初三数学试卷 2008

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初三数学试卷 2008

北京市西城区2008年抽样测试 初三数学试卷 2008.6‎ 考生须知 ‎1.本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷,共10页,共九道大题,25个小题,满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2.在试卷密封线内认真填写区(县)名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号。‎ ‎3.考试结束后,请将本试卷和机读答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 考生须知 ‎1.第Ⅰ卷共2页,共一道大题,8个小题。‎ ‎2.试题答案一律填涂在机读答题卡上,在试卷上作答无效。‎ 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)‎ ‎1.-的倒数是( ).‎ A.-9 B.-‎6 ‎C.6 D.9‎ ‎2.分式值为0,则x的值是( ).‎ A.x= B.x= C.x= D.x=‎ ‎3.如图,已知:AB∥CD、AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有( ).‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB=( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.如图表示几个小立方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数,这个几何体的主视图是( ).‎ ‎6.下面是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.‎ ‎ ‎ 根据统计图,下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,正确的是( ).‎ A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大 C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大 ‎7.用“&”定义新运算:对于任意实数a,b都有a & b=‎2a-b,如果x&(1 & 3)=2,那么x等于( ).‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎8.如图,在一个3×3方格纸上,若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形,在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个.‎ A.13 B.14‎ C.18 D.20‎ ‎第Ⅱ卷 (非机读卷 共88分)‎ 考生须知 ‎1.第Ⅱ卷共8页,共八道大题,17个小题。‎ ‎2.除画图可以用铅笔外,答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔。‎ 题 号 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 复查人 二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)‎ ‎9.函数y=中自变量x的取值范围是________.‎ ‎10.已知双曲线y=经过点(-1,3),如果A(2,b1),B(3,b2)两点在该双曲线上,那么b1________b2.(用“>”或“<”连接)‎ ‎11.已知a-2,b+1,c-5的平均数为m,那么a、b、c的平均数为(用含m的式子表示)________.‎ ‎12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的点,那么△AD的面积是________.‎ 三、解答题(共5个小题,共25分)‎ ‎13.(本题满分5分)‎ 先化简,再求值:x(x+y)-(x-y)(x+y)-y2,其中x=0.252008,y=42008.‎ ‎14.(本题满分5分)‎ 解不等式组:‎ ‎15.(本题满分5分)‎ 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC的长.‎ ‎16.(本题满分5分)‎ 如图,将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转角α(0°<α<45°),得到正方形ODEF,EF交AB于H.‎ 求证:BH=HE.‎ ‎17.(本题满分5分)‎ 某市今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨25%,小方家去年12月份的水费是24元,而今年5月份的水费是48元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多‎6立方米,求该市今年居民用水的价格.‎ 四、解答题(共2个题,共10分)‎ ‎18.(本题满分5分)‎ 如图,已知△ABC的面积为4,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.‎ ‎(1)判断AF与BE的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若∠BEC=15°,求AC的长.‎ ‎19.(本题满分5分)‎ 如图,BD为⊙O的直径,点A是的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4.‎ ‎(1)求证:△ABE∽△ADB;‎ ‎(2)求tan∠ADB的值;‎ ‎(3)延长BC至F,连接DF,使△BDF的面积等于8,求∠EDF的度数.‎ 五、解答题(共2个题,共9分)‎ ‎20.(本题满分5分)‎ 已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.‎ ‎(1)若a≥0,b≥0,方程有实数根,试确定a,b之间的大小关系;‎ ‎(2)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,请你用树状图或表格表示出所有可能出现的结果,并求出使上述方程有实数根的概率.‎ ‎21.(本题满分4分)阅读下列材料:‎ 当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎3cm两部分时,则这个矩形的面积为‎4cm2或‎12cm2.‎ 当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎4cm两部分时,则这个矩形的面积为‎5cm2或‎20cm2.