相似三角形的判定2

相似三角形的判定2

‎ ‎ ‎27．2．1相似三角形的判定 第一课时 教学目标 ‎(一)知识与技能 1、 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；‎ 2、 掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定理。‎ ‎(二)过程与方法 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。‎ ‎（三）情感态度与价值观 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。‎ ‎〔教学重点与难点〕‎ 教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1 ‎ 教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程 教学过程 新课引入：‎ A B D E C F 1． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义 相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义 2． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）‎ 相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。‎ 提出问题：‎ 如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，‎ DE∥BC，DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么 关系？‎ 分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作 18‎ ‎ ‎ EF∥AB。∆ADE∽∆ABC，相似比为。‎ 延伸问题：‎ 改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。‎ 归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ 探究方法：‎ 探究1‎ 在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？‎ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）‎ 在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。‎ 分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E ‎∆A1DE∽∆A1B1C1。用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程 ‎ A1D=AB，A1E=AC，DE=BC∆A1DE≌∆ABC A B C A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎ ∆ABC∽∆A1B1C1‎ 归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 18‎ ‎ ‎ 符号语言：若 ，则∆ABC∽∆A1B1C1‎ 运用提高：‎ 1． P47练习题1（2）。‎ 2． P47练习题2（2）。‎ 课堂小结：说说你在本节课的收获。‎ 布置作业：‎ 1． 必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。‎ 2． 选做题：P55习题27·2题4，5。‎ 3． 备选题：‎ 如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延 长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）‎ ‎ A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 设计思想：‎ ‎ 本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。‎ 18‎ ‎ ‎ 配套课时练习 ‎1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是 ‎ ‎2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是 。 ‎ ‎3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 ‎ ‎4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽ ，∠ADE= ，DE/BC= ，若AE=3，EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为 ‎ ‎ ‎ ‎5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为 。‎ ‎6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是 ；△DEF与△ABC的相似比是 ‎ ‎7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC= cm ‎8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎ ‎9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。‎ ‎ ‎ 18‎ ‎ ‎ ‎10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。‎ ‎11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（ ）‎ A．1 B．2 C．1．5 D．2．5‎ ‎ ‎ ‎12．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度 .‎ ‎13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。若点E、F在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。‎ 参考答案：‎ ‎1、1：1；2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF ‎3、相似；4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：5‎ ‎5、△OCD，△OAB；6、1：2，2：1；7、12；8、C ‎9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 ‎10、作图略；11、B；12、FC=14；‎ ‎13、成立，‎ 理由：因为FH∥EG∥AC，所以 BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC 18‎ ‎ ‎ 所以BE/AB+ BF/AB = EG/AC + FH/AC ‎ 即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC 又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1‎ 所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC 18‎ ‎ ‎ ‎27．2．1相似三角形的判定 第二课时 教学目标：‎ ‎(一)知识与技能 1、 掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；‎ 2、 掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。‎ ‎(二)过程与方法 会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。‎ ‎(三)情感态度与价值观 1、 从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；‎ 2、 通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。‎ 教学重点：‎ ‎ 掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似 教学难点：‎ 1、 探究两个三角形相似的条件；‎ 2、 运用两个三角形相似的判定定理解决问题。‎ 教学过程 新课引入：‎ 1、 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系： ‎ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）‎ 2、 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程 探究两个三角形相似判定方法2的途径 提出问题：‎ 利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？ ‎ 18‎ ‎ ‎ ‎（学生独立操作并判断）‎ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。 ‎ 延伸问题：‎ 改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）‎ 探究方法：‎ 探究2‎ 改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）‎ 归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 符号语言：若∠A=∠A1，==k，则∆ABC∽∆A1B1C1‎ 辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，‎ 这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）‎ 应用新知：‎ 例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：‎ ‎（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，‎ ‎ ∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。‎ ‎（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，‎ ‎ ∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。