2017年湖北省随州市中考数学试卷

2017年湖北省随州市中考数学试卷

‎2017年湖北省随州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6 D．a12÷a2=a6‎ ‎3．（3分）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（　　）‎ A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 ‎4．（3分）一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（　　）‎ A．4和3.5 B．4和3.6 C．5和3.5 D．5和3.6‎ ‎5．（3分）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）‎ A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ‎6．（3分）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）‎ A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧 C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧 ‎7．（3分）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．（3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（　　）‎ A．84株 B．88株 C．92株 D．121株 ‎9．（3分）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）‎ A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3‎ C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小 ‎10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：‎ ‎①AM=AD+MC；‎ ‎②AM=DE+BM；‎ ‎③DE2=AD•CM；‎ ‎④点N为△ABM的外心．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号的横线上．）‎ ‎11．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是　 　事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．‎ ‎13．（3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=　 　度．‎ ‎14．（3分）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=　 　时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ ‎15．（3分）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　 　．‎ ‎16．（3分）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤、文字说明或证明过程．）‎ ‎17．（5分）计算：（）﹣2﹣（2017﹣π）0+﹣|﹣2|．‎ ‎18．（6分）解分式方程：+1=．‎ ‎19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．‎ ‎20．（7分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）‎ ‎21．（8分）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．‎ 请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）参加初赛的选手共有　 　名，请补全频数分布直方图；‎ ‎（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？‎ ‎（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．‎ ‎22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAC；‎ ‎（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎23．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．‎ ‎（1）求该种水果每次降价的百分率；‎ ‎（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？‎ 时间x（天）‎ ‎ 1≤x＜9‎ ‎ 9≤x＜15‎ ‎ x≥15‎ 售价（元/斤）‎ ‎ 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 ‎ ‎ ‎ 销量（斤）‎ ‎ 80﹣3x ‎120﹣x ‎ 储存和损耗费用（元）‎ ‎ 40+3x ‎3x2﹣64x+400‎ ‎（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？‎ ‎24．（10分）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．‎ ‎（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路：‎ 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；‎ 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…‎ 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；‎ ‎（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．‎ ‎25．（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．‎ 已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．‎ ‎（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；‎ ‎（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；‎ ‎（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年湖北省随州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1．（3分）（2017•随州）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．‎ ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．‎ ‎【解答】解：﹣2的绝对值是2，‎ 即|﹣2|=2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•随州）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6 D．a12÷a2=a6‎ ‎【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式=2a3，不符合题意；‎ B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；‎ C、原式=a6，符合题意；‎ D、原式=a10，不符合题意，‎ 故选C ‎【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•随州）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（　　）‎ A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．三棱柱 ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：这个几何体是圆柱体．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•随州）一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（　　）‎ A．4和3.5 B．4和3.6 C．5和3.5 D．5和3.6‎ ‎【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：2，3，4，4，5，‎ 故这组数据的中位数是：4．‎ 平均数=（2+3+4+4+5）÷5=3.6．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）‎ A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ‎【分析】根据两点之间，线段最短进行解答．‎ ‎【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）‎ A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧 C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧 ‎【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．‎ ‎【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，‎ 第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于一直角的步骤是解答此题的关键．‎ ‎　[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎7．（3分）（2017•随州）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组．‎ ‎【解答】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元，‎ 根据题意得．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（　　）‎ A．84株 B．88株 C．92株 D．121株 ‎【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍药的数量．‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ 芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，‎ ‎∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，[来源:Z#xx#k.Com]‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）‎ A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3‎ C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小 ‎【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．‎ ‎【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，‎ ‎∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；‎ B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为：=﹣3，故此选项正确，不合题意；‎ C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；‎ D、∵a=1＞0，对称轴x=m，‎ ‎∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：‎ ‎①AM=AD+MC；‎ ‎②AM=DE+BM；‎ ‎③DE2=AD•CM；‎ ‎④点N为△ABM的外心．