四年级上册数学试题-排列组合综合（解析版）全国通用

四年级上册数学试题-排列组合综合（解析版）全国通用

第九讲 排列组合综合 知识要点 一、排列的概念与计算 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题。在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。‎ 排列的基本问题是计算排列的总个数。‎ 从 n 个不同的元素中取出m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元 素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做 Am 或 Pm 。‎ n n n Am = n(n -1)(n - 2)...(n - m +1) ，这里， m ≤ n ，且等号右边从 n 开始，后面每个因数比前一个因数小1 ，共有 m 个因数相乘。‎ 二、组合的概念与计算 一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（ m ≤ n ）元素组成一组,不考虑组内各元素的次序，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。‎ 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时， 才是不同的组合。‎ n 从 n 个不同元素中取出m 个元素（ m ≤ n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数记作Cm 。‎ C Am A m n m = n = m ‎n(n -1)(n - 2)...(n - m +1)‎ m(m -1)(m - 2)...3´ 2´1‎ 这个公式就是组合数公式。‎ 三、排列组合的技巧 捆绑法、插空法、隔板法、去杂法 ‎ ‎ ‎（1）用 0、1、2、3、4 可以组成多少个没有重复数字的三位数？‎ ‎（2）用 0、1、2、3、4 可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？‎ ‎【解析】(1)首位不为0‎ ‎4‎ ‎4´ A2 = 4´12 = 48 个 ‎(2)个位奇数,首位不为0‎ 个位 首位 十位 ‎2´ 3´ 3 =18 个 ‎（1）用 0、1、2、3、4、5 可以组成多少个没有重复数字的四位数？‎ ‎（2）用 0、1、2、3、4、5 可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？‎ ‎【解析】(1)首位不为0‎ ‎5‎ ‎5´ A3 = 5´ 60 = 300 个 ‎(2)个位奇数,首位不为0‎ ‎4‎ ‎5´ 4´ A2 = 20´12 = 240 个 小明是学校图书馆的一名管理员，现在有 4 本中文书籍和 2 本外文书籍需要排好顺序后摆放在书架上，并 且 2 本外文书籍必须紧挨在一起.请问，这 6 本书籍一共有几种排法？‎ ‎【解析】捆绑法□外 □外 A ‎2‎ 外文捆绑架 2‎ ‎② 中文与外文一起排 A ‎5‎ ‎□中 □中 □中 □外 □外 5‎ ‎2 5‎ ‎② A2 ´ A5 = 2´120 = 240 种 ‎5 名球迷与 5 名篮球运动员拍照，要求 5 名篮球运动员必须站在一起，有多少种不同的排列方法？ 捆绑法 ‎5‎ ‎【解析】5 篮捆绑 A5‎ ‎6‎ ‎5 球迷与一捆排一起 A5‎ ‎5 6‎ 种 A5 ´ A5 =120´ 720=86400‎ 小乐计划要在未来的 7 天中选 3 天去健身馆，为了防止运动过量，不能连续两天都去.他一共有多少种满足要求的时间安排？‎ ‎【解析】插空法 ‎① 不相邻的站一边 ‎② 其余4 天排一排 ‎③ 不相邻插空 ‎5‎ A3 = 60 种 ‎5 位小朋友排成一排表演节目，其中有两个小朋友不能相邻，请问一共有多少种不同的排法？‎ ‎【解析】插空法 ‎① 不相邻的站一 A ‎3‎ ‎② 其余人排一排 3‎ A ‎4‎ ‎③ 不相邻的插空 2‎ ‎④ 步步相乘 ‎3 4‎ A3 ´ A2 = 6´12 = 72 种 ‎9 个相同的苹果放入四个不同的篮子里，要求每个篮子里至少放一个，一共有多少种不同的放法？‎ ‎【解析】隔板法 ‎① 9 个苹果分四份,每份至少一个.‎ ‎②‎ ‎8 空 ‎③ 四份只需要3 个板 ‎8‎ ‎④ C3 = 8´ 7´ 6 = 56 种 ‎16 个相同的苹果放入四个不同的篮子里，要求每个篮子里至少放三个，一共有多少种不同的放法？‎ ‎【解析】隔板法 ‎① 先去掉(3 -1)´ 4 = 8 个苹果剩16 -8 = 8个 ‎② 按照每份至少一个分配 ‎③ 8 个苹果分四份,每份至少一个.‎ ‎7 空3 板 ‎7‎ ‎④ C3 = 7´ 6´5 ¸ (3´ 2´1) = 35 个 a、b、c 均为正整数，且 a+b+c=7，满足这样条件的abc 有多少个？‎ ‎【解析】可理解为 7 分3 份,每份至少1‎ 隔板法 6 空2 板 ‎6‎ C2 = 6´5 ¸ 2 = 15 个 a、b、c 均为自然数，且 a+b+c=7，满足这样条件的abc 有多少个？‎ ‎【解析】‎ 可理解为 7 分3 份, b.c 可以不分, a 至少1 隔板法 ‎①先给b.c 各借1 7 +1+1 = 9‎ ‎② 9 分3 份,每份至少1‎ ‎8 空2 板 ‎2‎ ‎③ C2 = 8´ 7 ¸ 2 = 28 个 包含数字 0 的四位自然数有多少个？