中考数学 三角形和梯形中位线复习

中考数学 三角形和梯形中位线复习

三角形及梯形 中位线 一、平行线等分线段定理及其推论 1. 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相 . 2. 推论 1 ：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 . 3. 推论 2 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 . 二、三角形、梯形中位线 1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 . 2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 . 3. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段 . 4. 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 5. 梯形面积公式： S=1/2(a+b)h=m · h(a 、 b 为上、下底， m 为中位线 ,h 为高 ) 1. 如图所示， AD 是△ ABC 的高， DC=BD,MN 在 AB 上，且 AM=MN=NB 、 ME⊥BC 于 E ， NF⊥BC 于 F ，则 FC= ( ) C 2. 梯形的上底长为 a ，下底长是上底长的 3 倍，则梯形的中位线为 ( ) A.4a B.2a C.1.5a D.a B 3. 如图所示， A 、 B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A 、 B 间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到 A 、 B 的点 C ，找到 AC 、 BC 的中点 D 、 E ，并且测出 DE 的长为 15 米，则 A 、 B 两点间的距离为 米 . 30 4. 如图所示，已知矩形 ABCD ， R 、 P 分别是 DC 、 BC 上的点， E 、 F 分别是 AP 、 RP 的中点，当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是 ( ) A. 线段 EF 的长逐渐增大 B. 线段 EF 的长逐渐减少 C. 线段 EF 的长不变 D. 线段 EF 的长不能确定 C 5. 直角梯形的中位线为 a ，一腰长为 b ，这个腰与底边所成的角是 30° ，则它的面积是 ( ) A.ab B. C. D. B 典型例题解析 【 例 1】 如图所示的梯形 ABCD 中， AD∥BC ，对角线 AC 与 BD 垂直相交于 O ， MN 是中位线，∠ DBC=30° ，求证： AC=MN. 【 例 2】 (1) 如图 (1) 所示，在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD ，点 E 为 BC 的中点，设△ DEA 面积为 S 1 ，梯形 ABCD 的面积为 S 2 ，则 S 1 与 S 2 的关系是 . (2) 如图 (2) 所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，且 AD ∶ BC=3 ∶ 5 ，梯形 ABCD 的面积为 8cm 2 ，点 M 、 N 分别是 AD 和 BC 上的一点， E 、 F 分别是 BM 、 CN 的中点，则四边形 MENF 的面积是 . 5/2 典型例题解析 图 (1) 图 (2) 【 例 3】 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠ ADC=90° ， AC=BC ， E 、 F 分别是 AC 、 AB 的中点，且∠ DEA=∠ACB=45° ， BG⊥AC 于 G. (1) 求证：四边形 AFGD 是菱形 . (2) 若 AC=CB=10cm ，求菱形的面积 . (2) (25 -25)cm 2 . 典型例题解析 【 例 4】 AB 、 CD 是两条线段， M 是 AB 中点， S 1 ， S 2 ， S 3 分别表示△ DMC 、△ DAC 、△ DBC 的面积 . (1) 当 AB∥CD 时，如图 5-5-7(1) 所示 . 求证 S 1 =1/2 (S 2 +S 3 ). 典型例题解析 图 5-5-7(1) 证明： (1)∵AB∥DC ∴S △ADC =S △MDC =S △BDC ， 即 S 1 =S 2 =S 3 ∴S 1 = (S 2 +S 3 ) 图 5-5-7(3) (2) 如图 5-5-7(2) 所示，若 AB 与 CD 不平行，是否有 S1=1/2(S2+S3)? 请说明理由 . (3) 如图 5-5-7(3) 所示，若 AB 与 CD 相交于 O 点， 问 S1 与 S2 、 S3 有何相等关系 ? 试证明你的结论 . (2) 有 (3) S 1 = (S 3 -S 2 ). 1. 不能认为在图形中有第三边的一半， DE=12BC ，如图 5-5-8 所示，就认为 DE∥BC. 2. 如图 5-5-9 所示， AD∥BC ， E 、 F 分别是 DB ， AC 的中点，有的同学延长 EF 交 DC 于 G ，就下结论 G 是 DC 的中点，这里错误的，应过 E 作 EG∥BC 交 DC 于 G ，则 G 是 DC 中点，再证 E 、 F 、 G 共线 . 5-5-8 5-5-9 方法小结： 1. 梯形的高是 6cm ，面积是 24cm 2 ，那么这个梯形的中位线长是 ( ) A.8cm B.30cm C.4cm D.18cm 2. 梯形的两条对角线与中位线的交点把中位线分成三等分，则较短底边与较长底边的比为 ( ) A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3 D.2∶5 3. 如图， EF 是梯形 ABCD 的中位线，则△ DEF 的面积等于梯形 ABCD 面积的 ( ) A.1/3 B.1/4 C. 1/5 D.1/6 C A B 4. 连接四边形各边的中点得到的四边形是正方形，则原四边形的对角线需满足的条件是 ( ) A. 对角线相等 B. 对角线垂直 C. 对角线相等且垂直 D. 一条对角线平分另一条对角线 5. 已知：四边形 ABCD 和对角线 AC 、 BD ，顺次连接 各边中点得四边形 MNPQ ，给出以下六个命题：①若所得四边形 MNPQ 为矩形，则原四边形 ABCD 是菱形；②若所得四边形 MNPQ 为菱形，则原四边形 ABCD 是矩形；③若所得四边形 PQMN 为矩形，则 AC⊥BD ；④若所得四边形 MNPQ 为菱形，则 AC=BD ；⑤若所得四边形 MNPQ 为矩形，则∠ BAD=90° ；⑥若所得四边形 MNPQ 为菱形，则 AB=AD ，以上命题中正确的是 ( ) A.①② B.③④ C.③④⑤⑥ D.①②③④ C D 2017 年中考 取得成功 ！