人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的代数最值问题

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人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的代数最值问题

因动点产生的代数最值问题 ‎1.如图,抛物线的图象与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,点为抛物线的顶点.‎ ‎(1)直接写出三点的坐标;‎ ‎(2)点为线段上一点(点不与点重合),过点作轴的垂线,与直线交于点,与抛物线交于点,过点作交抛物线于点,过点作轴于点,若点在点左边,当矩形的周长最大时,求的面积;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当矩形的周长最大时,连接,过抛物线上一点作轴的平行线,与直线交于点(点在点的上方).若,求点的坐标.‎ 解析:(1)‎ ‎(2)‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线 设,其中 关于直线对称,∴设的横坐标为 则 ‎∴周长 ‎∴当时,取最大值 此时 设直线的解析式为 则解得 ‎∴直线的解析式为 将代入得 ‎(3)由(2)知,当矩形的周长最大时,‎ 此时点,与点重合,‎ 过作轴于,则 是等腰直角三角形,‎ 设,则 ‎,解得 当时,‎ 当时,‎ 或 ‎2.如图1,抛物线平移后过点和原点,顶点为,对称轴与轴相交于点,与原抛物线相交于点.‎ ‎(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积;‎ ‎(2)如图2,直线与轴相交于点,点为线段上一动点,为直角,边与相交于点,设,试探究:‎ ‎①为何值时为等腰三角形;‎ ‎②为何值时线段的长度最小,最小长度是多少.‎ 解析:(1)∵平移后的抛物线过原点 ‎∴设平移后抛物线的解析式为 把代入,得 解得 ‎∴平移后抛物线的解析式为 提示:‎ 过作轴于 ‎∵平移后的抛物线过点和原点 ‎∴平移后的抛物线的对称轴为直线 把代入,得 ‎(2)①‎ ‎∴当时为等腰三角形 ‎,‎ 是的中点,‎ ‎,,解得 ‎∴当时为等腰三角形 ‎②‎ 连接,作于 则,即 在中,‎ ‎ ‎ 当且仅当与重合,即时线段的长度最小,最小长度是 此时 ‎3.如图,在平面直角坐标系中,已知点的坐标是,且,动点在过三点的抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)是否存在点,使得是以为直角边的直角三角形,如存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)过动点作轴于点,交直线于点,过点作轴的垂线,垂足为,连接,当线段的长度最短时,求出点的坐标.‎ 解析:(1)由,可知 设抛物线的解析式为 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎(2)存在 ‎①‎ 当是直角顶点时,作交抛物线于点,‎ 作轴于 设,则 解得(舍去),‎ ‎②当是直角顶点时,作交抛物线于点,‎ 作轴于,交轴于,则轴 由,得 设,则 解得(舍去)‎ 综上所述,存在点使得是以为直角边的直角三角形 点的坐标为或 ‎(3)‎ 连接,由题意知,四边形为矩形,则 根据点到直线的距离垂线段最短 当时最短,即最短 由(1)知,在中,‎ 则 根据等腰三角形的性质,为中点 又 ‎∴点的纵坐标为 于是 解得 ‎∴当线段的长度最短时,点P的坐标为或 ‎4.如图,在平面直角坐标系中,将抛物线先向右平移个单位,再向下平移个单位,得到新的抛物线,该抛物线与轴交于点,与轴正半轴交于点.‎ ‎(1)求点和点的坐标;‎ ‎(2)如图1,有一条与轴重合的直线向右匀速平移,平移的速度为每秒个单位,移动的时间为秒,直线与抛物线交于点.当点在轴上方时,求出使的面积为的值;‎ ‎(3)如图2,将直线绕点逆时针旋转,与轴交于点,与抛物线交于点,在轴上有一点,在轴上另取两点(点在点的左侧),,线段在轴上平移,当四边形的周长最小时,先简单描述如何确定此时点的位置?再直接写出点的坐标.‎ 解析:(1)由题意,新的抛物线的解析式为 当时,‎ 当时,‎ 解得(舍去)‎ ‎(2)‎ 由题意,点坐标为 过点作轴于 则 整理得 解得(舍去)‎ 的值是 ‎(3)此题有多种方法,下面给出其中一种方法:‎ 将点沿着与轴平行的方向向左平移到点,使;作点关于轴的对称点,连接与轴的交点即为点.点 ‎5.如图,已知直线与抛物线交于,两点.‎ ‎(1)直线总经过一个定点,请直接写出点坐标;‎ ‎(2)当时,在直线下方的抛物线上求点,使的面积等于;‎ ‎(3)若在抛物线上存在定点,使,求点到直线的最大距离.