‎ ‎【解析】排除法 ‎①所有四位数 ‎9´10´10´10 = 9000 个不包含0 的四位数 ‎9´9´9´9 = 6561个 包含0 的四位数 ‎9000 - 6561 = 2439 个 从 4 名男生 3 名女生中选出 3 名代表，其中至少有一名女生的选法有多少种？‎ ‎【解析】‎ ‎[法一]直接法 ‎3 4‎ ‎①1女2 男 C1 ´C2 = 3´ 6 = 18 个 ‎3 4‎ ‎② 2 女1男 C2 ´C1 = 3´ 4 = 12 个 ‎3‎ ‎③ 3 女 C3 = 1 个 ‎18 +12 +1 = 31个[法一]排除法 ‎①任选3 人 ‎7‎ C3 = 7´ 6´5 ¸ (3´ 2´1) = 35 个 ‎②全男 ‎4‎ C3 = 4 个 ‎③至少一女 ‎35 - 4 = 31个 如图所示，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？‎ ‎【解析】①任取3 点 ‎9‎ C3 = 9´8´ 7 ¸ (3´ 2´1) = 84 个 ‎②不能构成三角形的3 点 ‎5‎ C3 = 5´ 4´3 ¸ (3´ 2´1) = 10 个 ‎③三角形 ‎84 -10 = 74 个 如图，正方形 ACEG 的四条边上一共有 7 个点 A、B、C、D、E、F、G，以其中四个点为顶点的四边形有多少个？‎ ‎【解析】①任取个4 点 ‎7 7‎ C4 = C3 = 7´ 6´5 ¸ (3´ 2´1) = 35 个 ‎②不能构成四边形的4 个点 ( A, B,C ) 4 人 (C, D, E ) 4 个 (E, F,G) 4 个 ‎③构四边形 ‎35 - 4´3 = 23 个 把同一排 6 张座位编号为 1、2、3、4、5、6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分一张，最多分 2 张， 且这两张具有连续的编号，那么不同的分法有多少种？‎ ‎【解析】‎ ‎①②,③④,⑤,⑥‎ ‎①②,③,④⑤,⑥‎ ‎①②,③,④,⑤⑥‎ ‎①,②③,④⑤,⑥‎ ‎① ,②③,④,⑤⑥‎ ‎①,②,③④,⑤⑥ 共6 种 A ‎4‎ 4 组分给4 个人 4‎ ‎4‎ ‎6´ A4 = 144 种 A、B 和 C 被安排坐入排成一列的 6 个座位中，若任意两个人都不可以相邻而坐，共有多少种不同的入座方式？‎ ‎【解析】插空法 ‎①排好空位坐 ‎②连人带凳子插空 ‎4‎ A3 = 24 种 请问由 1、2、3、4、5 五个数字所构成的所有不同的五位数（不允许数字重复）之总和等于多少？‎ ‎4‎ ‎【解析】个位为1,有 A4 = 24 个 同理, 2, 3, 4, 5 各有24 个 (1+ 2 + 3 + 4 + 5)´ 24´11111 = 399960‎ 从 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字中，任取 3 个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（不允许数字重复）‎ ‎【解析】百位 ‎5‎ ‎5´ A2 = 5´ 20 = 100 个 一个不含 0 的六位数，各个数位的数字各不相同，任意 3 个相邻的数字组成的三位数都是 3 的倍数，这样的六位数有多少个？‎ ‎【解析】‎ ¸3 余0 的: 3, 6, 9‎ ¸3 余1的:1, 4, 7‎ ¸3 余2 的: 2, 5, 8‎ A B C A B C ‎①余0, 1, 2‎ ‎Þ A,‎ ‎B, C A ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎②余0 Þ A2‎ ‎3‎ 余1 Þ A2‎ ‎3‎ 余 2 Þ A2‎ ‎（1）用 0、1、2、、4 可以组成多少个没有重复数字的四位数？‎ ‎（2）用 0、1、2、3、4 可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？‎ ‎【解析】‎ ‎4‎ ‎(1) 4´ A3 = 4´ 24 = 96 个个 千 ‎3‎ ‎(2) 2´ 3´ A2 = 36 个 4 名学生与 3 名老师拍照，要求 3 名老师必须站在一起，有多少种不同的排列方法？‎ ‎【解析】捆绑法 ‎3 6‎ A3 ´ A6 = 6´ 720 = 4320 种 小王想要在未来的 10 天中选 4 天去图书馆，为了合理安排时间，不能连续两天都去.他一共有多少种满足要求的时间安排？‎ ‎【解析】插空法 ‎7 7‎ C4 = C3 = 7´ 6´5 ¸ (3´ 2´1) = 35 个 ‎10 个相同的橘子放入三个不同的篮子里，要求每个篮子里至少放一个，一共有多少种不同的放法？‎ ‎【解析】10 分3 份,每份至少1‎ ‎9 空2 板 ‎9‎ C2 = 9´8 ¸ 2 = 36 种 a、b、c 均为正整数，且 a+b+c=10，满足这样条件的abc 有多少个？‎ ‎【解析】 10 分3 份,每份至少1‎ ‎9 空2 板 ‎9‎ C2 = 36 种 包含数字 0 的五位自然数有多少个？‎ ‎【解析】‎ ‎①所有五位数 ‎9´10´10´10´10 = 9000 个 ‎②不含0 五位数 ‎9´9´9´9´9 = 59049 个 ‎③含0 五位数 ‎9000 - 59049 = 30951个