况制成统计图,除了 想在统计图中看到小红 这几年来每一年的身高, 还想知道这几年来小红 身高的变化情况。既能清 楚地看出数据的多少,又 能看出数据的变化情况 的是折线统计图,而条形 统计图只能清楚地看出 数据的多少。 正解:B 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页 六 比 的 认 识 一、生活中的比 1.生活中两个量之间存在倍比关系。 2. 比的意义:两个数相除,又叫作这两个数的比。 3.比的各部分名称:“∶”是比号,读作“比”。比号前面的数是比 的前项,比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项,所得的 商叫作比值。 4. 求比值的方法:用比的前项除以后项得到一个数,这个数 就是比值。比值可以是分数,也可以是小数或整数。 5. 比与除法、分数的关系: (1)比的前项相当于被除数、分子,比的后项相当于除数、分 母,比值相当于商、分数值,比号相当于除号、分数线。因为除数和 分母不能为 0,所以比的后项也不能为 0。 (2)用字母表示比与除法、分数三者之间的关系,可以表示为 a∶b=a÷b=ab(b≠0)。 6. 连比。三个或三个以上的数的关系也可以用比来表示。 例如:一个长方体的长、宽、高的比是 2∶3∶4(读作 2 比 3 比 4), 这样的比称为连比。 7. 比在生活中的应用。 (1)两个同类量进行比较时,它们的比值表示这两个数量之间 的倍比关系。 1.比表示两个数之 间的倍比关系。 2.比与除法、分数 之间可以相互转换 ,但 三者的意义不同。 3. 比是有序的 ,如 果颠倒比的顺序 ,就会 得到另一个比 ,表示的 意义也不同。 4. 比与除法、分数 的区别 :比表示一种关 系,除法是一种运算,分 数是一个数。 易混点:教材中所 讲的“比”与体育比赛中 的“比”意义不同。体育 比赛中的“比”是记录比 赛双方得分的一种形 式,它可以记作 2∶0,表 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第16页 (2)两个相关联的非同类量进行比较时,它们的比值表示一个 新的量,要加单位名称。 二、比的化简 1.最简整数比。 比的前项和比的后项都是整数,并且比的前项和后项的最大 公因数是 1。 2. 把一个比化成最简整数比的过程,叫作化简比。 3. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0的数,比值的大小 不变。 4. 比的前项和后项不能同时乘或除以 0的原因。 (1)因为除数不能为 0,所以比的前项和后项不能同时除以 0。 (2)因为比的前项和后项同时乘 0后,比的后项变为 0,而 0不能 作比的后项,所以比的前项和后项也不能同时乘 0。 5.化简比的方法。 (1)整数比的化简方法: 方法一,先把比改写成分数的形式,再把这个分数进行约分,最 后改写成最简整数比; 方法二,把比改写成除法算式,根据商不变的规律,把被除数和 除数同时除以它们的最大公因数,求出商后再化成最简整数比; 方法三,把比的前项、后项同时除以它们的最大公因数,直接化 成最简整数比。 示一个队得2分,另一个 队得 0 分 ,而教材中的 “比”表示倍比关系。 易错点 :因为除数 和分母不能为 0,所以比 的后项也不能为 0。 1.在化简比的过程 中必须保证比值不变 , 且最后结果仍然是两个 数的比。 2. 比的基本性质 与分数的基本性质、商 不变的规律是一样的。 3. 利用比的基本 性质解答有关比的实际 问题时 ,要注意的是比 的前项和后项同时乘或 除以同一个不为0的数, 而不是同时加上或减去 相同的数。 错例: 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第17页 (2)分数比的化简方法: 方法一:根据比与除法的关系,将比改写成除法算式,并求出结 果,商用最简分数表示,然后将最简分数转化成最简整数比的形式; 方法二:把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数,然 后按照整数比的化简方法化成最简整数比。 (3)小数比的化简方法: 方法一:根据比与除法的关系,将比改写成除法算式,根据商不 变的规律,将被除数与除数同时扩大到原来的相同的倍数(0 除外), 从而化成整数比,然后按照整数比的化简方法化成最简整数比; 方法二:根据比的基本性质,先把比的前项和后项的小数点向 右移动相同的位数,将小数比化成整数比,然后按照整数比的化简方 法化成最简整数比。 6.化简比和求比值的区别。 (1)在计算依据上,化简比依据除法中商不变的规律、分数中分 数的基本性质及比的基本性质;求比值依据比值的意义。 (2)在计算方法上,化简比时可以改写成分数约分化简,也可以 改写成除法求商化简,还可以把比的前项和后项同时乘或除以同一 个不为 0的数;求比值则是用比的前项除以比的后项。 (3)在结果的表现形式上,化简比的最终结果是一个最简整数 比;求比值的最终结果是一个数,可以是分数、小数或整数。 三、比的应用 1. 按一定的比进行分配的意义。 选择:把 10 g盐放入 90 g 水中 ,盐和盐水的 质量比是(A)。 A.1∶9 B.9∶10 C.1∶10 D.10∶1 分析:此题错在盐水 的质量应是盐和水的质 量和。答案 A中的 1∶9 是盐和水的质量比 ,答 案 B中的 9∶10是水和 盐水的质量比 ,答案 D 中的 10∶1是盐水和盐 的质量比。盐和盐水的 质 量 比 应 该 是 10∶(10+90)=1∶10。盐 水是由盐与水组成的 , 判断时要正确理解“盐 水”等溶液的组成成分。 求比时 ,一般都要化成 最简整数比。 正解:C 1. 根据两个数的 比 ,可以求出其中一个 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第18页 在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比进 行分配,这种分配方法通常叫作按一定的比进行分配。 2.按一定的比进行分配问题的解法。 (1)按一定的比进行分配的问题,应先求出总量一共被平均分 成了几份,再找出各部分量占总量的份数,采用平均分的方法求出每 份具体的数量,最后用分数乘法求出各部分相应的具体数量; (2)先求出总量一共被平均分成了几份,再用相应的分数来表 示各部分量,最后用分数乘法来解答; (3)列方程解答,先设每份的量为 x,再用每份的量乘分成的份 数,表示各部分量,最后根据“部分量+部分量=总量”列方程解答。 3.按一定的比进行分配解决问题方法的应用。 (1)已知总量及两个部分量间的比的关系,求部分量。 (2)已知一个部分量及两个部分量间的比的关系,求总量。 (3)已知一个部分量及两个部分量间的比的关系,求另一个部 分量。 数占这两个数总和的几 分之几。 2. 解决按比分配 的问题时 ,一定要注意 已知量所对应的份数是 多少,已知量÷已知量对 应的份数=一份量。 3. 解决按比分配 的问题时 ,不但要找准 分配的比 ,还要找准被 分配的量。需要注意的 是被分配的量一定是各 部分量的和。 4. 解决按比分配 的问题时 ,一定要找准 单位“1”的份数,以便准 确确定分数的分母。 5. 在实际生活中, 要使分配方法更合理 , 按比分配 ,这样才能使 结果公平合理。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第19页 数 学 好 玩 一、反弹高度 活动任务 篮球、乒乓球从高处落地后都会反弹。通过实验让两种球从 同一高度自由落下,测试哪种球会反弹高一些以及各自的反弹高 度是多少。 1.实验方案的内容。 (1)设计实验步骤。 (2)明确小组分工。 (3)收集并记录数据。 2.实验步骤。 (1)选一块靠墙的平地,在墙上量出三个高度并做上标记。 (2)选择篮球分别从这三个高度自由落下,在墙上标出球的反 弹高度,记录量得的数据,并求出每次反弹的高度是起始高度的几 分之几。 (3)选择乒乓球分别从这三个高度自由落下,在墙上标出球的 反弹高度,记录量得的数据,并求出每次反弹的高度是起始高度的 几分之几。 3.分工。 以小组为单位进行实验。在小组内部成员中,有落球人员、测 量人员、观察人员和记录人员,大家分工明确,各司其职。 1.球从指定高度落 下时,要将球的上沿(或下 沿)与高度标记齐平。 2.要细心观察球的 反弹高度,并根据反弹的 最高点(或最低点)及时做 上标记,测量反弹高度时, 可以保留整厘米数。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第20页 4.收集并记录数据。 用米尺分别测量篮球、乒乓球每次下落前和反弹后的高度, 并列表记录。 5.结论:不同的球从同一高度自由落下,其反弹高度一般不同; 同一种球从不同高度落下,其反弹高度也不相同。 6.在活动中,用到的知识和方法。统计的知识、分数的知识、 测量的方法等。 7.(1)足球落下的高度和反弹高度的关系。 可通过实验获得 数据。 (2)影响反弹高度的因素? 风的阻力、场地的材质、反弹的方 向、起始高度、空气的阻力、施加的力度、测试地点的情况等。 二、 看图找关系 问题 1:汽车行驶速度。 1. 观察上图,横轴表示时间,横轴上的 1,2,3…分别表示 1 分,2 分,3 分……纵轴表示速度,纵轴上的 100,200,300…分别表 示 100 米/分,200 米/分,300 米/分……表示点A的意思时,要根据 点 A的位置联系横轴、纵轴的含义说。点 A表示时间为 0.5 分, 汽车的速度为 200 米/分。汽车从横轴“0”的位置(解放路站)到“4” 的位置(商场站)之间共行驶了 4分。 3.要及时记录实验 中的数据。 4.为 了保证数据的准确 性,可以多做几次实验。 用语言表述事件发 生的过程时,要特别注意 特殊时段发生的事件。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第21页 2. 汽车速度的变化。汽车从解放路站到商场站共行驶了 4 分,速度在变化。要根据折线走向的变化情况分段进行描述。在第 1分内,折线呈上升趋势,说明汽车的速度在上升。1分所对应的速 度为400米/分,说明汽车在第1分内的速度从0米/分增加到400 米/分。在 1分到 3分之间是一条水平线段,说明汽车在匀速行驶, 速度保持不变,为 400米/分。在 3分到 4分之间,折线呈下降趋势, 说明汽车的速度在下降。从 3分所对应的 400 米/分下降到 4分 所对应的 0米/分,汽车停止。 3. 汽车从 1分到 3分行驶路程的大致变化情况。在 1分到 3 分之间是一条水平线段,汽车以 400 米/分的速度在匀速行驶,由 “路程=速度×时间”可知,随着时间的推移,路程也在逐渐增加。 问题 2:足球场内的声音。 1. 上图是对某足球比赛场内声音起伏情况的描述,横轴表示 时间,纵轴表示音量,随着时间的变化,音量也在变化,音量的变化 与时间存在关联。 2. 从观众开始进场到全部退场,一共经过了 2 时 45 分,即 165 分。 3. 比赛开始前半时,足球场内的音量的变化:比赛开始前半 在数学上,可以用 图形来描述事件或行为。 随着时间的变化,事 件有时也会发生相应的 变化;有时随着周围环境 的变化,某事件也会相应 地变化。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第22页 时,足球场内的声音逐渐变大,从开始没有声音到逐渐变成声音 大。 4. 上半场足球场内声音变得非常大的时间段,可能发生的事 情:上半场 20分(即 19:50)时,足球场内的声音变得非常大,可能是 主场球队进了球,球迷们在欢呼。 5. 下半场足球场内音量的变化情况以及比赛的情形。如下 半场前半时比较安静直至 21:00,可能由于主场球队又进了球,球 迷们再次欢呼起来,声音再次变得非常大;声音慢慢地变小,直到 比赛结束,足球场内的音量迅速变得非常大,估计是主场球队的球 迷在欢呼。 