2020年中考数学一轮复习基础点专题08整式的乘除与因式分解含解析

2020年中考数学一轮复习基础点专题08整式的乘除与因式分解含解析

专题08整式的乘除和因式分解 考点总结 ‎【思维导图】‎ ‎【知识要点】‎ 知识点一 整式乘法 幂的运算性质（基础）：‎ l am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．‎ ‎【同底数幂相乘注意事项】‎ ‎1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。‎ ‎2）不能疏忽指数为1的情况。‎ ‎3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。‎ 23‎ ‎4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。‎ ‎1．（2018·河北中考真题）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】∵2n+2n+2n+2n=2，‎ ‎∴4×2n=2，‎ ‎∴2×2n=1，‎ ‎∴21+n=1，‎ ‎∴1+n=0，‎ ‎∴n=﹣1，‎ 故选A．‎ ‎2．（2012·江苏中考真题）若3‎×‎9m‎×‎27m=，则的值是（）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵3‎×‎9m‎×‎27m=3‎×‎32m‎×‎33m=31+2m+3m ‎∴1+2m+3m=21‎ ‎∴m=4‎ 故选B ‎3．（2019·山东中考模拟）化简(﹣a2)•a5所得的结果是( )‎ A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎ (-a2)·a5=-a7.‎ 故选B.‎ l ‎(am)n＝amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．‎ ‎【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。‎ ‎1．（2019·浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6﹣a2＝a4 D．a5+a5＝a10‎ 23‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ A、a2•a3=a5，错误；‎ B、（a2）3=a6，正确；‎ C、不是同类项，不能合并，错误；‎ D、a5+a5=2a5，错误；‎ 故选B．‎ ‎2．（2019·辽宁中考模拟）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4‎ ‎【答案】C ‎【详解】A、a2•a2=a4，错误；‎ B、a2+a2=2a2，错误；‎ C、（a3）2=a6，正确；‎ D、a8÷a2=a6，错误，‎ 故选C．‎ ‎3．（2018·浙江中考模拟）计算（﹣a3）2的结果是（　　）‎ A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6‎ ‎【答案】C 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则可得：（﹣a3）2=a6．故选C．‎ l ‎ (ab)n＝anbn （n为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．‎ ‎1．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、错误．应该是x3•x3=x6；‎ B、错误．应该是x8÷x4=x4；‎ C、错误．（ab3）2=a2b6．‎ D、正确．‎ 故选D．‎ 23‎ ‎2．（2018·贵州中考真题）下列运算正确的是（　　）‎ A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3•a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：A. （﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；‎ B. a3•a5=a8，故此选项错误；‎ C.（﹣a2b3）2=a4b6，正确；‎ D. 3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ l am ÷an＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．‎ ‎【同底数幂相除注意事项】‎ ‎1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.‎ ‎2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。‎ ‎3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.‎ ‎4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。‎ l a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．‎ ‎1．（2016·江苏中考真题）下列计算正确的是（）‎ A．a‎3‎‎+a‎2‎=‎a‎5‎ B．a‎3‎‎⋅a‎2‎=‎a‎5‎ C．‎(2a‎2‎)‎‎3‎‎=6‎a‎6‎ D．‎a‎6‎‎÷a‎2‎=‎a‎3‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ A选项：a‎2‎‎、‎a‎3‎不是同类项，不能合并，故是错误的；‎ B选项：a‎2‎‎⋅a‎3‎=‎a‎5‎，故是错误的；‎ C选项：‎(a‎3‎)‎‎2‎‎=‎a‎6‎，故是正确的；‎ D选项：a‎8‎‎÷a‎4‎=‎a‎6‎，故是错误的；‎ 故选C.‎ ‎2.．（2018·丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 23‎ A选项中，因为，所以A中计算错误；‎ B选项中，因为，所以B中计算错误；‎ C选项中，因为，所以C中计算错误；‎ D选项中，因为，所以D中计算正确.‎ 故选D.‎ ‎3．（2016·福建中考模拟）下列运算正确的是( )‎ A．2a2+a=3a3 B．(m2)3=m5 C．(x+y)2=x2+y2 D．a6÷a3=a3‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、2a2与a不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ B、（m2）3=m2×3=m6，故本选项错误；‎ C、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误；‎ D、a6÷a3=a6-3=a3，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 考查题型一 幂的运算法则的应用 ‎1．（2019·浙江杭州外国语学校中考模拟）若2m＝5，4n＝3，则43n﹣m的值是( )‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵2m＝5，4n＝3，‎ ‎∴43n﹣m====‎ 故选B.