2013年福建省莆田市中考数学试题（含答案）

2013年福建省莆田市中考数学试题（含答案）

福建省莆田市2013年中考数学试卷 一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分。‎ ‎1． 2013的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2013‎ B．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎﹣2013‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ ‎2．下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（a+b）2=a2+b2‎ B．‎ ‎3a2﹣2a2=a2‎ C．‎ ‎﹣2（a﹣1）=﹣2a﹣1‎ D．‎ a6÷a3=a2‎ ‎3．对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9．下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 众数是4‎ B．‎ 中位数是5‎ C．‎ 极差是7‎ D．‎ 平均数是5‎ ‎4．如图，一次函数y=（m﹣2）x﹣1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＞0‎ B．‎ m＜0‎ C．‎ m＞2‎ D．‎ m＜2‎ ‎5．如图是一个圆柱和一个长方体的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎55°‎ B．‎ ‎70°‎ C．‎ ‎125°‎ D．‎ ‎145°‎ ‎7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎40°‎ B．‎ ‎50°‎ C．‎ ‎80°‎ D．‎ ‎100°‎ ‎8．下列四组图形中，一定相似的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 正方形与矩形 B．‎ 正方形与菱形 ‎　‎ C．‎ 菱形与菱形 D．‎ 正五边形与正五边形 二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎9．不等式2x﹣4＜0的解集是　　　　．‎ ‎10．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为8650000，将这个数用科学记数法表示为　　．‎ ‎11．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件　　　　，使△ABC≌△DEF．‎ ‎12．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为　　．‎ ‎13．（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是　　　　．‎ ‎14．（4分）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为　　．‎ ‎15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为　　　．‎ ‎16．（4分）统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn．当函数y=++…+取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为　　　　．‎ 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（8分）计算：+|﹣3|﹣（π﹣2013）0．‎ ‎18．（8分）先化简，再求值：，其中a=3．‎ ‎19．（8分）莆田素有“文献名邦”之称，某校就同学们对“莆田历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果制成如图所示的两幅统计图：‎ 根据统计图的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次共调查　60　名学生；‎ ‎（2）条形统计图中m=　18　；‎ ‎（3）若该校共有学生1000名，则该校约有　200　名学生不了解“莆仙历史文化”．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．‎ 如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．‎ ‎（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；‎ ‎（2）求出线段AD的长．‎ ‎　[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎21．（8分）如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．‎ ‎（1）求证：△AED≌△DCA；‎ ‎（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．‎ ‎22．（10分）如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求AN•BM的值．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米2．‎ ‎（1）求S与x的函数关系式；‎ ‎（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？‎ ‎　‎ ‎24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；‎ ‎（2）若△ACD的面积为3．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．[来源:学科网]‎ ‎（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；‎ ‎（2）拓展探究：若AC≠BC．‎ ‎①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；‎ ‎②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．‎ 参考答案 ‎1、B　2、B　3、B　4、D　5、C　6、C　7、A　8、D ‎9、x＜2　　10、8.65×106　　11、AB=DE　　12、‎ ‎13、10　14、　　15、5　16、10.1‎ ‎17、‎ 解：原式=2+3﹣1=4．‎ ‎　‎ ‎18、‎ 解：原式=•=，‎ 当a=3时，原式==2．‎ ‎19、‎ ‎19.解：（1）调查的总人数是：24÷40%=60（人），‎ 故答案是：60；‎ ‎（2）m=60﹣12﹣24﹣6=18，故答案是：18；‎ ‎（3）不了解“莆仙历史文化”的人数是：1000×=200．‎ 故答案是：200．‎ ‎20、‎ 解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，‎ ‎∴AD=BD，BC=BD，‎ ‎∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AD2=AC•CD．‎ ‎∴点D是线段AC的黄金分割点．‎ ‎（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，‎ ‎∴AD=AC=．‎ ‎21、‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD∥BC，‎ ‎∴四边形AECD是梯形，‎ ‎∵AB=AE，‎ ‎∴AE=CD，‎ ‎∴四边形AECD是等腰梯形，‎ ‎∴AC=DE，‎ 在△AED和△DCA中，‎ ‎，‎ ‎∴△AED≌△DCA（SSS）；‎ ‎（2）解：∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADC=2∠ADE，‎ ‎∵四边形AECD是等腰梯形，‎ ‎∴∠DAE=∠ADC=2∠AED，‎ ‎∵DE与⊙A相切于点E，‎ ‎∴AE⊥DE，‎ 即∠AED=90°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∴∠DAE=60°，‎ ‎∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°，‎ ‎∵四边形ACD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠DCE=120°，‎ ‎∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°，‎ ‎∴S阴影=×π×22=π．