‎ 解析:(1)‎ 提示:‎ 当时,无论取何值,‎ ‎∴直线总经过定点 ‎(2)当时,直线的解析式为 令,即,解得 ‎∴点的横坐标为,点的横坐标为 过点作轴交直线于点 设,则 整理得:,解得 ‎∴点的坐标为或 ‎(3)设 联立消去得:‎ 过点作轴,分别过点作轴的平行线,交于点 则,,‎ 由,可得 ‎,即 ‎,即 当,即时,上式对任意实数均成立 即点的坐标与无关,‎ 连接 过点作,垂足为,则 当时,点到直线的距离最大,最大距离为 ‎6.如图,抛物线经过、两点,与轴正半轴交于点,对称轴为直线.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)设点若是抛物线的对称轴上使得的周长取得最小值的点,过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于两点,试探究是否为定值,请说明理由;‎ ‎(3)将抛物线作适当平移,得到抛物线,其中.若当时,‎ 恒成立,试求的最大值.‎ 解析:(1)∵抛物线经过点,与轴正半轴交于点,对称轴为直线 把代入,得:‎ 解得 ‎∴抛物线的函数表达式为 ‎(2)‎ 的长是定值,要使周长最小,只需最小 与关于直线对称,只需最小 又,为与直线的交点 由可得直线为 当时,‎ ‎,‎ 同理 设直线的函数表达式为,易得 又 故是定值,其值为 ‎(3)‎ 令,设其图象与抛物线交点的横坐标为,且 ‎∵抛物线可以看作由抛物线左右平移得到 观察图象可知,随着抛物线向右不断平移,的值不断增大 ‎∴当恒成立时,的最大值在处取得 ‎∴当时,对应的即为的最大值 将代入,得 解得或(舍去)‎ 由,解得 的最大值为 ‎7.如图,直线与轴、轴分别相交于点.经过点且对称轴为的抛物线与轴相交于两点.‎ ‎(1)直接写出点的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)若点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动,同时,点在线段上以相同的速度由点向点运动(当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动),又轴,交于.问在运动过程中,线段的长度是否存在最小值,若有,试求出最小值;若无,请说明理由.‎ 解析:(1)‎ ‎(2)∵抛物线的对称轴为 ‎∵抛物线过点 ‎∴抛物线的解析式为 ‎(3)由对称性得点 设点运动的时间为秒 则 即 过作轴于,则 的最小值为 ‎∴线段的长度存在最小值,最小值为 ‎8.如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,顶点为.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)连接,过原点作,垂足为,与抛物线的对称轴交于点,连接.求证:;‎ ‎(3)以(2)中的点为圆心,为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点过点作的切线,切点为,当的长最小时,求点的坐标,并直接写出点的坐标.‎ 解析:(1)顶点的坐标为 令,得,解得 ‎∵点在点的左侧,‎ ‎(2)‎ 过作轴,垂足为 则 令,则 设对称轴交轴于点 ‎,即,‎ 由勾股定理,得 是直角三角形,‎ 设交于点,则 ‎(3)‎ 由的半径为,根据勾股定理,得 要使切线长最小,只需长最小,即最小 设点坐标为,由勾股定理,得 当时,最小值为 把代入,得 解得又点在对称轴右侧的抛物线上,舍去 ‎∴点坐标为 设,则有:‎ 解得 ‎∴此时点坐标为或 ‎9.如图,直线与抛物线交于两点(在的左侧),与轴交于点,抛物线的顶点为,抛物线的对称轴与直线交于点.‎ ‎(1)若为直线上一动点,求的面积;‎ ‎(2)当四边形是菱形时,求点的坐标;‎ ‎(3)作点关于直线的对称点,以为圆心,为半径作,点是上一动点,求的最小值.‎ 解析:(1)‎ 由解得 在的左侧,‎ ‎∵直线与轴交于点 易得直线的解析式为 ‎∵直线的解析式为,‎ ‎∴直线与之间的距离 ‎(2)四边形是平行四边形 若四边形是菱形,则 ‎∴点的坐标为 或 ‎(3)‎ ‎∵四边形是平行四边形 ‎∴点到对称轴的距离为 取中点,则 的最小值即为的最小值,为线段的长 设直线与相交于另一点 ‎∵点关于直线的对称点为 ‎10.在平面直角坐标系中,矩形的边点与坐标原点重合,边分别在轴、轴的正半轴上.将矩形沿直线折叠,使点落在边上的点处,折痕为 ‎(1)求与之间的函数关系式;‎ ‎(2)如果将折痕所在直线与矩形的位置分为如图1、图2、图3所示的三种情形,请你分别求出每种情形时的取值范围;‎ ‎(3)直接写出图2情形中折痕的长度的最大值.‎ 解析:(1)‎ 如图2,连接则设点的坐标为 ‎,即,‎ ‎∴点的坐标为 连接,在中,‎ ‎(利用图1或图3作答可得出同样的结果)‎ ‎(2)‎ 图1中:当与重合时,最小 当与重合时,最大,设直线与轴交于点 易知,‎ 即,‎ 图2中:‎ 当与重合时,最小,由上知,此时 当与重合时,最大,‎ ‎,解得 当时,,不合题意,应舍去 当时,,符合题意 图3中:‎ 当与重合时,由上知,此时 当与重合时,轴,此时 ‎(3)‎
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