‎ ‎2．（2019·海口市长流中学中考模拟）已知x+y﹣4=0，则2y•2x的值是(　　)‎ A．16 B．﹣16 C． D．8‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16.‎ 23‎ 故选A.‎ ‎3．（2012·山东中考真题）若‎3‎x‎=4, ‎9‎y=7‎，则‎3‎x-2y的值为（）‎ A．‎4‎‎7‎ B．‎7‎‎4‎ C． D．‎‎2‎‎7‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵‎3‎x‎=4, ‎9‎y=7‎，‎ ‎∴‎3‎x-2y‎=‎3‎x‎3‎‎2y=‎3‎x‎9‎y=‎‎4‎‎7‎;‎ 故选A。‎ ‎4．（2018·江苏中考模拟）若，则的值分别为( )‎ A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．6，12‎ ‎【答案】B ‎∵（ambn）3=a9b15，‎ ‎∴a3mb3n=a9b15，‎ ‎∴3m=9，3n=15，‎ ‎∴m=3，n=5，‎ 故选B．‎ ‎5．（2018·湖南中考模拟）已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（　　）‎ A．24 B．36 C．72 D．6‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵am=2，an=3， ∴a3m+2n =a3m•a2n =（am）3•（an）2 =23×32 =8×9 =72．‎ 故选C.‎ 23‎ 考查题型二 运用幂的原酸法则比较大小 ‎1．（2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟）若，，则下列结论正确是（）‎ A．a＜b B． C．a＞b D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选B.‎ ‎2．（2017·湖北中考模拟）已知则的大小关系是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：‎ 故选A.‎ 知识点二 整式乘除 n 单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．‎ 单项式乘法易错点：‎ ‎【注意】‎ 1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。‎ 2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。‎ ‎1．（2017·安徽中考模拟）不等于（）‎ 23‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎=·=.‎ A中，=，故A正确；‎ B中，=（）m=, 故B正确；‎ C中，=，故C错误；‎ D中，==, 故D正确.‎ 故选C.‎ ‎2．（2018·山东中考模拟）计算：（−x）3·2x的结果是 A．−2x4 B．−2x3 C．2x4 D．2x3‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎（﹣x）3•2x=﹣x3•2x ‎=﹣2x4．‎ 故选：A．‎ ‎3．（2018·湖南中考模拟）如果单项式－3x4a－by2与x3ya＋b的和是单项式，那么这两个单项式的积是（    ）‎ A．3x6y4 B．－3x3y2 C．－3x3y2 D．－3x6y4‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 由同类项的定义，得 ‎，‎ 解得．‎ 所以原单项式为：-3x3y2和x3y2，其积是-3x6y4．‎ 23‎ 故选：D．‎ n 单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 ‎【单项式乘以多项式注意事项】‎ ‎1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。‎ ‎2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）‎ ‎3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。‎ ‎1.（2018·湖北中考真题）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（　　）‎ A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎（a﹣2）（a+3）=a2+3a-2a-6=a2+a﹣6，‎ 故选B．‎ ‎2．（2019·山东中考真题）计算的结果是（）‎ A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 原式=4m2•2m3‎ ‎=8m5，‎ 故选A．‎ ‎3．（2019·广西中考真题）计算：（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：；‎ 故选：B．‎ n 多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．‎ ‎【多项式乘以多项式注意事项】‎ 23‎ 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。‎ ‎1．（2018·内蒙古中考模拟）计算的结果为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：原式 故选B.‎ ‎2．（2018·湖北中考模拟）计算（x－2）（x+5）的结果是 A．x2+3x+7 B．x2+3x+10 C．x2+3x－10 D．x2－3x－10‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ x-2‎x+5‎‎=x‎2‎+5x-2x-10=x‎2‎+3x-10.‎ 故选：C.‎ ‎3．（2015·广东中考真题）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）‎ A．1 B．-2 C．-1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）=+x﹣2 =+mx+n，然后对照各项的系数即可求出m=1，n=﹣2，所以m+n=1﹣2=﹣1．‎ 故选：C n 乘法公式 ① 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2‎ ‎（a－b）2＝a2－2ab＋b2‎ ‎【扩展】‎ 扩展一(公式变化)： a‎2‎+ ‎b‎2‎‎=‎(a+b)‎‎2‎-2ab ‎                                         a‎2‎‎+ b‎2‎=(a-b)‎‎2‎‎ ‎‎+2ab 扩展二： ‎(a+b)‎‎2‎+ ‎(a-b)‎‎2‎‎ ‎= 2(a‎2‎+ b‎2‎)‎ ‎                    (a+b)‎‎2‎‎ - ‎(a-b)‎‎2‎‎ ‎= 4ab 扩展三： a‎2‎+ b‎2‎+ c‎2‎= ‎(a+b+c)‎‎2‎-2ab-2ac-2bc 23‎ ‎② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2‎ ‎【运用平方差公式注意事项】‎ ‎1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式． 