6.比赛结束到观众全部退场的音量变化。比赛结束时,足球场 内的声音迅速变得非常大,估计是主场球队的球迷在欢呼,到观众 全部退场,声音逐渐减小,直至恢复了无声的状态。 三、比赛场次(乒乓球比赛) 问题 1:一共要比赛多少场? 六(1)班 10 名同学进行乒乓球比赛,每两名同学之间要进行 一场比赛。 1. 方案一:列表格找规律。 (1)列表格找规律,横格和竖格分别表示参赛的同学,横格上的 每名同学和竖格上的每名同学分别进行比赛,用“ ”表示比赛场数, 因为自己不能和自己比赛,也不能重复比赛,所以可以把表格的一 半去掉。 关于联络方式的问 题,可以采用画图的方法 来解决。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第23页 (2)比赛场数是从 1开始的几个连续自然数的和,最后一个加 数为人数减 1。 2. 方案二:画图找规律。 (1)把人数看作图形的顶点(端点),任意两点间能画多少条线 就代表有多少场比赛。 (2)画图找规律,用点表示同学,用两点之间的连线表示两名 同学之间的比赛,通过数连线条数的方法来寻找比赛场数的规律。 两名同学时,只有 1 条线;3 名同学时,增加了 2 条线,1+2=3(条);4 名同学时,又增加了 3条线,1+2+3=6(条);5 名同学时,再增加 4条 线,1+2+3+4=10(条);从而发现规律,5名同学时,比赛场数为1到4 四个数的和;6 名同学时,比赛场数为 1 到 5 五个数的和,依此类 推,10 名同学时,比赛场数为 1到 9九个数的和,共 45 场比赛。 3. 运用列表法和画图法从简单的情形开始对比赛场数进行 探究时,发现:如果2人参加比赛,只能进行1场比赛;如果3人参加 比赛,比赛场数为 1+2=3(场);如果 4 人参加比赛,比赛场数为 1+2+3=6(场)……如果,n 人参加比赛,比赛场数为 1+2+3+… +(n-1)=n×(n-1)÷2。 问题 2:联络方式(需要多长时间通知完)。 1. 画图找规律,用点表示联络的人数,通过数点的方法来寻 找联络方式的规律。 (1)规律 1:1分能通知到两名同学;2分能通知到2+4=6(名)同 学 ;3 分 能 通 知 到 2+4+8=14( 名 ) 同 学 ;4 分 能 通 知 到 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第24页 2+4+8+16=30(名)同学;5 分能通知到 2+4+8+16+32=62 (名)同 学……每增加 1分,增加的人数是前一次通知到的人数的 2倍。 由图可知,5分能通知到2+4+8+16+32=62(名)同学,所以6分能通 知到 2+4+8+16+32+64=126(名)同学,即通知 126 名同学需要 6 分。 (2)规律 2:1 分能通知到 2名同学; 2 分能通知到 6名同学,6=2×2+2; 3 分能通知到 14 名同学,14=6×2+2; 4 分能通知到 30 名同学,30=14×2+2; 5 分能通知到 62 名同学,62=30×2+2。 (3)发现:n 分能通知到的人数比前(n-1)分能通知到的人数的 2倍还多 2 人。5 分能通知到 62 名,62×2+2=126(名),所以 6 分 能通知到 126 名同学。 2. n 分能通知到的人数:前(n-1)分能通知到的人数×2+2。 七 百分数的应用 一、百分数的应用(一) 1.确定单位“1”的方法:与哪个量相比,那个量就是单位“1”。 2.求一个数比另一个数多(或少)百分之几的方法: (1)先求一个数比另一个数多(或少)的具体量,再除以单位“1” 的量,即两数差量÷单位“1”的量; 1. 解决百分数问 题时,把单位“1”看作 100%。 2. 求甲比乙增加 百分之几:(甲‐乙)÷乙 求乙比甲减少百分 之几:(甲‐乙)÷甲 3. 线段图是解决 百分数问题的好帮手。