小学五年级奥数教案：环形跑道(讲师版)

小学五年级奥数教案：环形跑道(讲师版)

学科培优 数学 环形跑道 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多 次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准 确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 知识梳理 1.解环形跑道问题的一般方法 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次； 如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决 问题的关键。 环线型 同一出发点 直径两端 同向 nS(路程差) nS+0.5S(路程差) 相对 (反向) nS(路程和) nS-0.5S(路程和) 2.重点难点解析 （1）．环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）．环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 （3）．用比例解环形跑道问题 3.竞赛考点挖掘 （1）．环形跑道与数论的结合 （2）．用比例解环形跑道问题 例题精讲 【试题来源】 【题目】 一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发， 经过多少分钟两人相遇 【答案】8 分钟 【解析】 小青每分钟比小兰多跑 50米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑 5 米，后一半时间每秒跑 4 米，那么她的后一半路程跑了多少秒？ 【答案】55 【解析】 设总时间为 X，则前一半的时间为 X/2，后一半时间同样为 X/2 X/2*5+X/2*4=450 X=100 总共跑了 100 秒 前 50 秒每秒跑 5 米，跑了 250米 后 50 秒每秒跑 4 米，跑了 200米 后一半的路程为 450÷2=225 米 后一半的路程用的时间为（250-225）÷5+50=55 秒 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动， 当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求此圆形 场地的周长？ 【答案】480 【解析】 由以上几题归纳可知：第一次相遇，两人共走了 0．5 圈；第二次相遇， 两人共走了 1．5 圈．所以第二次相遇时，乙一共走了 AD＝100 3 300  （米），又知到 AD＝60（米），所以圆形场地的半周长为300 60 240  （米），那么，周长为240 2 480  米。 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 2300 5 90 16 3    【试题来源】 【题目】 两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向 而行，45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 【答案】315 秒 【解析】 （4+3）×45=315 米——环形跑道的长（相遇问题求解） 315÷（4-3）=315 秒——（追及问题求解） 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300米的正 方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲 每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经过多少时间甲才能看到乙？ 【答案】16 分 40秒 【解析】 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有 300 米长，当甲追上 乙一条边（300 米）需 300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了 90×15÷300＝4．5（条） 边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走 0．5 条边就可以看到乙了，即甲走 5 条 边后可看到乙，共需 分钟，即 16分 40秒． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4千米， 乙 速度是每小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相 遇，在过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？ 【答案】4.2 【解析】 30 分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这 0.6 千米用了 5 分钟， 因为乙和丙从出发到相遇共用 35 分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 下图是一个边长 90 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲逆时 针每分行 75 米，乙顺时针每分行 45米．两人第一次在 CD边（不包括 C， D 两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？ 【答案】第 7 次 【解析】 两人第一次相遇需360 (75 45) 3   分，其间乙走了 45 3 135  （米）．由此知，乙没走 135米两人相遇一次，依次可推出第 7 次在 CD 边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次 数） 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米．甲、乙两车同 时分别从相距 90 米的 A，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不 改变方向，当乙车到达 B 点时，甲车过 B点后恰好又回到 A 点．此时甲车 立即返回（乙车过 B 点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？ 【答案】3 分 【解析】 右图中 C 表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从 B 到 C 又返回 B 时， 甲恰好转一圈回到 A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因 此 C 点距 B 点 180－90＝90（米）．甲从 A 到 C 用了 180÷20＝9（分）， 所以乙每分行驶 90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从 A， B 出发相向而行相遇需要 90÷（20＋10）＝3（分）． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑， 每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3。甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5。已知沿跑道 看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190米，那么这条椭圆形跑道长 多少米？ 【答案】400 【解析】 由于乙的速度是甲的 2/3，所以此时乙走的距离也是甲的 2/3。因此，此时甲走的距离是整 个跑道周长的 1÷（2/3+1）=3/5，也就是第一次两人相遇点距离起点逆时针方向为 3/5 的 周长。当甲走完一圈回到起点时，由于从开始到现在甲、乙的速度都未变，所以乙此时经 过的路程是跑道周长的 2/3，也就是从起点到乙现在点的顺时针方向为跑道周长的 1/3。 之后，甲的速度提高了 1/3，因而乙的速度为此时甲的 2/3÷（1+1/3）=1/2。而乙还有 1/3 未跑，因此当乙再一次回到起点时，甲的第二圈又跑了一圈的 1/3÷1/2=2/3，因为甲这一 圈是逆时针跑的，所以恰好又跑了起点顺时针方向的 1/3。最后，乙从起点顺时针走，甲从 这点逆时针走，此时，乙速是甲的 1/2×（1+1/5）=3/5。设两人第二次相遇在某一点。