2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．‎ ‎1．（2018·河北中考真题）将9.52变形正确的是（　　）‎ A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）‎ C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，‎ 或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，‎ 观察可知只有C选项符合，‎ 故选C．‎ ‎2．（2018·四川中考模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）‎ A．10 B．±10 C．20 D．±20‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵x2+mx+25是完全平方式，‎ ‎∴m=±10，‎ 故选：B．‎ ‎3．（2018·甘肃中考模拟）已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（　　）‎ A．4πcm2 B．（2πR+4π）cm2 C．（4πR+4π）cm2 D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 半径为Rcm的圆的面积是S1=πR2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S2=π（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可．‎ 详解：∵S2﹣S1=π（R+2）2﹣πR2=π（R+2﹣R）（R+2+R）=4πR+4π，‎ ‎∴它的面积增加4πR+4πcm2．‎ 23‎ 故选C．‎ ‎4．（2019·上海中考模拟）下列各式的变形中，正确的是( )‎ A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2 B．‎1‎x－x＝‎‎1-xx C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1 D．x÷(x2＋x)＝‎1‎x＋1‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 根据平方差公式可得A正确；根据分式的减法法则可得：B=‎1-‎x‎2‎x；根据完全平方公式可得：C=‎(x-2)‎‎2‎－1；根据单项式除以多项式的法则可得：D=‎1‎x+1‎．‎ n 单项式÷单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.‎ ‎【同底数幂相除注意事项】‎ ‎1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.‎ ‎2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。‎ ‎3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.‎ ‎4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。‎ ‎1．（2018·陕西中考模拟）下列各式中，计算正确的是（　　）‎ A．2x+3y=5xy B．x6÷x2=x3‎ C．（﹣2x3y）3=﹣8x9y3 D．x2y•x3y=x5y ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎2x+3y= 2x+3y≠5xy，故A错误. x6÷x2=x4，故B错误，x2y•x3y=x5y2，故D错误.选C.‎ ‎2．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ 23‎ B、原式=a2b2，故本选项错误；‎ C、原式=a6，故本选项错误；‎ D、原式=2a3，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎3.（2019·江苏中考真题）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意；‎ B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意；‎ C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意；‎ D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意，‎ 故选D．‎ n 多项式÷单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. ‎ ‎【解题思路】‎ 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。‎ ‎1．（2019·河南中考模拟）下列运算结果正确的是（　　）‎ A．（x3﹣x2+x）÷x=x2﹣x B．（﹣a2）•a3=a6‎ ‎ C．（﹣2x2）3=﹣8x6 D．4a2﹣（2a）2=2a2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A、（x3-x2+x）÷x=x2-x+1，此选项计算错误；‎ B、（-a2）•a3=-a5，此选项计算错误；‎ C、（-2x2）3=-8x6，此选项计算正确；‎ D、4a2-（2a）2=4a2-4a2=0，此选项计算错误.‎ 故选：C．‎ 23‎ ‎2．（2017·海南中考模拟）已知长方形的面积为18x3y4＋9xy2－27x2y2，长为9xy，则宽为(　　)‎ A．2x2y3＋y＋3xy B．2x2y2－2y＋3xy C．2x2y3＋2y－3xy D．2x2y3＋y－3xy ‎【答案】D 由题意得： 长方形的宽 故选D．‎ ‎3．（2015·福建中考真题）下列运算正确的是（）‎ A．‎(a‎2‎)‎‎3‎‎=‎a‎5‎ B．‎a‎2‎‎+a‎4‎=‎a‎6‎ C．a‎3‎‎÷a‎3‎=1‎ D．‎‎(a‎3‎-a)÷a=‎a‎2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A．‎(a‎2‎)‎‎3‎‎=‎a‎6‎，故错误；‎ B．a‎2‎与a‎4‎布什同类项，不能进行合并；‎ C．a‎3‎‎÷a‎3‎=1‎，正确；‎ D．‎(a‎3‎-a)÷a=a‎2‎-1‎，故错误，‎ 故选C．‎ n 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。‎ ‎1．