‎ 根据以上情况,完成下面填空.‎ ‎(1)当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎5cm两部分时,则这个矩形的面积为________cm2或_______cm2.‎ ‎(2)当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和n cm两部分时,则这个矩形的面积为________cm2或________cm2.(n为正整数)‎ 六、解答题(本题满分6分)‎ ‎22.如图,函数y=-x+4的图象分别交x轴,y轴于点N、M,过MN上的两点A、B分别向x轴作垂线与x轴交于A1(x1,0),B1(x2,0)(A1在B1的左边),若OA1+OB1>4.‎ ‎(1)分别用含x1、x2的代数式表示△OA‎1A的面积S1与△OB1B的面积S2.‎ ‎(2)请判断△OA‎1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系,并说明理由.‎ 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23.如图,梯形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=90°,AD=18,BC=24,AB=m.‎ 在线段BC上任取一点P,连结DP,作射线PE⊥DP,PE与直线AB交于点E.‎ ‎(1)当CP=6时,试确定点E的位置;‎ ‎(2)若设CP=x,BE=y,写出y关于x的函数关系式;‎ ‎(3)在线段BC上能否存在不同的两点P1、P2使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合,若能,试求出此时m的取值范围,若不能,请说明理由.‎ 八、解答题(本题满分8分)‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-2,0)和原点O,顶点是D.‎ ‎(1)求抛物线y=ax2+2x+c的解析式;‎ ‎(2)在x轴的上方的抛物线上有点M,连接DM与线段OA交于N点,若S△MON∶S△ODN=2∶1,求点M的坐标;‎ ‎(3)若点H是x轴上的一点,以H、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一个顶点F在y轴上,写出H点的坐标(直接写出答案,不要求计算过程).‎ 九、解答题(本题满分7分)‎ ‎25.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ∥PC.‎ ‎(1)证明:PC=2AQ;‎ ‎(2)当点F为BC的中点时,试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明.‎ 北京市西城2008年抽样测试 初三数学评分标准及参考答案 2008.6‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D C D B B C D 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 x≥-2且x≠0‎ ‎<‎ m+2‎ 三、解答题 ‎13.先化简,再求值:x(x+y)-(x-y)(x+y)-y2,其中x=0.252008,y=42008‎ 解:x(x+y)-(x-y)(x+y)-y2‎ ‎=x2+xy-(x2-y2)-y2…………………………………………………………………2分 ‎=x2+xy-x2+y2-y2‎ ‎=xy.……………………………………………………………………………………4分 当x=0.252008,y=42008时,原式=1.………………………………………………5分 ‎14.解不等式组:‎ 解:由3x-5>x-3解出x>1.………………………………………………………2分 由解出x≤3.………………………………………………………………4分 所以,原不等式组的解集是1<x≤3.…………………………………………………5分 ‎15.解:∵∠C=90°,∠A=30°,‎ ‎∴∠B=60°.………………………………………………………………………………1分 ‎∵BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠DBA=30°.…………………………………………………………………………2分 ‎∴AD=DB=20.‎ ‎∵∠BDC=∠BAD+∠DBA=60°………………………………………………………3分 ‎∴sin∠BDC=,‎ ‎∴BC=10.……………………………………………………………………………5分 ‎16.证明:连结OH.‎ ‎∵四边形OABC和四边形ODEF都是正方形,‎ ‎∴‎ ‎∴△OFH≌△OAH.………………………………………………………………………3分 ‎∵BA=FE,‎ ‎∴BH=HE.………………………………………………………………………………5分 ‎17.解:设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年用水价格为(1+25%)x元/m3.‎ ‎ ………………………………………………………………………………………1分 根据题意得:……………………………………………………3分 解得:x=2.4.‎ 经检验x=2.4是原方程的根.……………………………………………………………4分 所以(1+25%)x=3.‎ 答:该市今年居民用水的价格是3元/m3.……………………………………………5分 ‎18.证明:(1)AF⊥BE.………………………………………………………………………1分 理由如下:‎ 连结BF.‎ ‎∵△AEF是由△ABC沿CA平移CA长度得到,‎ ‎∴BF=AC,AB=EF,CA=AE.‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AB=BF=FE=AE.‎ ‎∴四边形ABFE是菱形.…………………………………………………………………2分 ‎∴AF⊥BE.………………………………………………………………………………3分 ‎(2)作BM⊥AC于点M.…………………………………………………………………4分 ‎∵AB=AC=AE,∠BEC=15°,‎ ‎∴∠BAC=30°.‎ ‎∵S△ABC=4,‎ ‎,‎ ‎∴AC=4.…………………………………………………………………………………5分 ‎19.证明:(1)∵A是的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴∠ABC=∠ADB.‎ ‎∵∠BAE=∠DAB,‎ ‎∴△ABE∽△ADB.………………………………………………………………………2分 ‎(2)由(1)得△ABE∽△ADB.‎ ‎.