‎ ‎　‎ ‎22、：‎ 解：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，‎ 对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=﹣1，‎ ‎∴OA=OB=1，‎ ‎∴C（﹣1，1），‎ 将C（﹣1，1）代入y=得：1=，即k=﹣1，‎ 则反比例函数解析式为y=﹣；‎ ‎（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，‎ 设P（a，﹣），可得ND=﹣，ME=|a|=﹣a，‎ ‎∵△AND和△BME为等腰直角三角形，‎ ‎∴AN=×（﹣）=﹣，BM=﹣a，‎ 则AN•BM=﹣•（﹣a）=2．‎ ‎23、‎ ‎23、：‎ 解：（1）连接AC、BD，‎ ‎∵花坛为轴对称图形，‎ ‎∴EH∥BD，EF∥AC，‎ ‎∴△BEF∽△BAC，‎ ‎∵∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC、△BEF是等边三角形，‎ ‎∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，‎ 在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，‎ 则EM=AEcos∠AEM=x，‎ ‎∴EH=2EM=x，‎ 故可得S=（4﹣x）×x=﹣x2+4x．‎ ‎（2）易求得菱形ABCD的面积为8cm2，‎ 由（1）得，矩形ABCD的面积为x2，则可得四个三角形的面积为（8+x2﹣4x），‎ 设总费用为W，‎ 则W=20（﹣x2+4x）+40（8+x2﹣4x）‎ ‎=20x2﹣80x+320‎ ‎=20（x﹣2）2+240，‎ ‎∵0＜x＜4，‎ ‎∴当x=2时，W取得最小，W最小=240元．‎ 即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240元．‎ ‎24、‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），‎ ‎∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）=ax2+2ax﹣3a，‎ ‎∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，‎ ‎∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；‎ ‎（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．‎ ‎∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a与y轴交于点C，‎ ‎∴C点坐标为（0，﹣3a）．‎ 设直线AC的解析式为：y=kx+t，‎ 则：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=﹣ax﹣3a，‎ ‎∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a），‎ ‎∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，‎ ‎∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×（﹣2a）×3=﹣3a，‎ ‎∴﹣3a=3，解得a=﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎②∵y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3），‎ ‎∵A（﹣3，0），‎ ‎∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AC2=（0+3）2+（3﹣0）2=18，‎ ‎∴AD2=CD2+AC2，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ ‎∴tan∠DAC===，[来源:学科网]‎ ‎∵∠PAB=∠DAC，‎ ‎∴tan∠PAB=tan∠DAC=．‎ 如图2，设y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）2+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．‎ ‎∵tan∠PAB===，‎ ‎∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．‎ 分两种情况：‎ ‎（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y=x+1，‎ 由，解得，（舍去），‎ ‎∴P点坐标为（，），‎ 将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）2+4，‎ 得=﹣（+m）2+4，‎ 解得m1=﹣，m2=1（舍去），‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4；‎ ‎（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为y=﹣x﹣1，[来源:学科网ZXXK]‎ 由，解得，（舍去），‎ ‎∴P点坐标为（，﹣），‎ 将P点坐标（，﹣）代入y=﹣（x+m）2+4，‎ 得﹣=﹣（+m）2+4，‎ 解得m1=﹣，m2=1（舍去），‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4；‎ 综上可知，平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4或y=﹣（x﹣）2+4．‎ ‎25、解答：‎ ‎（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，‎ 如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．‎ 在△AND与△CDM中，‎ ‎∴△AND≌△CDM（ASA），‎ ‎∴DM=DN．‎ ‎∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，‎ ‎∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，‎ 在△NED与△DFM中，‎ ‎∴△NED≌△DFM（ASA），‎ ‎∴NE=DF．‎ ‎∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．‎ ‎（2）①答：AE=DF．‎ 证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，‎ ‎∴，即MF•EN=DE•DF．‎ 同理△AEN∽△MFB，‎ ‎∴，即MF•EN=AE•BF．‎ ‎∴DE•DF=AE•BF，‎ ‎∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），‎ ‎∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．‎ 证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．‎ ‎∵D为AB中点，‎ ‎∴DQ=PC=PB．‎ 易证△DMF∽△NDE，∴，‎ 易证△DMP∽△DNQ，∴，‎ ‎∴；‎ 易证△AEN∽△DPB，∴，‎ ‎∴，∴AE=DF．‎ ‎②答：DF=kAE．‎ 证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，‎ ‎∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）‎ ‎∴AD•DF=AE•BD ‎∵BD=kAD ‎∴DF=kAE．‎ 证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．‎ 易证△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．‎ 由①同理可得：，‎ ‎∴；‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=kAE．‎