2020九年级数学下册 第1章 解直角三角形 专题分类突破五 三角函数应用的基本策略练习

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2020九年级数学下册 第1章 解直角三角形 专题分类突破五 三角函数应用的基本策略练习

专题分类突破五 三角函数应用的基本策略 ‎(见B本57页)‎ ‎, 类型   1 构造直角三角形的策略)‎ 例1图 ‎【例1】 2017·丽水中考如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15 m,AB=2.70 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m,参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)‎ 例1答图 解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,‎ ‎∵OD⊥CD,∠BOD=70°,∴AE∥OD,‎ ‎∴∠A=∠BOD=70°,‎ 在Rt△AFB中,AB=2.7,‎ ‎∴AF=2.7cos 70°=2.7×0.34=0.918,‎ ‎∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1(m).‎ 即端点A到地面CD的距离约是1.1 m.‎ 变式 2017·重庆中考如图所示,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin 20°≈0.342,cos 20°≈0.940,tan 20°≈‎ 7‎ ‎0.364)( A )‎ 变式图 A.‎29.1米 B.‎31.9米 C.‎45.9米 D.‎‎95.9米 ‎, 类型   2 等角转化的策略)‎ 例2图 ‎【例2】 如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论中不正确的是( C )‎ A.sin B= B.sin B= C.sin B= D.sin B= 变式 如图所示,15个形状大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角为60°,A,B,C都在格点上,点D在过A,B,C三点的圆弧上,若E也在格点上,且∠AED=∠ACD,则cos∠AEC=____.‎ 变式图 ‎, 类型   3 等边或等比转化的策略)‎ 例3图 ‎【例3】 2017·深圳中考如图所示,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE的长为10 m,则树AB的高度是__30__m.‎ 7‎ 变式图 变式 如图所示,AB是⊙O的直径,延长AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为点B,点D在PC上.设∠PCB=α,∠POC=β.‎ 求证:tan α·tan=.‎ 证明:连结AC,则∠A=∠POC=,‎ 变式答图 ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,‎ ‎∴tan α=,BD∥AC,∴∠PBD=∠A,‎ ‎∵∠P=∠P,‎ ‎∴△PBD∽△PAC,‎ ‎∴=,∵PB=OB=OA,‎ ‎∴=,‎ ‎∴tan a·tan =·==.‎ 7‎ ‎1.Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,作直径DE,连结BE,若sin∠ACB=,BC=6,则BE=( B )‎ A.6    B.    C.    D.8‎ 第1题图 ‎    第2题图 ‎2.2017·抚顺中考如图所示,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进‎200米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°.则电视塔AB的高度为__100__米.(结果保留根号)‎ ‎3.2017·邵阳中考如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是‎40 km,仰角是30°.n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度是__20-20__km.‎ 第3题图 ‎  第4题图 ‎4.2017·绍兴中考如图所示,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=‎30 m.‎ ‎(1)则∠BCD的度数是__38°__;‎ ‎(2)求教学楼的高BD.(结果精确到‎0.1 m,参考数据:tan 20°≈0.36,tan 18°≈0.32)‎ 7‎ 第4题答图 解:(1)过点C作CE⊥BD,则有∠DCE=18°,∠BCE=20°,‎ ‎∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.故答案为38°.‎ ‎(2)由题意,得CE=AB=‎30 m,‎ 在Rt△CBE中,BE=CE·tan 20°≈10.80(m),‎ 在Rt△CDE中,DE=CE·tan 18°≈9.60(m),‎ ‎∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4 m,‎ 则教学楼的高约为20.4 m.‎ ‎5.2017·衢州中考在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.‎ ‎(1)如图1,当t=3时,求DF的长;‎ ‎(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.‎ 第5题图 解:(1)当t=3时,点E为AB的中点,‎ ‎∵A(8,0),C(0,6),∴OA=8,OC=6,‎ ‎∵点D为OB的中点,∴DE∥OA,DE=OA=4,‎ ‎∵四边形OABC是矩形,∴OA⊥AB,∴DE⊥AB,‎ ‎∴∠OAB=∠DEA=90°,‎ 又∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,‎ ‎∴四边形DFAE是矩形,‎ ‎∴DF=AE=3.‎ ‎(2)∠DEF的大小不变;理由如下:‎ 第5题答图 作DM⊥OA于点M,DN⊥AB于点N,如图所示.‎ 7‎ ‎∵四边形OABC是矩形,‎ ‎∴OA⊥AB,‎ ‎∴四边形DMAN是矩形,‎ ‎∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,‎ ‎∴=,=,‎ ‎∵点D为OB的中点,‎ ‎∴M,N分别是OA,AB的中点,‎ ‎∴DM=AB=3,DN=OA=4,‎ ‎∵∠EDF=90°,∴∠FDM=∠EDN,‎ 又∵∠DMF=∠DNE=90°,‎ ‎∴△DMF∽△DNE,∴==,‎ ‎∵∠EDF=90°,∴tan∠DEF==.‎ 7‎ 7‎
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