2009年广东省中山市中考数学试题及答案

2009年广东省中山市中考数学试题及答案

‎2009年广东省中山市初中毕业生学业考试 数 学 ‎ 说明:‎ ‎1.全卷共4页，考试用时100分钟，满分为120分.‎ ‎2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．‎ ‎3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．‎ ‎4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．‎ ‎1．的算术平方根是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．计算结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图所示几何体的主（正）视图是（ ）‎ A． B． 　　　　 C． D． ‎ ‎4．《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）‎ A． 元 B．元 C．元 D．元 ‎ ‎5．方程组的解是（ ）‎ A． 　 　B．‎ C． 　　　　　 Ｄ．‎ 二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎6．分解因式 ．‎ 第7题图 A C B O ‎7．已知的直径为上的一点，，则= ．‎ ‎8．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 元．‎ ‎9．在一个不透明的布袋中装有2个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则_____________．‎ ‎10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖________块（用含的代数式表示）．‎ 第10题图 ‎ ……‎ ‎（1） （2） （3）‎ 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎11．（本题满分6分）计算：．‎ A C B D E 第13题图 ‎12．（本题满分6分）解方程 ‎ ‎13．（本题满分6分）如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，‎ ‎（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎14．（本题满分6分）已知：关于的方程 ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．‎ ‎30°‎ A B F E P ‎45°‎ 第15题图 ‎15．（本题满分6分）如图所示，、两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：）‎ 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）‎ ‎16．（本题满分7分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？‎ ‎17．（本题满分7分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？‎ ‎（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？‎ ‎（3）补全频数分布折线统计图．‎ 图2‎ 人数 乒乓球 ‎20%‎ 足球 排球 篮球 ‎40%‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ O 项目 足球 乒乓球 篮球 排球 图1‎ 第17题图 ‎18．（本题满分7分）在中，，以为直径作，‎ A D B C O 第18题图 ‎（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；‎ ‎（2）当取何值时，与相切．‎ ‎19．（本题满分7分）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、‎ 为邻边作第3个平行四边形……依次类推．‎ ‎（1）求矩形的面积；‎ A1‎ O1‎ A2‎ B2‎ B1‎ C1‎ B C2‎ A O D 第19题图 C ‎（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎20、（本题满分9分）‎ 第20题图 A E O G F B C D A E O B C D 图1‎ 图2‎ ‎（1）如图1，圆心接中，，、为的半径，于点，于点 求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．‎ ‎（2）如图2，若保持角度不变，‎ 求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．‎ ‎21．（本题满分9分）小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．‎ 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令 则 所以 N D A CD B M 第22题图 ‎22．（本题满分9分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求的值．‎ 广东省中山市2009年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分建议 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）‎ ‎1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎6． 7．4 8．96 9．8 10．10，‎ 三、解答题（一）（本大题5小题，每题6分，共30分）‎ ‎11．解：原式= 4分 ‎=4． 6分 ‎12．解：方程两边同时乘以， 2分 ‎， 4分 ‎， 5分 经检验：是方程的解． 6分 ‎13．解：（1）作图见答案13题图，‎ 答案13题图 A C B D E M ‎ 2分 ‎（2）是等边三角形，是的中点，‎ 平分（三线合一），‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎． 5分 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎． 6分 ‎14．解：（1），‎ ‎， 2分 无论取何值，，所以，即，‎ 方程有两个不相等的实数根． 3分 ‎（2）设的另一个根为，‎ 则，， 4分 解得：，，‎ 的另一个根为，的值为1． 6分 答案15题图 A B F E P C ‎15．解：过点作，是垂足，‎ 则，， 2分 ‎，，‎ ‎， 4分 ‎，‎ ‎， 5分 ‎，‎ 答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 6分 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）‎ ‎16．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑， 1分 依题意得：， 3分 ‎，‎ 或，‎ ‎（舍去）， 5分 ‎． 6分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 7分 ‎17．解：（1）（人）． 1分 ‎（2）， 2分 ‎，‎ ‎． 3分 ‎（3）喜欢篮球的人数：（人）， 4分 喜欢排球的人数：（人）． 5分 答案17题图 人数 ‎50‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ O 项目 足球 乒乓球 篮球 排球 ‎ 7分 ‎18．解：（1）分别过两点作，垂足分别为点，点，‎ 就是圆心到的距离．‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎． 2分 答案18题图（1）‎ A D B C O E F 答案18题图（2）‎ A D B C O E F 在中，，‎ ‎， 4分 圆心到的距离为． 5分 ‎（2），‎ 为的直径，且，‎ 当时，与相切于点，‎ 即， 6分 当时，与相切． 7分 ‎19．解：（1）在中，‎ ‎，‎ ‎． 2分 ‎（2）矩形，对角线相交于点，‎ ‎． 3分 四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎， 5分 同理，， 6分 第6个平行四边形的面积为． 7分 答案20题图（1）‎ A E O G F B C D 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎20．证明：（1）如图1，连结，‎ 因为点是等边三角形的外心，‎ 所以． 2分 ‎，‎ 因为，‎ 所以． 4分 ‎（2）解法一：‎ 答案20题图（2）‎ A E O G F B C D ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 连结和，则，， 5分 不妨设交于点，交于点，‎ ‎，‎ ‎． 7分 在和中，‎ ‎， 8分 答案第20题图（3）‎ A E O G F B C D ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ H K ‎． 9分 解法二：‎ 不妨设交于点，交于点，‎ 作，垂足分别为， 5分 在四边形中，，‎ ‎， 6分 即．‎ 又，‎ ‎． 7分 ‎，‎ ‎，‎ ‎， 8分 ‎． 9分 ‎21．解：‎ 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 令，则 ‎……1分 ‎……2分 ‎（舍去）‎ ‎……3分 ‎，所以．‎ ‎……4分 令，则 ‎……6分 ‎……7分 ‎（舍去）‎ ‎……8分 ‎，所以．‎ ‎……9分 ‎22．解：（1）在正方形中，，‎ N D A CD B M 答案22题图 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎． 2分 ‎（2），‎ ‎，‎ ‎， 4分 ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10． 6分 ‎（3），‎ 要使，必须有， 7分 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时． 9分 ‎（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）‎