‎ 其中正确的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB＜BC时，AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．‎ ‎【解答】解：∵E为CD边的中点，‎ ‎∴DE=CE，‎ 又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，‎ ‎∴△ADE≌△FCE，‎ ‎∴AD=CF，AE=FE，‎ 又∵ME⊥AF，‎ ‎∴ME垂直平分AF，‎ ‎∴AM=MF=MC+CF，‎ ‎∴AM=MC+AD，故①正确；‎ 当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，‎ 设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，‎ 在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，‎ 解得a=1.5，即BM=1.5，‎ ‎∴由勾股定理可得AM=2.5，‎ ‎∴DE+BM=2.5=AM，‎ 又∵AB＜BC，‎ ‎∴AM=DE+BM不成立，故②错误；‎ ‎∵ME⊥FF，EC⊥MF，‎ ‎∴EC2=CM×CF，‎ 又∵EC=DE，AD=CF，‎ ‎∴DE2=AD•CM，故③正确；‎ ‎∵∠ABM=90°，‎ ‎∴AM是△ABM的外接圆的直径，‎ ‎∵BM＜AD，‎ ‎∴当BM∥AD时，=＜1，‎ ‎∴N不是AM的中点，‎ ‎∴点N不是△ABM的外心，故④错误．‎ 综上所述，正确的结论有2个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．‎ ‎　‎ 二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号的横线上．）‎ ‎11．（3分）（2017•随州）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11 700 000用科学记数法表示为　1.17×107　．‎ ‎【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．‎ ‎【解答】解：11700000=1.17×107．‎ 故答案为：1.17×107．‎ ‎【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•随州）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是　随机　事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．‎ ‎【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．‎ ‎【解答】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，‎ 故答案为：随机．‎ ‎【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2017•随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=　35　度．‎ ‎【分析】首先利用垂径定理证明，=，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC=‎ AOC=35°．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA．‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠AOC=∠COB=70°，‎ ‎∴∠ADC=AOC=35°，‎ 故答案为35．‎ ‎【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2017•随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=　或　时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ ‎【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．‎ ‎【解答】解：当=时，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△AED∽△ABC，‎ 此时AE===；‎ 当=时，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ 此时AE===；‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2017•随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　（，）　．‎ ‎【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，‎ 则此时，PM+PN最小，‎ ‎∵OA垂直平分NN′，‎ ‎∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，‎ ‎∴△NON′是等边三角形，‎ ‎∵点M是ON的中点，‎ ‎∴N′M⊥ON，‎ ‎∵点N（3，0），‎ ‎∴ON=3，‎ ‎∵点M是ON的中点，‎ ‎∴OM=1.5，‎ ‎∴PM=，‎ ‎∴P（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2017•随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是　②③④　（填写所有正确结论的序号）．‎ ‎【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，‎ ‎∵C地位于A、B两地之间，‎ ‎∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；‎ ‎②甲车的速度为240÷4=60（km/h），‎ 乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），‎ ‎∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），‎ ‎∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；‎ ‎③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=2（h），‎ ‎∴乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；‎ ‎④∵80×（4﹣3.5）=40（km），‎ ‎∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．‎ 综上所述，正确的结论有：②③④．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤、文字说明或证明过程．）‎ ‎17．（5分）（2017•随州）计算：（）﹣2﹣（2017﹣π）0+﹣|﹣2|．‎ ‎【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=9﹣1+3﹣2=9．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2017•随州）解分式方程：+1=．‎ ‎【分析】‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：3+x2﹣x=x2，‎ 解得：x=3，‎ 经检验x=3是分式方程的解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2017•随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．‎ ‎【分析】（1）求出点B坐标即可解决问题；‎ ‎（2）结论：P在第二象限，Q在第四象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）由题意B（﹣2，），‎ 把B（﹣2，）代入y=中，得到k=﹣3，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣．‎ ‎（2）结论：P在第二象限，Q在第四象限．‎ 理由：∵k=﹣3＜0，‎ ‎∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，‎ ‎∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，‎ ‎∴P、Q在不同的象限，‎ ‎∴P在第二象限，Q在第四象限．‎ ‎【点评】此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）（2017•随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）‎ ‎【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠‎ CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．‎ ‎【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，‎ 则GH=BE、BG=EH=10，‎ 设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，‎ 在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，‎ ‎∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，‎ ‎∵∠DBE=45°，‎ ‎∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，‎ 解得：x≈45，‎ ‎∴CH=tan55°•x=1.4×45=63，‎ 答：塔杆CH的高为63米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2017•随州）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．‎ 请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）参加初赛的选手共有　40　名，请补全频数分布直方图；‎ ‎（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？‎ ‎（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．‎ ‎【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；‎ ‎（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），‎ B组有：40×25%=10（人）．‎ 频数分布直方图补充如下：‎ 故答案为40；‎ ‎（2）C组对应的圆心角度数是：360°×=108°，[来源:学科网ZXXK]‎ E组人数占参赛选手的百分比是：×100%=15%；‎ ‎（3）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，‎ ‎∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为=．‎ ‎【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2017•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAC；‎ ‎（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎【分析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，根据勾股定理得到BD=OD=，于是得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接DE，OD．