2020年中考数学专题复习:九大几何模型

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2020年中考数学专题复习:九大几何模型

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 (1)等边三角形 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等边三角形; 【结论】:①△OAC≌△OBD;②∠AEB=60°;③OE 平分∠AED (2)等腰直角三角形 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形; 【结论】:①△OAC≌△OBD;②∠AEB=90°;③OE 平分∠AED (3)顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰三角形; 且∠COD=∠AOB 【结论】:①△OAC≌△OBD; ②∠AEB=∠AOB; ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2 二、模型二:手拉手模型----旋转型相似 (1)一般情况 【条件】:CD∥AB, 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】:①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD; ②延长 AC 交 BD 于点 E,必有∠BEC=∠BOA (2)特殊情况 【条件】:CD∥AB,∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】:①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD; ②延长 AC 交 BD 于点 E,必有∠BEC=∠BOA; ③  OA OB OC OD AC BD tan∠OCD;④BD⊥AC; ⑤连接 AD、BC,必有 2222 CDABBCAD  ;⑥ BDAC2 1S△BCD  三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90° 【条件】:①∠AOB=∠DCE=90°;②OC 平分∠AOB 【结论】:①CD=CE;②OD+OE= 2 OC;③ 2 △OCE△OCD△DCE OC2 1SSS  证明提示: ①作垂直,如图 2,证明△CDM≌△CEN ②过点 C 作 CF⊥OC,如图 3,证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时(如图 4): 以上三个结论:①CD=CE;②OE-OD= 2 OC; ③ 2 △OCD△OCE OC2 1SS  O A B C D O A B C D E O A B C D E O A B C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 (2)全等型-120° 【条件】:①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC 平分∠AOB 【结论】:①CD=CE;②OD+OE=OC;③ 2 △OCE△OCD△DCE OC4 3SSS  证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一; ②如右下图:在 OB 上取一点 F,使 OF=OC,证明△OCF 为等边三角形。 (3)全等型-任意角ɑ 【条件】:①∠AOB=2ɑ,∠DCE=180-2ɑ;②CD=CE; 【结论】:①OC 平分∠AOB;②OD+OE=2OC·cosɑ; ③ αcosαsinOCSSS 2 △OCE△OCD△DCE  ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时(如右下图): 原结论变成:① ; ② ; ③ 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C E F A O B C E F F A O BE D C A O B E C D 对角互补模型总结: ①常见初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③注意 OC 平分∠AOB 时, ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导? 四、模型四:角含半角模型 90° (1)角含半角模型 90°---1 【条件】:①正方形 ABCD;②∠EAF=45°; 【结论】:①EF=DF+BE;②△CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半; 也可以这样: 【条件】:①正方形 ABCD;②EF=DF+BE; 【结论】:①∠EAF=45°; (2)角含半角模型 90°---2 【条件】:①正方形 ABCD;②∠EAF=45°; 【结论】:①EF=DF-BE; A O B C D E A B C D E F A B C D E F G A B C D E F A B C D E F A B C D E F (3)角含半角模型 90°---3 【条件】:①Rt△ABC;②∠DAE=45°; 【结论】: 222 DECEBD  (如图 1) 若∠DAE 旋转到△ABC 外部时,结论 仍然成立(如图 2) (4)角含半角模型 90°变形 【条件】:①正方形 ABCD;②∠EAF=45°; 【结论】:△AHE 为等腰直角三角形; 证明:连接 AC(方法不唯一) ∵∠DAC=∠EAF=45°, ∴∠DAH=∠CAE,又∵∠ACB=∠ADB=45°; ∴△DAH∽△CAE,∴ AE AC AH DA  ∴△AHE∽△ADC,∴△AHE 为等腰直角三角形 模型五:倍长中线类模型 (1)倍长中线类模型---1 【条件】:①矩形 ABCD;②BD=BE; ③DF=EF; A B CD E A B CD E F A B CD E A B CD E F A B C D G H F E A B C D G H F E A B C E F D H A B E F D H 【结论】:AF⊥CF 模型提取:①有平行线 AD∥BE;②平行线间线段有中点 DF=EF; 可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。 (2)倍长中线类模型---2 【条件】:①平行四边形 ABCD;②BC=2AB;③AM=DM;④CE⊥AB; 【结论】:∠EMD=3∠MEA 辅助线:有平行 AB∥CD,有中点 AM=DM,延长 EM,构造△AME≌△DMF,连接 CM 构造 等腰△EMC,等腰△MCF。(通过构造 8 字全等线段数量及位置关系,角的大小转化) 模型六:相似三角形 360°旋转模型 (1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---倍长中线法 【条件】:①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形;②EF=CF; 【结论】:①DF=BF;②DF⊥BF 辅助线:延长 DF 到点 G,使 FG=DF,连接 CG、BG、BD,证明△BDG 为等腰直角三角形; 突破点:△ABD≌△CBG; 难点:证明∠BAO=∠BCG (2)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---补全法 【条件】:①△ADE、△ABC 均为等腰直角三角形;②EF=CF; 【结论】:①DF=BF;②DF⊥BF 辅助线:构造等腰直角△AEG、△AHC; 辅助线思路:将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF。 A B C DM E A B C DM E F A E B D F C A E B D F C H G A E B D F C A B D F C G (3)任意相似直角三角形 360°旋转模型---补全法 【条件】:①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE; 【结论】:①AE=DE;②∠AED=2∠ABO 辅助线:延长 BA 到 G,使 AG=AB,延长 CD 到点 H 使 DH=CD,补全△OGB、△OCH 构造旋转模 型。转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH,难点在转化∠AED。 (4)任意相似直角三角形 360°旋转模型---倍长法 【条件】:①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE; 【结论】:①AE=DE;②∠AED=2∠ABO 辅助线:延长 DE 至 M,使 ME=DE,将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO,此为难点, 将△AMD∽△ABC 继续转化为证明△ABM∽△AOD,使用两边成比例且夹角相等,此处难点在 证明∠ABM=∠AOD 模型七:最短路程模型 (1)最短路程模型一(将军饮马类) 总结:右四图为常见的轴对称类最短路程问题, 最后都转化到:“两点之间,线段最短:解决; O A B D CE O A B D CE G H O A B D CE O A B D C E M A B B' P l PA+PB 特点:①动点在直线上;②起点,终点固定 (2)最短路程模型二(点到直线类 1) 【条件】:①OC 平分∠AOB;②M 为 OB 上一定点;③P 为 OC 上一动点;④Q 为 OB 上一动点; 【问题】:求 MP+PQ 最小时,P、Q 的位置? 辅助线:将作 Q 关于 OC 对称点 Q’,转化 PQ’=PQ,过点 M 作 MH⊥OA, 则 MP+PQ=MP+PQ’ MH(垂线段最短) (3)最短路程模型二(点到直线类 2) 【条件】:A(0,4),B(-2,0),P(0,n) 【问题】:n 为何值时, PA5 5PB  最小? 求解方法:①x 轴上取 C(2,0),使 sin∠OAC= 5 5 ;②过 B 作 BD⊥AC,交 y 轴于点 E,即为 所求;③tan∠EBO=tan∠OAC= 2 1 ,即 E(0,1) A A' P Q B B' l2 l1 PA+PQ+BQ A A' P Q B B' l A A' P Q B l1 l2 PA+PQ+BQ PA+PQ+BQ A P O Q M B Q' H P A x y OB P A x y OB P A C D E (4)最短路程模型三(旋转类最值模型) 【条件】:①线段 OA=4,OB=2;②OB 绕点 O 在平面内 360°旋转; 【问题】:AB 的最大值,最小值分别为多少? 【结论】:以点 O 为圆心,OB 为半径作圆,如图所示,将问题转化为 “三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”。 最大值:OA+OB;最小值:OA-OB 【条件】:①线段 OA=4,OB=2;②以点 O 为圆心,OB,OC 为半径作圆; ③点 P 是两圆所组成圆环内部(含边界)一点; 【结论】:若 PA 的最大值为 10,则 OC= 6 ;若 PA 的最小值为 1,则 OC= 3 ; 若 PA 的最小值为 2,则 PC 的取值范围是 0
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