‎ 有AB2=AD·AE=12,‎ ‎∴AB=2.‎ ‎∵BD是⊙O的直径,‎ ‎∴∠DAB=90°,‎ ‎.……………………………………………………3分 ‎(3)连接OA,CD,‎ ‎∴AO⊥BC,CD⊥BC.‎ 由(2)知:.‎ ‎∴∠ADB=30°,∠AOB=60°,∠DBC=30°.‎ ‎∵BD=‎ ‎∴CD=2.……………………………………………………………………………4分 ‎∵S△BDF=8‎ ‎∴BF=8.‎ ‎∵Rt△ABE知,BE=4,‎ ‎∴EF=4.‎ ‎∵在Rt△EDC中,知ED=4,‎ ‎∴EF=ED.‎ ‎∵∠AEB=∠DEF=60°,‎ ‎∴∠EDF=60°.…………………………………………………………………………5分 ‎20.解:(1)由于关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实数根,‎ 所以(‎2a)2-4b2≥0,有a2≥b2.…………………………………………………………1分 由于a≥0,b≥0,所以a≥b.…………………………………………………………2分 ‎(2)列表:‎ ‎ a b ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(0,0)‎ ‎(0,1)‎ ‎(0,2)‎ ‎(0,3)‎ ‎1‎ ‎(1,0)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎2‎ ‎(2,0)‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ 共有12种情况,其中a≥b的有8种,则上述方程有实数根的概率是.…………5分 ‎(其中正确列表给2分,正确计算出概率给1分,共3分).‎ ‎21.(1)6,30……………………………………………………………………………………2分 ‎(2)n+1,n(n+1).………………………………………………………………………4分 ‎22.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=-x1+4,y2=-x2+4.‎ ‎(1).‎ ‎.……………………………………2分 ‎(2)有S1>S2.……………………………………………………………………………3分 理由如下:‎ ‎.……………………………………5分 由题意知,x1<x2,且x1+x2>4.‎ 所以,x1-x2<0,x1+x2-4>0.‎ 可得S1-S2>0,即S1>S2.……………………………………………………………6分 ‎23.解:(1)作DF⊥BC,F为垂足.‎ 当PC=6时,‎ 由已知可得,四边形ABFD是矩形,FC=6,‎ ‎∴点P与点F重合,又BF⊥FD,‎ ‎∴此时点E与点B重合.‎ ‎(2)当点P在BF上(即6<x≤24)时,‎ ‎∵∠EPB+∠DPF=90°,∠EPB+∠PEB=90°,‎ ‎∴∠DPF=∠PEB.‎ ‎∵∠B=∠PFD=90°‎ ‎∴tan∠EPB=tan∠PDF,即,‎ ‎,‎ ‎.‎ 当点P在CF上(即0≤x≤6)时,同理可得y=.‎ 综合以上知:‎ ‎(3)能找到这样的P点.‎ 当点E与点A重合时,y=EB=m,此时点P在线段BF上,有m=-(x2-30x+144),‎ 整理得,x2-30x+144+m2=0.①‎ 假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,即方程①有两个不相等的正根,首先要Δ=(-30)2-4×(144+m2)>0,然后应有x=15±>0.‎ 由Δ>0解得:81>m2,由于<15.又m>0,∴0<m<9.……………7分 ‎(3)解法二:能找到这样的P点.………………………………………………………6分 当点E与点A重合时,‎ ‎∵∠APD=90°,‎ ‎∴点P在以AD为直径的圆上,设圆心为Q,则Q为AD的中点.‎ 要使在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,只要使线段BC与⊙Q相交,即:圆心Q到BC的距离d满足0<d<,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴d=m.‎ ‎∴0<m<=9.………………………………………………………………………7分 ‎24.解:(1)由于抛物线y=ax2+2x+c经过点A和点O,所以有 解出 解出抛物线的解析式是y=x2+2x.……………………………………………2分 ‎(2)由抛物线y=x2+2x知其顶点D的坐标是(-1,-).‎ 设点M的坐标是(x0,y0),且y0>0.‎ 由于S△MON∶S△ODN=2∶1,即 所以yM∶|yD|=2∶1.………………………………………………………………3分 由于|yD|=,所以yM=2.‎ 将yM=2代入y=x2+2x中,得x=-1±,‎ 所以满足条件的点M有两个,即M1(-1+,2),M2(-1-,2).…5分 ‎(3)满足条件的H点有3个,它们分别是H1(-1,0),H2(-3,0),H3(1,0).…8分 ‎ ‎ ‎25.解:(1)延长DE,CB相交于点R,作BM∥PC.……………………………………1分 ‎∵AQ∥PC,BM∥PC,‎ ‎∴MB∥AQ.‎ ‎∴∠AQE=∠EMB.‎ ‎∵E是AB的中点,D、E、R三点共线,‎ ‎∴AE=EB,∠AEQ=∠BEM.‎ ‎∴△AEQ≌△BEM.‎ ‎∴AQ=BM.………………………………………………………………………………3分 同理∴△AED≌△REB.‎ ‎∴AD=BR=BC.‎ ‎∵BM∥PC,‎ ‎∴△RBM∽△RCP,相似比是.‎ ‎∴PC=2MB=2AQ.………………………………………………………………………4分 另解:连结AC交PQ于点K,…………………………………………………………1分 易证△AKE∽△CKD,‎ ‎.………………………………………………………………………2分 ‎∵AQ∥PC ‎∴△AKQ∽△CKP.………………………………………………………………………3分 ‎.‎ ‎,即PC=2AQ………………………………………………………………4分 ‎(2)作BN∥AF,交RD于点N.…………………………………………………………5分 ‎∴△RBN∽△RFP.‎ ‎∵F是BC的中点,RB=BC,‎ ‎.‎ ‎.‎ 易证△BNE≌△APE.‎ ‎∴AP=BN.‎ ‎.……………………………………………………………………6分 因△PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边高的比易知即等于PF与AP的比,于是设△PFC中PC边的高h1=3k,梯形APCQ的高h2=2k.再设AQ=a,则PC=‎2a.‎ ‎,.‎ 因此∴S△PFC=S梯形APCQ.…………………………………………………………………7分
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