（2017·安徽中考模拟）设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( )‎ A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：∵M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21， N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16， M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5， ∴M>N． 故选B．‎ ‎2．（2018·广西中考模拟）点A（a，3）与点B（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2017的值为（　　）‎ 23‎ A．0 B．﹣1 C．1 D．72017‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：由题意，得 a=-4，b=3．‎ ‎（a+b）2017=（-1）2017=-1，‎ 故选：B．‎ ‎3．（2018·江苏中考真题）计算：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（）0；（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）‎ ‎【答案】（1）11；（2）3x+1．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（-2）2×|-3|-（）0‎ ‎=4×3-1‎ ‎=12-1‎ ‎=11；‎ ‎（2）（x+1）2-（x2-x）‎ ‎=x2+2x+1-x2+x ‎=3x+1．‎ 考查题型三 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法 ‎1．（2018·山东中考模拟）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b的值．‎ ‎【答案】59.‎ ‎【详解】‎ 解：（x﹣2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x﹣2b，‎ ‎∵（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，‎ ‎∴a﹣2=0且b﹣2a=0，‎ 解得：a=2，b=4，‎ ‎(2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b ‎=(2a)2﹣(b+1)2﹣（a2﹣4b2）+2b 23‎ ‎=4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b ‎=3a2+3b2﹣1，‎ 当a=2，b=4时，‎ 原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59．‎ 考查题型四 乘法公式的合理运用 ‎1．（2019·乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算：‎ ‎（1）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）‎ ‎（2）已知6x﹣5y＝10，求[（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷4y的值．‎ ‎【答案】（1）a2﹣4b2+4bc﹣c2；（2）5.‎ ‎【详解】解：‎ ‎（1）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]‎ ‎=a2﹣（2b﹣c）2‎ ‎=a2﹣（4b2﹣4bc+c2）‎ ‎=a2﹣4b2+4bc﹣c2‎ ‎（2）当6x﹣5y=10时，‎ ‎∴3x﹣2.5y=5‎ 原式=[4x2﹣y2﹣（4x2﹣12xy+9y2）]÷4y ‎=（12xy﹣10y2）÷4y ‎=3x﹣2.5y ‎=5‎ 考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 ‎1．（2018·浙江中考模拟）计算：（﹣2018）2+2017×（﹣2019）．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【详解】‎ ‎（﹣2018）2+2017×（﹣2019）‎ ‎=20182﹣（2018﹣1）×（2018+1）‎ ‎=20182﹣20182+1‎ ‎=1．‎ 考查题型六 乘法公式的变形在解题中的应用 23‎ ‎1．（2019·甘肃中考模拟）已知x+=6，则x2+=（　　）‎ A．38 B．36 C．34 D．32‎ ‎【答案】C ‎【详解】把x+=6两边平方得：（x+）2=x2++2=36，‎ 则x2+=34，‎ 故选：C．‎ ‎2．（2018·四川中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（　　）‎ A．1 B．﹣ C．±1 D．±‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵a+b=2，ab=，‎ ‎∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，‎ ‎∴a2+b2=，‎ ‎∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，‎ ‎∴a-b=±1，‎ 故选：C．‎ ‎3．（2017·江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（）‎ A．-1 B．1 C．-4 D．4‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.‎ 故选：B ‎4．（2019·浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（）‎ A．10 B．6 C．5 D．3‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 23‎ 由题意得，‎ 把两式相加可得，则 故选C.‎ ‎5．（2015·湖南中考真题）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．∵a+b=3，ab=2，‎ ‎∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5．‎ 考查题型七 整式的化简求值 ‎1．（2019·辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中x＝5，y＝．‎ ‎【答案】2x2﹣7xy，43‎ ‎【详解】‎ 原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，‎ 当x＝5，y＝时，原式＝50﹣7＝43．‎ ‎2．（2017·江苏中考模拟）先化简，再求值：2＋(＋)( －2)－(－，其中＝－3，＝.‎ ‎【答案】ab-b2；；‎ ‎【详解】‎ 原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2)‎ ‎=ab-b2；‎ 当a=-3，b= 时，‎ 原式= ‎ 考查题型八 乘法公式和几何图形相结合的应用方法 ‎1．（2019·浙江中考模拟）如图，将边长为m 23‎ 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．