2020九年级数学上册利用二次函数的最值解决实际问题

2020九年级数学上册利用二次函数的最值解决实际问题

‎21.4　第1课时　利用二次函数的最值解决实际问题 知识点 1　利用最值求几何图形的面积 ‎1．一个矩形的面积S与其中一边的长x之间存在的二次函数关系为S＝－(x－6)2＋36，当一边长x＝________时，矩形的面积有最大值，最大值是________．‎ ‎2．将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆的半径分别为r1厘米和r2厘米．‎ ‎(1)求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；‎ ‎(2)求两圆的面积和S关于r1的函数表达式，并求出S的最小值．‎ 知识点 2　距离的最大(小)值 ‎3．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球能到达的最大高度是________ m，铅球落地时，测量小明推铅球的成绩是________ m.‎ ‎4．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图21－4－1所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(　　)‎ A．第3秒 B．第4秒 C．第4.5秒 D．第5秒 图21－4－1‎ ‎5．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－x2＋10x，则经过________s，炮弹到达它的最高点．‎ 知识点 3　经济效益的最优方案 ‎6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，价格只能在15≤x≤22范围内，那么一周可获得的最大利润是(　　)‎ A．20 B．‎1508 C．1550 D．1558‎ ‎7．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该旅游景点关闭．经跟踪测算，该旅游景点一年中某月的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，则该旅游景点一年中利润最大的月份是(　　)‎ 5‎ A．4 B．‎6 C．8 D．10‎ ‎8．［2016·成都］某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．‎ ‎(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的表达式；‎ ‎(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？‎ ‎9．如图21－4－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝‎12 mm，BC＝‎24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以‎2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以‎4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q两点分别从点A，B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小．‎ 图21－4－2‎ ‎10．［2017·包头］某广告公司设计一幅周长为‎16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形的一边长为x米，面积为S米2.‎ ‎(1)求S与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)设计费能达到24000元吗？为什么？‎ ‎(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？‎ ‎11．［教材习题21.4第3题变式］一种商品进价为每件8元，若商品售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：如果这种商品每件涨价1元，‎ 5‎ 每周要少卖5件；每件降价1元，每周要多卖5件．‎ ‎(1)求该种商品一周的销售量y(件)与商品价格x(元)之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎(2)根据物价部门规定，该商品最高售价不超过12元，则怎样定价，可使每周的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎12．某企业生产并销售某种产品．假设销售量与产量相等，如图21－4－3中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．‎ ‎(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；‎ ‎(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；‎ ‎(3)当该产品的产量为多少时，所获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 图21－4－3‎ 5‎ 教师详解详析 ‎1．6　36‎ ‎2．解：(1)依题意，得2πr1＋2πr2＝16π， 化简得r1＋r2＝8，r1的取值范围为0＜r1＜8.‎ ‎(2)两圆的面积和S＝πr12＋πr22＝π[r12＋(8－r1)2]＝2π[(r1－4)2＋16]．‎ 当r1＝4时，S有最小值，为32π平方厘米．‎ ‎3．3　10　[解析] 抛物线的顶点(4，3)是最高点，令y＝0时，得－(x－4)2＋3＝0，解得x1＝10，x2＝－2(舍去)．‎ ‎4．B　[解析] 求出抛物线的对称轴是直线t＝＝4，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，故第4秒时，小球最高．‎ ‎5．25　[解析] 求出二次函数图象的顶点的横坐标即可．‎ ‎6．D ‎7．C　[解析] 由W＝－x2＋16x－48＝－(x－8)2＋16＝0，∴利润最大的是8月份．‎ ‎8．解：(1)平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式为y＝600－5x(0≤x＜120)．‎ ‎(2)设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为w个，‎ 则w＝(100＋x)y＝(100＋x)(600－5x)‎ ‎＝－5x2＋100x＋60000‎ ‎＝－5(x－10)2＋60500，‎ 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．‎ ‎9． 3‎ ‎[解析] 利用等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积－三角形PBQ的面积”列出函数表达式求最小值．‎ ‎10．解：(1)∵矩形的一边为x米，周长为‎16米，‎ ‎∴另一边长为(8－x)米，‎ ‎∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x(0＜x＜8)．‎ ‎(2)能．理由如下：‎ 当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12(米2)，‎ 即－x2＋8x＝12，‎ 解得x1＝2，x2＝6.‎ ‎∴设计费能达到24000元．‎ ‎(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，‎ ‎∴当x＝4时，S最大值＝16，‎ 即当x＝4米时，矩形的最大面积为16米2，此时设计费最多，最多是32000元．‎ ‎11．解：(1)根据如果这种商品每件涨价1元，每周要少卖5件；每件降价1元，每周要多卖5件．可知销售量与售价之间是一次函数关系，设y＝kx＋b(k≠0)，代入(10，50)，(11，45)，得 解得 ‎∴y＝－5x＋100(8≤x≤20)．‎ ‎(2)设每周的利润为w(元)，则w＝(x－8)(－5x＋100)＝－5x2＋140x－800＝－5(x－14)2‎ 5‎ ‎＋180.‎ 由于8≤x≤12，当x＜14时，w随x的增大而增大，故当x＝12时，w有最大值，最大值为－5(12－14)2＋180＝160.‎ 答：定价为12元时，可使每周的利润最大，最大利润为160元．‎ ‎12．解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为‎130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．‎ ‎(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x＋b1(k1≠0)．‎ ‎∵函数y1＝k1x＋b1的图象经过点(0，60)与(90，42)，‎ ‎∴ 解得 ‎∴y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．‎ ‎(3)设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x＋b2(k2≠0)．‎ ‎∵该直线经过点(0，120)与(130，42)，‎ ‎∴ 解得 ‎∴y2与x之间的函数表达式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．‎ 设产量为x kg时，获得的利润为W元，‎ ‎①当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250，‎ ‎∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；‎ ‎②当90≤x≤130时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2535，‎ ‎∴当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.‎ 由－0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当90≤x≤130时，W≤2160，‎ 即当x＝90时，W有最大值2160.‎ ‎∵2160＜2250，‎ ‎∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250.‎ 因此，当该产品的产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润为2250元． ‎ 5‎