‎ 18‎ ‎ ‎ 分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200‎ ‎ ∆ABC∽∆A1B1C1‎ ‎（2）==,∠B=∠B1＝1200 ‎ 但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，‎ 所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。‎ 运用提高：‎ ‎1、P47练习题1（1）。‎ ‎2、P47练习题2（1）。‎ 课堂小结：说说你在本节课的收获。‎ 布置作业：‎ 1、 必做题：P55习题27·2题2（2），3（2）。‎ 2、 选做题：P56习题27·2题8。‎ 3、 备选题：‎ 已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的 内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）‎ 去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零 件的厚度x。 ‎ 设计思想：‎ ‎ 本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。‎ 18‎ ‎ ‎ 配套课时练习 ‎1．如果两个三角形的三组对应边 ，那么这两个三角形相似。‎ ‎2．下列命题中正确的有（ ）‎ ‎⑴△ABC的边长分别是5 cm、6 cm、8 cm，△DEF的边长分别2．5 cm，3 cm，4 cm，则△ABC∽△DEF。‎ ‎⑵过△ABC的边AB上点D作DE∥BC交AC于E，则△ABC∽△ADE。‎ ‎⑶△ABC的边长分别是2 cm、4cm、6 cm，△DEF的边长分别1 cm，3 cm，2 cm，则△ABC∽△DEF。‎ ‎⑷有一个角相等的两个菱形一定相似。‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。‎ ‎⑴AB=3 cm，BC=4 cm，AC=6 cm；‎ ‎ DE=9 cm，EF=12 cm，FD=16 cm。‎ ‎⑵‎ ‎ ‎ ‎4．如图，要使△ABC∽△AEF，应补充的条件是 或 。‎ ‎5．根据下列条件，回答问题：‎ ‎⑴如图，已知△ABC与△DEF，判断两个三角形是否相似，并说明理由。‎ ‎⑵已知一个三角形的三边长分别是8 cm、10cm、6 cm，要制作一个三角形使其与之相似，且其中一边长是3 cm，求另外两边的长度是多少？判断两三角形的形状，并说明理由。 ‎ 18‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6．在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（ ）‎ A.4∶5 B.5∶4‎ C.5∶9 D.4∶9‎ ‎7.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )‎ A.5∶3 B.3∶2‎ C.2∶3 D.3∶5‎ ‎8.若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，BC=3，A′B′=1，则B′C′等于( )‎ A.1.5 B.3‎ C.2 D.1‎ ‎9.△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )‎ A. B.2‎ C. D.2‎ ‎10．如图O是△ABC内的一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，试猜想△ABC与△DEF的关系，并证明你的结论。‎ 18‎ ‎ ‎ ‎11．下列命题中，真命题是（ ）‎ ‎ A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 ‎12、如图，A、B两点被池塘隔开，在 AB外选一点 C，连结 AC和 BC，并分别找出它们的中点 M、N．若测得MN＝15m，求A、B两点的距离。‎ ‎13．如图在正方形方格中，△ABC与△DEF都是格点三角形：‎ ‎ ⑴∠ABC= ，BC= ‎ ‎⑵判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1、的比相等；2、D；‎ ‎3、(1)不能；(2)能，三边对应成比例的两个三角形相似 ‎4、EF∥BC或AE：AB＝AF：AC；‎ ‎5、(1)相似，三边对应成比例的两个三角形相似 ‎ (2)4cm，5cm，直角三角形 ‎6、D；7、D；8、A；9、C ‎10、DE＝；DF＝0.5AC；EF＝0.5BC；证明略。‎ ‎11、D；12、AB＝30；13、(1)135°；(2)BC＝；相似 18‎ ‎ ‎ ‎27．2．1相似三角形的判定 第三课时 教学目标 ‎(一)知识与技能 掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。‎ ‎(二)过程与方法 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。‎ ‎(三)情感态度与价值观 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。‎ ‎〔教学重点与难点〕‎ 教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用 教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程 教学过程：‎ 新课引入：‎ 复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系： ‎ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）‎ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）‎ 提出问题：‎ ‎ 观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。‎ 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？‎ 延伸问题：‎ 作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1‎ 18‎ ‎ ‎ 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）‎ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ‎∠C=∠C1，==。‎ 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）‎ 探究方法：‎ 探究3‎ 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）‎ ‎ ‎ 符号语言：‎ 若∠A=∠A1，∠B=∠B1 ，则∆ABC∽ ∆A1B1C1‎ 应用新知：‎ 例2 如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O 内一点P，‎ 求证：PA·PB=PC·PD。‎ 分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需∆PAC∽∆PDB，欲证∆PAC∽∆PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。‎ 18‎ ‎ ‎ 运用提高：‎ 1、 P49练习题1。‎ 2、 P49练习题2。‎ 课堂小结：说说你在本节课的收获。‎ 布置作业：‎ 1、 必做题：P55习题27·2题2(3)。‎ 2、 选做题：P57习题27·2题11。‎ 3、 备选题：‎ 如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，‎ 则图中相似三角形的对数有　　　　　　　对。‎ 设计思想：‎ ‎ 本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。‎ 配套课时练习 一、 选择题：‎ ‎1.下列判断正确的是（ ）‎ A. 两个直角三角形相似 B.两个相似三角形一定全等 C.凡等边三角形都相似 D.所有等腰三角形都相似 ‎2.下列各对三角形中一定不相似的是（ ）‎ A. ‎△ABC中，∠A=54°，∠B=78° ‎ ‎ △A′B′C′中，∠C′=48°，∠B′=78°‎ 18‎ ‎ ‎ ‎ B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm ‎ △A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=15cm C. ‎△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13 ‎ ‎ △A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6a D.△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5‎ ‎ △A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=5‎ 3. 如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（ ）‎ A.10 B.12.5 C.15 D.17.5‎ 4. 在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，‎ 5. 则图中共有（ ）对相似三角形。‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 二、填空题 1. 如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则ED= 。‎ ‎ ‎ 2. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，‎ 则AD：BC= 。‎ 3. 如图18在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC= ，BD= 。‎ 4. 已知：图19中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC= 。‎ 三、解答题 ‎1.已知：如图20□ABCD中E为AD的中点，AF：AB=1：6，EF与AC交于M。 求：‎ 18‎ ‎ ‎ AM：AC。‎ ‎2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。‎ ‎ 求证：AD=DF。‎ 3. 已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE。‎ 求证：MN=MB ‎ 4. 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4‎ 求证：BM·AC=MN·AB 参考答案 ‎ 一、1.C；2.D；3.D；4.B。‎ ‎ 二、1. 0.1；2. 1：1.5；3. 8，6.4；4. 6。‎ 三、 ‎1. 1：8；‎ ‎ 2. △DBF∽△ACB，；‎ ‎ 3. ‎ 18‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎ 4.略。‎ 18‎