‎ ‎（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；‎ ‎（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．‎ ‎【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）矩形的长为：m﹣n，‎ 矩形的宽为：m+n，‎ 矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；‎ ‎（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，‎ 当m=7，n=4时，S=72-42=33．‎ ‎2．（2018·浙江中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：‎ 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：‎ a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2‎ 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．‎ 方案二：‎ 方案三：‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【详解】‎ 详解：由题意可得：‎ 23‎ 方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，‎ 方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2．‎ 知识点四 因式分解（难点）‎ 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． ‎ ‎【因式分解的定义注意事项】 ‎ ‎1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；‎ ‎2.因式分解必须是恒等变形； ‎ ‎3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．‎ 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．‎ 因式分解的常用方法：‎ 提公因式法 ‎【提公因式法的注意事项】‎ ‎1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 ‎ ‎2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 ‎ ‎3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。‎ ‎4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 ‎ 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；‎ ‎①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）‎ ① 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2‎ ‎ a2－2ab＋b2＝（a－b）2‎ ‎1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】A. ，故A选项错误；‎ B. ，故B选项错误；‎ C. ，故C选项正确；‎ D. =（x-2）2，故D选项错误，‎ 23‎ 故选C.‎ ‎2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）‎ A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3‎ C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎（x+1）（x-3）‎ ‎=x2-3x+x-3‎ ‎=x2-2x-3‎ 所以a=2，b=-3，‎ 故选B．‎ ‎3．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（　　）‎ A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2‎ C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）‎ ‎【答案】A ‎【详解】A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；‎ B、2x2﹣4xy+9y2无法分解因式，故此选项错误；‎ C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；‎ D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误，‎ 故选A．‎ ‎4．（2019·山东中考模拟）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（　　）‎ A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．‎ 故选：B．‎ ‎5．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　)‎ A．a2-1‎ B．a2+a 23‎ C．a2+a-2‎ D．(a+2)2-2(a+2)+1‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．‎ 考查题型九 利用公式法解决代数式求值问题的方法 ‎1．（2018·河南中考模拟）已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．‎ 故选C．‎ ‎2．（2017·陕西中考模拟）已知实数x满足，那么的值是（　　）‎ A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ ‎∵x2+=0‎ ‎∴（x+）2-2+x+=0，‎ ‎∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0，‎ ‎∴x+=1或﹣2．‎ ‎∵x+=1无解，‎ ‎∴x+=﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎3．（2019·江苏中考模拟）若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为( )‎ A．-5 B．5 C．-2 D．2‎ 23‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎∵x2+mx-15=（x+3）（x+n），∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，‎ ‎∴3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2．‎ 23‎