2020年湖北省武汉市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】
2020年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数-2的相反数是（ ）
A.2 B.-2 C.12 D.-12
2. 式子x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x≥0 B.x≤2 C.x≥-2 D.x≥2
3. 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A.两个小球的标号之和等于1
B.两个小球的标号之和等于6
C.两个小球的标号之和大于1
D.两个小球的标号之和大于6
4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A.13 B.14 C.16 D.18
7. 若点A(a-1, y1)，B(a+1, y2)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，且y1>y2，则a的取值范围是（ ）
A.a<-1 B.-1
1 D.a<-1或a>1
8. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A.32 B.34 C.36 D.38
9. 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A.523 B.33 C.32 D.42
10. 下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．
把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（ ）
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A.160 B.128 C.80 D.48
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算(-3)2的结果是________．
12. 热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是________．
13. 计算2m+n-m-3nm2-n2的结果是________．
14. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102∘，则∠BAC的大小是________．
15. 抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a<0)经过A(2, 0)，B(-4, 0)两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝-4；
②若点C(-5, y1)，D(π, y2)在该抛物线上，则y1<y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a-b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p(p为常数，p>0)的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
16. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算：[a3⋅a5+(3a4)2]÷a2．
18. 如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM // FN．求证：AB // CD．
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19. 为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
20. 在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0, 0)，A(3, 4)，B(8, 4)，C(5, 0)．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90∘，画出对应线段CD；
（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45∘（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．
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21. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90∘，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
22. 某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx+c．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
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23. 问题背景 如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90∘，∠ABC＝∠ADE＝30∘，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，ADBD=3，求DFCF的值；
拓展创新 如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30∘，∠BDC＝90∘，AB＝4，AC＝23，直接写出AD的长．
24. 将抛物线C:y＝(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图(1)，点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图(2)，直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=-4kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．
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参考答案与试题解析
2020年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.A
2.D
3.B
4.C
5.A
6.C
7.B
8.C
9.D
10.A
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.3
12.4.5
13.1m-n
14.26∘
15.①③
16.14t2-14t+1
三、解答题（共8小题，共72分）
17.原式＝(a8+9a8)÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6．
18.证明：∵ EM // FN，
∴ ∠FEM＝∠EFN，
∠BEF＝∠CFE，
又∵ EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴ ∠FEB＝∠EFC，
∴ AB // CD．
19.60,6∘
A类别人数为60-(36+9+1)＝14（名），
补全条形图如下：
估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×3660=1200（名）．
20.线段CD即为所求；
∠BCE即为所求；
21.证明：连接OD，如图，
∵ DE为切线，
∴ OD⊥DE，
∵ DE⊥AE，
∴ OD // AE，
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∴ ∠1＝∠ODA，
∵ OA＝OD，
∴ ∠2＝∠ODA，
∴ ∠1＝∠2，
∴ AD平分∠BAE；
连接BD，如图，
∵ AB为直径，
∴ ∠ADB＝90∘，
∵ ∠2+∠ABD＝90∘，∠3+∠ABD＝90∘，
∴ ∠2＝∠3，
∵ sin∠1=DEAD，sin∠3=DCBC，
而DE＝DC，
∴ AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵ ∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴ △CDB∽△CBA，
∴ CD:CB＝CB:CA，即x:y＝y：(x+y)，
整理得x2+xy+y2＝0，解得x=-1+52y或x=-1-52y（舍去），
∴ sin∠3=DCBC=5-12，
即sin∠BAC的值为5-12．
22.由题意得：当产品的数量为0时，总成本也为0，即当x＝0时，y＝0，则有：
c=0100a+10b+c=400400a+20b+c=1000 ，
解得：a=1b=30c=0 ．
∴ a＝1，b＝30；
由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70(100-x)
＝x2-40x+7000，
＝(x-20)2+6600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100-20-80．
答：A城生产20件，B城生产80件；
设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为(20-n)件，从B城运往C地的产品数量为(90-n)件，从B城运往D地的产品数量为(10-20+n)件，
由题意得：20-n≥010-20+n≥0 ，
解得10≤n≤20，
∴ P＝mn+3(20-n)+(90-n)+2(10-20+n)，
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整理得：P＝(m-2)n+130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当02，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，
则n＝10时，P取最小值，最小值为10(m-2)+130＝10m+110．
答：02时，A，B两城总运费的和为(10m+110)万元．
23.问题背景
证明：∵ △ABC∽△ADE，
∴ ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，
∴ ∠BAD＝∠CAE，ABAC=ADAE，
∴ △ABD∽△ACE；
尝试应用
如图1，连接EC，
∵ ∠BAC＝∠DAE＝90∘，∠ABC＝∠ADE＝30∘，
∴ △ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴ AEEC=ADBD=3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30∘，
∴ ADAE=3，
∴ ADEC=ADAE×AECE=3×3=3．
∵ ∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴ △ADF∽△ECF，
∴ DFCF=ADCE=3．
拓展创新
如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵ ∠BAD＝30∘，
∴ ∠DAM＝60∘，
∴ ∠AMD＝30∘，
∴ ∠AMD＝∠DBC，
又∵ ∠ADM＝∠BDC＝90∘，
∴ △BDC∽△MDA，
∴ BDMD=DCDA，
又∠BDC＝∠ADM，
∴ ∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，
即∠BDM＝∠CDA，
∴ △BDM∽△CDA，
∴ BMCA=DMAD=3，
∵ AC＝23，
∴ BM＝23×3=6，
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∴ AM=BM2-AB2=62-42=25，
∴ AD=12AM=5．
24.∵ 抛物线C:y＝(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，
∴ C1:y＝(x-2)2-6，
∵ 将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
∴ C2:y＝(x-2+2)2-6，即y＝x2-6；
过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，
设A(a,(a-2)2-6)，则BD＝a-2，AC＝|(a-2)2-6|，
∵ ∠BAO＝∠ACO＝90∘，
∴ ∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90∘，
∴ ∠BAD＝∠AOC，
∵ AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，
∴ △ABD≅△OAC(AAS)，
∴ BD＝AC，
∴ a-2＝|(a-2)2-6|，
解得，a＝4，或a＝-1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，
∴ A(4, -2)或(5, 3)；
把y＝kx代入y＝x2-6中得，x2-kx-6＝0，
∴ xE+xF＝k，
∴ M(k2,k22)，
把y=-4kx代入y＝x2-6中得，x2+4kx-6＝0，
∴ xG+xH=-4k，
∴ N(-2k, 8k2)，
设MN的解析式为y＝mx+n(m≠0)，则
k2m+n=k22-2km+n=8k2 ，解得，m=k2-4kn=2 ，
∴ 直线MN的解析式为：y=k2-4kx+2，
当x＝0时，y＝2，
∴ 直线MN:y=k2-4kx+2x经过定点(0, 2)，
即直线MN经过一个定点．
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