乙 从起点到这一点是甲从起点的顺时针方向的 1/3到这一点的距离的 3/5，而这两段距离之和 为周长的 1/3，所以从起点到第二次相遇点的距离为跑道长的 1/3×3/5÷（1+3/5）=1/8。 从起点顺时针到两人第一次相遇点的距离为跑道长的 3/5。因此，从第二次相遇点到第一次 相遇点的距离为跑道长的 3/5—1/8=19/40＜1/2，这就是两次相遇点间距离 190 米。所以， 跑道一周的长为：190÷19/40=400 米。 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 55 米，周老师每分钟走 65 米。已知林荫道周长是 480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王 老师再走 米就回到出发点。 【答案】200 【解析】 两人每共走 1 圈相遇 1 次，用时 480÷(55+60)=4(分) 到第 10 次相遇共用 40分钟，王老师共走了 55×40=2200（米）， 要走到出发点还需走 480×5-2200=200（米） 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别 沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最 远？ 【答案】2 圈 【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只 甲虫在 A 点，另一只在过 A 的直径另一直径端点 B， 所以在小圆甲虫跑了 n 圈，在大圆甲虫跑了 m＋ 1 2 圈； 于是小圆甲虫跑了 30n，大圆甲虫跑了 48(m＋ 1 2 )＝48m＋24 因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同， 所以 30n＝48m＋24； 即 5n＝8m＋4，有不定方城知识，解出有 n＝4，m＝2， 所以小甲虫跑了 2 圈后，大小甲虫相距最远。 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 甲、乙两车同时从同一点 A 出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶．驾车每小 时行驶 65 千米，已车每小时行驶 55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车 从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离有多少米？ （2000年华校入学试题） 【答案】3000 【解析】 首先是一个相遇过程，相遇时间： 6 (65 55) 0.05   小时，相遇地点距离 A 点： 55 0.05 2.75  千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6 (65 55) 0.6   小时， 乙车在此过程中走的路程： 55 0.6 33  千米，即 5 圈余 3 千米，那么这时距离 A 点 25.075.23  千米．甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离 A 点 375.225.0  千米，而第 4 次相遇时两车又重新回到了 A 点，并且行驶的方向与开始相 同．所以，第 8 次相遇时两车肯定还是相遇在 A点，又 32311  ，所以第 11 次相 遇的地点与第 3 次相遇的地点是相同的，距离 A点是 3000米． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间 是 70分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【答案】126 【解析】 甲行走 45 分钟，再行走 70－45=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45 分钟，乙行走 45 分钟 也能走完一圈.所以甲行走 25分钟的路程相当于乙行走 45分钟的路程． 甲行走一圈需 70分钟，所以乙需 70÷25×45=126 分钟． 即乙走一圈的时间是 126分钟． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的 方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100米以后，他们第一次相遇，在甲走完 一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【答案】480 【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 2 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时， 甲乙共走完 1+ 1 2 ＝ 3 2 圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而 第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 100×3=300 米．有 甲、乙第二次相遇时，共行走(1 圈－60)+300，为 3 2 圈，所以此圆形场地的周长为 480米． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑， 每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5．已知沿跑道看 从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190米，那么这条椭圆形跑道长多 少米? 【答案】400 【解析】 设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度 为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速度 为 12 5 .如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出 发点 3 5 的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑 了 2 3 的跑道长度.在乙接下来跑了 1 3 跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了 1 22 4 3 3    圈．所 以还剩下 1 3 的跑道长度，甲以 4 的速度，乙以 12 5 的速度相对而跑，所以乙跑了 1 12 124 3 5 5          1 8  圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点 1 8 圈．即第一次相遇 点与第二次相遇点相差 3 1 19 5 8 40   圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为 19190 400 40   米． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图，在 400 米的环形跑道上，A,B 两点相距 100 米.甲、 乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每 秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少 秒? 【答案】140 【解析】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为 100÷(5-4)=100 秒． 此时甲跑了 100×5=500 米，乙跑了 100×4=400 米．而实际上甲跑 500 米，所需的时间为 100+4×10=140 秒，所以 140～150 秒时甲都在逆时针距 A 点 500 处．而乙跑 400 米所需的 时间为 100+3×10=130 秒，所以 130～140 秒时乙走在逆时针距 B 点 400处．显然从开始计 算 140 秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是 140秒． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B 两点．甲、乙两人分别从 A，B 两点同 时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B．