2020九年级数学下册 第3章 投影与视图

2020九年级数学下册 第3章 投影与视图

第3章 投影与视图 ‎3.1 投影 知|识|目|标 ‎1．通过生活体验与观察实物的投影，理解投影的概念并能判断几何体的投影．‎ ‎2．通过观察太阳光下实物的投影，理解平行投影的性质并能解决简单的问题．‎ ‎3．通过观察灯光下实物的投影，理解中心投影的性质并能解决简单的问题．‎ ‎4．在理解各类型投影的基础上，能进行投影的作图．‎ 目标一　理解投影的基本概念 例1 教材补充例题小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是(　　)‎ 图3－1－1‎ ‎【归纳总结】投影的四个要素：‎ ‎(1)投影线：照射的光线；‎ ‎(2)投影面：投影所在的地面、墙壁或屏幕等；‎ ‎(3)投影物：实物(或几何体、平面图形)；‎ ‎(4)投影：平面图形．‎ 目标二　理解平行投影并能解决简单的问题 例2 教材补充例题如图3－1－2，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m.‎ ‎(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；‎ ‎(2)请你计算DE的长．‎ 7‎ 图3－1－2‎ ‎【归纳总结】‎ ‎1．平行投影的两个特征：‎ ‎(1)平行投影中，形成影子的光线是平行的，平行物体在地面上形成的影子平行或在同一直线上；‎ ‎(2)同一时刻，太阳光下，物高与影长成正比．‎ ‎2．画平行投影的两个步骤：‎ 第一步：画出经过一个物体顶端和其影子的顶端的一条光线；‎ 第二步：经过另一物体的顶端画出平行于上述直线的光线，从而得到这个物体的影子．‎ 目标三　理解中心投影并能解决简单的问题 例3 教材补充例题晚上，小亮在广场上乘凉．图3－1－3中的线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．‎ ‎(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子；‎ ‎(2)如果灯杆高PO＝‎12 m，小亮的身高AB＝‎1.6 m，小亮与灯杆的距离BO＝‎13 m，请求出小亮影子的长度．‎ 图3－1－3‎ ‎【归纳总结】中心投影的三个特点：‎ ‎(1)等高物体垂直于地面放置：‎ 7‎ ‎①离点光源越近，影子越短；‎ ‎②离点光源越远，影子越长. ‎ ‎(2)等长物体平行于地面放置：‎ ‎①离点光源越近，影子越长；‎ ‎②离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度. ‎ ‎(3)点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上．‎ 目标四　会进行投影的作图 例4 教材补充例题画出图3－1－4中所摆放的长方体在投影面P上的正投影．‎ 图3－1－4‎ ‎【归纳总结】正投影的判断与作图：‎ ‎(1)正投影的投影线与投影面垂直(因为太阳光线与地面不一定垂直，所以以太阳光线为投影线、以地面为投影面的投影不一定是正投影)；‎ ‎(2)当物体的某个平面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面是全等形；‎ ‎(3)画图时，应先判断投影线与物体的相对位置，然后依据正投影的性质画出物体的正投影．‎ 例5 高频考题如图3－1－5，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三根等高的标杆整齐地排列在马路的一侧，AB，CD，EF是三根标杆，MB，ND分别是AB，CD的影子．‎ ‎(1)请画出路灯O的位置；‎ ‎(2)画出标杆EF在路灯下的影子FH.‎ 图3－1－5‎ ‎【归纳总结】中心投影的判断与作图：‎ ‎(1)任意两条投影光线(直线)的交点就是光源的位置；‎ ‎(2)物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影；‎ 7‎ ‎(3)中心投影的光线是从一点出发的投射线，物体的某个面与投影面平行时，这个面的投影与这个面相比，被放大了(即位似变换)．‎ 知识点一　投影 光线照射物体，会在平面上(如地面、墙壁)留下它的影子，把物体映成它的影子叫作投影，照射的光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面．物体在投影下的像简称为物体的投影．‎ 知识点二　平行投影 由______光线形成的投影是平行投影．‎ 平行投影的特征：‎ ‎(1)点的投影仍为点；‎ ‎(2)线段的投影可能为点或线段；‎ ‎(3)一点在某一线段上，则该点的投影一定在该线段的投影上；‎ ‎(4)平行线段的平行投影是平行或重合的线段(若投影线与线段平行，则为两个点)；‎ ‎(5)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；‎ ‎(6)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等．‎ 在平行投影中，如果投影线与投影面互相______，就称为正投影(如图3－1－6)．‎ 图3－1－6‎ 知识点三　中心投影 如果光线从______发出(如灯泡、电影放映机、幻灯机的光线)，这样的投影称为中心投影，如图3－1－7，这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”．生活中的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等．‎ 图3－1－7‎ 中心投影的特点：‎ ‎(1)等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．‎ ‎(2)等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长．离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度．‎ ‎(3)点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置．‎ ‎[点拨] 平行投影与中心投影的区别与联系：‎ 7‎ 区别 联系 光线 物体的某个面与投影面平行时，这个面的投影 平行投影 平行的投射线 与这个面全等 中心投影 从一点发出的投射线 与这个面相比，被放大了(位似变换)‎ 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子 讨论：哪些投影一定不会改变△ABC的形状和大小？‎ 甲：“中心投影．”‎ 乙：“平行投影．”‎ 丙：“正投影．”‎ 丁：“当△ABC平行于投影面时的平行投影．”‎ 你认为谁的说法正确？‎ 7‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　B 例2　[解析] (1)根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面于点F，EF即为所求；‎ ‎(2)根据平行的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长．‎ 解：(1)DE在阳光下的投影是EF.如图所示．‎ ‎(2)∵△ABC∽△DEF，∴＝，而AB＝‎5 m，BC＝‎3 m，EF＝‎6 m，∴＝，∴DE＝10(m)．‎ 例3　[解析] (1)直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；(2)如图，根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．‎ 解：(1)如图，连接PA并延长交地面于点C，则线段BC就是小亮在照明灯(P)照射下的影子．‎ ‎(2)在△CAB和△CPO中，‎ ‎∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°，‎ ‎∴△CAB∽△CPO，∴＝，‎ 即＝，∴CB＝2(m)，‎ ‎∴小亮影子的长度为2 m.‎ 例4　[解析] 由观察可知，长方体上的四边形ABCD平行于投影面，从A，B，C，D各点向投影面引垂线，画出垂足A′，B′，C′，D′，分别连接A′B′，B′C′，C′D′，A′D′，可得到图中长方体在投影面P上的正投影．‎ 解：如图所示，四边形A′B′C′D′是长方体在投影面P上的正投影．‎ 例5　解：(1)如图，点O即为所求．‎ ‎(2)如图，FH即为所求．‎ 7‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点二　平行　垂直 知识点三　一点 ‎[反思] 丁的说法正确．‎ 7‎