‎ ‎∵BC相切⊙O于点D，‎ ‎∴∠CDA=∠AED，‎ ‎∵AE为直径，‎ ‎∴∠ADE=90°，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ ‎∴∠DAO=∠CAD，‎ ‎∴AD平分∠BAC；‎ ‎（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，‎ ‎∴∠B=∠BAC=45°，‎ ‎∵BC相切⊙O于点D，‎ ‎∴∠ODB=90°，‎ ‎∴OD=BD，∴∠BOD=45°，‎ 设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴BC=AC=x+1，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴2（x+1）2=（x+x）2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴BD=OD=，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=﹣=1﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2017•随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．‎ ‎（1）求该种水果每次降价的百分率；‎ ‎（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？‎ 时间x（天）‎ ‎ 1≤x＜9‎ ‎ 9≤x＜15‎ ‎ x≥15‎ 售价（元/斤）‎ ‎ 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 ‎ ‎ ‎ 销量（斤）‎ ‎ 80﹣3x ‎120﹣x ‎ 储存和损耗费用（元）‎ ‎ 40+3x ‎3x2﹣64x+400‎ ‎（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？‎ ‎【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；‎ ‎（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；‎ ‎（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，‎ ‎10（1﹣x）2=8.1，‎ x=10%或x=190%（舍去），‎ 答：该种水果每次降价的百分率是10%；‎ ‎（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，‎ ‎∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，‎ ‎∵﹣17.7＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=1时，y有最大值，‎ y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），‎ 当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，‎ ‎∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，‎ ‎∵﹣3＜0，‎ ‎∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，‎ 当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=10时，y有最大值，‎ y大=380（元），‎ 综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y=，‎ 第10天时销售利润最大；‎ ‎（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，‎ 由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），‎ ‎252.5≤105（4﹣a）﹣115，‎ a≤0.5，‎ 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2017•随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．‎ ‎（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路：‎ 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；‎ 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…‎ 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；‎ ‎（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．‎ ‎【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；‎ 证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到==1，所以DM=EM；‎ ‎（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；‎ ‎（4）利用==k得到=，则==•+1=．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ 证法一：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∵四边形ABEF为平行四边形，‎ ‎∴AB=EF，AB∥EF，‎ ‎∴CD=EF，CD∥EF，‎ ‎∴∠CDM=∠FEM，‎ 在△CDM和△FEM中 ‎，‎ ‎∴△CDM≌△FEM，‎ ‎∴DM=EM，‎ 即点M是DE的中点；‎ 证法二：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴DH=BH，‎ ‎∵四边形ABEF为平行四边形，‎ ‎∴AF∥BE，‎ ‎∵HM∥BE，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴DM=EM，‎ 即点M是DE的中点；‎ ‎（2）∵△CDM≌△FEM，‎ ‎∴CM=FM，‎ 设AD=a，CM=b，‎ ‎∵∠ABE=135°，‎ ‎∴∠BAF=45°，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴∠NAF=45°，‎ ‎∴四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AC=AD=a，‎ ‎∵AB∥EF，‎ ‎∴∠AFN=∠BAF=45°，‎ ‎∴△ANF为等腰直角三角形，‎ ‎∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，‎ ‎∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，‎ ‎∴===；‎ ‎（4）∵==+2•=k，‎ ‎∴=（k﹣），‎ ‎∴=，‎ ‎∴==•+1=•+1=．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握平行线分线段成比例定理、平行四边形和菱形的性质；灵活利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代数法表示线段之间的关系．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2017•随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．‎ 已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．‎ ‎（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　y=﹣x+　，点A的坐标为　（﹣2，2）　，点B的坐标为　（1，0）　；‎ ‎（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；‎ ‎（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；‎ ‎（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；‎ ‎（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥‎ x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，‎ ‎∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，‎ 联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴A（﹣2，2），B（1，0），‎ 故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；‎ ‎（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，‎ 如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，‎ 在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，‎ ‎∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），‎ ‎∴AC==，‎ 由翻折的性质可知AN=AC=，‎ 在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，‎ ‎∵OD=2，‎ ‎∴ON=2﹣3或ON=2+3，‎ 当ON=2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，‎ ‎∴N点坐标为（0，2﹣3）；‎ 当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，‎ 在Rt△AMD中，AD=2，OD=2，‎ ‎∴tan∠DAM==，‎ ‎∴∠DAM=60°，‎ ‎∵AD∥x轴，‎ ‎∴∠AMC=∠DAO=60°，‎ 又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，‎ ‎∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，‎ ‎∴MP=MN=，NP=MN=，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴此时N点坐标为（，）；‎ 综上可知N点坐标为（0，2﹣3）或（，）；‎ ‎（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，‎ 则有AC∥EF且AC=EF，‎ ‎∴∠ACK=∠EFH，‎ 在△ACK和△EFH中 ‎∴△ACK≌△EFH（AAS），‎ ‎∴FH=CK=1，HE=AK=2，‎ ‎∵抛物线对称轴为x=﹣1，‎ ‎∴F点的横坐标为0或﹣2，‎ ‎∵点F在直线AB上，‎ ‎∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，‎ ‎∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，‎ ‎∴E（﹣1，﹣）；‎ 当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；‎ ‎②当AC为平行四边形的对角线时，‎ ‎∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），‎ ‎∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），‎ 设E（﹣1，t），F（x，y），‎ 则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，‎ ‎∴x=﹣4，y=2﹣t，‎ 代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，‎ ‎∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；‎ 综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