如果以 后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【答案】1000 【解析】 如下图,记甲乙相遇点为 C.当甲跑了 AC 的路程时，乙跑了 BC 的路程；而当甲跑了 400 米时，乙跑了 2BC 的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的 时间是甲再次到达 A 点所需时间的 2 1 .即 AC= 2 1 ×400=200(米)，也就 是甲跑了 200 米时，乙跑了 100米， 所以甲的速度是乙速度的 2 倍．那 么甲到达 A，乙到达 B 时，甲追上乙时需比乙多跑 400-100=300 米的路程，所以此后 甲还需跑 300÷(2-1)×2=600 米，加上开始跑的 l 圈 400 米．所以甲从出发到甲追上 乙时，共跑了 600+400=1000 米． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米．甲、乙两人分别从房屋的两 个墙角出发，甲每秒钟行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一 次看见乙? 【答案】16 3 2 【解析】 开始时，甲在顺时针方向距乙 8+13+8=29 米．因为一边最长为 13、所 以最少要追至只相差 13，即至少要追上 29-13=16 米． 甲追上乙 16 米所需时间为 16÷(3-2)=16 秒，此时甲行了 3×16=48 米， 乙行了 2×16=32 米． 甲、乙的位置如右图所示： 显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑 2 米，所需 时间为 2÷3= 3 2 秒．所以经过 16+ 3 2 =16 3 2 秒后甲第一次看见乙. 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重．甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米 的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点 A 处出发,当他 们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 【答案】660 【解析】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在 AB顺时针的半跑道上． 易知小跑道AB逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB的顺、逆时针路程均是200 米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚． 当甲第一次到达 B 时,乙还没有到达 B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的 BA某处． 而当乙第一次到达 B 点时，所需时间为 200÷4=50 秒,此时甲跑了 50×6=300 米,在 B 点 300-200=100 米处．乙跑出小跑道到达 A 需 100÷4=25 秒,则甲又跑了 25×6=150 米,在 A 点左边(100+150)-200=50 米处．所以当甲到达 B 处时,乙还未到 B 处,那么甲必定能在 B 点 右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达 A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35 秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了 50+25+35=110 秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 110×6=660 米． 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A， B两地顺时针方向沿长方形 ABCD的边走向 D 点.甲 8时 20 分到 D点 后,丙、丁两人立即以相同速度从 D 点出发.丙由 D向 A 走去,8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追上. 问三角形 BEF的面积为多少平方米? 【答案】2497.5 【解析】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置． 先分析甲的情况，甲 10分钟，行走了 AD的路程；再看乙 的情况，乙的速度等于甲的速度，乙 14 分钟行走了 60+AE 的路程，乙 20 分钟走了 60+AD+DF 的路程．所以乙 10 分 钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程． 有 60 10 14 AD AE  60 10 DF  ，有     60 7 5 60 AD DF AE ED AE       然后分析丙的情况,丙 4 分钟,行了走 ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁 10 分钟行走了 DF的距离． 有 4 10 ED DF  ，即 5ED＝2DF． 联立     60 7 5 60 5 2 AD AE ED DF AE ED AE ED DF           ，解得 87 18 45 AE ED DF      于是,得到如下的位置关系： ABCD 160 (87+18)- 60 87 2 1 118 45 15 (87+18)=2497.5( ) 2 2 BEF ABE EDF FCBS S S S S                 四边形 平方米 【知识点】环形跑道 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 习题演练 【试题来源】 【题目】某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑 5 米，后一 半时间每秒跑 4 米，则他后一半路程跑了多少秒？ 【答案】44 【解析】44 【知识点】环形跑道 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】二人沿一周长 400米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分 钟，他们同时同地同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二 人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 【答案】1428 【解析】1428 【知识点】环形跑道 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】A、B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇．已知 C 离 A 有 75 米，D 离 B 有 55 米，求这个圆 的周长是多少米？ 【答案】340 【解析】340 【知识点】环形跑道 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第五 次相遇，已知每秒钟甲比乙多走 0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上 的最短路程是多少米? 【答案】176 【解析】176 【知识点】环形跑道 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】在 400米的环形跑道上，A、B 两点相距 100 米，。甲、乙两人分别从 A、B 两 点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100米， 都要停 10 秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？ 【答案】140 【解析】140 【知识点】环形跑道 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】33 【试题来源】 【题目】有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之 后,3 人又可以相聚在跑道上同一处? 【答案】30 【解析】30 【知识点】环形跑道 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4