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第25页 (2)把另一个数看作单位“1”,即 100%。 二、百分数的应用(二) 1. 求“比一个数增加(减少)百分之几的数是多少”的方法: 方法一:先求出增加(减少)部分的具体数量,然后用单位“1”所 对应的具体数量加上(减去)增加(减少)部分的具体数量。 方法二:先求出增加(减少)后的数量是单位“1”的百分之几, 然后用单位“1”所对应的具体数量乘这个百分数。 2. 成数的意义。 在工农业生产和日常生活中经常用到成数,成数可以表示各行 各业的发展变化情况。“几成”就是十分之几,也就是百分之几十。 3.解决成数问题的方法。 解决成数的问题,关键是先将成数转化为百分数,然后按照百 分数问题的解法进行解答。 三、百分数的应用(三) 1. 已知两个部分量的差(和)及两个部分量对应的百分数,求总 量,这类问题用方程解有两种方法: (1)A%x±B%x=两个部分量的差(和); (2)(A%±B%)x=两个部分量的差(和)。(x 代表总量;A%代表较大 的部分量所占的百分数;B%代表较小的部分量所占的百分数) 2.用方程解“已知比一个数增加百分之几的数是多少,求这个 数”的问题有两种解答方法: (1)单位“1”的量×(1+比单位“1”多的百分率)=已知量; (2)单位“1”的量+单位“1”的量×比单位“1”多的百分率= 已知量。 3. 用方程解“已知一个部分量占总量的百分之几及另一个部 甲比乙增加 (或减 少)百分之几,就是甲比 乙多(或少)的部分相当 于乙的百分之几。 成数问题的解题思 路和解题方法与百分数 的问题相同 ,只是要注 意成数与百分数之间的 转化。 1.根据乘除法的互 逆关系 ,可以用算术法 解决求整体的百分数问 题。 2.百分数的应用题 与分数应用题的问题类 型和解题方法完全相 同 ,百分之几与几分之 几的意义相同。 1.存款利率以“年 利率”为主,但存款时间 有按月计算的。 “年利率”对应的 时间单位为“年”。 2.根据乘除法的互 逆关系 ,可以推导出本 金、利率和时间的计算 公式。 计算利息时可以把 利率改写成分母是 100 的分数,再约分计算。 在本金、利率相同 的情况下 ,存款时间越 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第26页 分量,求总量”的问题有两种解答方法: (1)总量×(1‐已知部分量占总量的百分率)=另一部分量; (2)总量‐总量×已知部分量占总量的百分率=另一部分量。 四、百分数的应用(四) 1.本金、利息、利率的含义。 (1)存入银行的钱叫作本金。 (2)取款时银行多支付的钱叫作利息。 (3)利息与本金的比值叫作利率(利率有按年计算的,有按月计 算的。利率按年计算的通常称作年利率,利率按月计算的通常称作 月利率)。 2.利息的计算公式:利息=本金×利率×时间。 3.已知利息、利率、时间,求本金:因为利息=本金×利率×时间, 可以利用乘法各部分间的关系进行推导,得出本金=利息÷利率÷时 间,也可以把本金用 x 表示,以利息的公式为“等量关系”,列方程解 答。 4.已知利息、本金、利率,求时间:因为利息=本金×利率×时间, 可以利用乘法各部分间的关系进行推导,得出时间=利息÷本金÷利 率,也可以把时间用 x 表示,以利息的公式为“等量关系”,列方程解 答。 5.已知利息、本金、时间,求利率:因为利息=本金×利率×时间, 可以利用乘法各部分间的关系进行推导,得出利率=利息÷本金÷时 间,也可以把利率用 x 表示,以利息的公式为“等量关系”,列方程解 答。 长,所获得的利息越多。 到期取回的总钱数 =本金+利息 在计算利息时 ,一 要注意存款的时间 ,二 要注意对应的利率。 知识巧记 银行储蓄好处多, 安全增收援建设。 利息计算莫马虎, 公式牢记在心里。 本金利率和时间, 三量连乘利息得。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第27页