2008年北京市西城区中考数学一模试卷

2008年北京市西城区中考数学一模试卷

‎ 2008年北京市西城区中考数学一模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．2的相反数是( )‎ A．－2 B．‎2 ‎C．0 D．－‎ ‎2．长城总长约为‎6700000米，用科学记数法表示是( )‎ A．67×‎105米 B．6.7×‎‎106米 C．0.67×‎109米 D．6.7×‎‎108米 ‎3．如图，l1∥l2，∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3＝( )‎ 第3题图 A．20° B．40° C．50° D．60°‎ ‎4．若实数x、y满足(x＋y＋2)(x＋y－1)＝0，则x＋y的值为( )‎ A．1 B．－‎2 ‎C．2或－1 D．－2或1‎ ‎5．在一次射击练习中，王明的射击成绩(单位：环)分别是9，8，9，10，9．下列关于这组数据的说法中错误的是( )‎ A．平均数是9 B．中位数是9‎ C．众数是9 D．方差是9‎ ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，在图中与△ABC相似的三角形(不包括△ABC)的个数为( )个 第6题图 A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎7．正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，抛掷二枚相同的正方体骰子并掷得点数和为8，且这两个点数均为奇数的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，若正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数(x＞0)的图象上，则点E的坐标是( )‎ 第8题图 A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．某种商品的价格为a元，该商品经过两次降价后，它的价格降低到原来价格的36％，若平均每次降低的百分率相同，设为x，则x＝________．(用百分数表示)‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，若以AB为直径的圆交BC于点D，则阴影部分的面积是________．‎ 第10题图 ‎11．为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼并做上记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再第二次捕捞鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有________条鱼．‎ ‎12．如图所示，将一张矩形纸片对折，可得到一条折痕(图中的虚线)，连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续操作三次可以得到7条折痕，那么对折n次可得到折痕的条数是________．‎ ‎ …‎ 第12题图 三、解答题(共13个小题，共75分)‎ ‎13．(5分)计算：．‎ ‎14．(5分)解方程组 ‎15．(5分)先化简再求值：，其中．‎ ‎16．(5分)已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB＝∠DCE＝90°，DC＝EC．‎ 求证：∠B＝∠EAC．‎ 第16题图 ‎17．(5分)已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2－‎2m－3＝0的两个不相等的实根中，有一个根是0，求m的值．‎ ‎18．(5分)如图，四边形ABCD中，一组对边AB＝DC＝4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD＝30°．‎ 求：(1)MH的长；‎ ‎(2)MN的长．‎ 第18题图 ‎19．(5分)如图，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上的一点，BC＝3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．‎ ‎(1)求证：∠ACG＝∠B．‎ ‎(2)计算线段AF的长．‎ 第19题图 ‎20．(4分)平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(6，0)，点P满足AP＝OP＝6．‎ ‎(1)直接写出点P的坐标；‎ ‎(2)若点P在直线y＝－x＋m上，求m的值．‎ ‎21．(5分)如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AB≠DC．设AD＝a，BC＝b．‎ 过AD的中点和BC的中点的直线可将梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．‎ 请你再设计一种方法，只须用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD分割成面积相等的两部分．画出设计的图形并简要说明你的分割方法．‎ 第21题图 ‎22．(6分)某区组织文艺汇演，甲、乙两校共92人(其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人)，准备统一购买服装参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表．‎ 购买服装的套数 ‎1套至45套 ‎46套至90套 ‎91套及以上 每套服装的价格 ‎60元 ‎50元 ‎40元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5 000元．‎ ‎(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱?‎ ‎(2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出?‎ ‎(3)如果甲校有9名同学抽调去参加书法比赛而不能参加演出，请你设计一种两校联合购买服装最省钱的方案(直接写出购买方案，不必说明理由)．‎ ‎23．(7分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E ‎，交BC于点F．若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF．‎ ‎(1)求证：PA＝PC．‎ ‎(2)若AD＝12，AB＝15，∠DAB＝60°，求四边形ABCD的面积．‎ 第23题图 ‎24．(7分)已知抛物线C1：y＝ax2－2amx＋am2＋‎2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于点P(1，3)成中心对称．‎ ‎(1)用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标；‎ ‎(2)求m的值和抛物线C2的解析式；‎ ‎(3)设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．‎ 第24题图 ‎25．(8分)如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．‎ ‎(1)当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．‎ ‎(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．‎ 第25题图 答 案 ‎19．2008年北京市西城区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 二、填空题 ‎9．40％ 10．1 11．1000 12．2n－1‎ 三、解答题 ‎13．解：．‎ ‎14．解：①×2－②×3，得y＝2．将y＝2代入方程②，得x＝1．所以是原方程组的解．‎ ‎15．解：1)=(m－2)(m＋1)=m2－m－2．‎ 将m＝代入上式，得()2－－2＝1－．‎ ‎16．证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，‎ 第16题答图 ‎∴AC＝CB．‎ ‎∵∠ACB＝∠DCE＝90°，‎ ‎∴∠ACE＝90°－∠ACD＝∠DCB．‎ 在△ACE和△BCD中，‎ ‎∴△ACE≌△BCD．‎ ‎∴∠B＝∠EAC．‎ ‎17．解：∵x＝0是原方程的根，∴m2－‎2m－3＝0．解得m1＝3，m2＝－1．‎ 又b2－‎4ac＝[－2(m＋1)]2－4(m2－‎2m－3)＝‎16m＋16．‎ ‎∵方程有两个不等的实根，∴b2－‎4ac＞0，得‎16m＋16＞0，得m＞－1.‎ 故应舍去m＝－1，得m＝3为所求．‎ ‎18．解：(1)∵M、H分别是AD，BD的中点，‎ ‎∴MH∥AB，．‎ ‎∵AB＝4，∴MH＝2．‎ ‎(2)连结HN，作HQ⊥MN，交MN于点Q．‎ 同(1)可知，HN∥DC，HN＝2．‎ ‎∴△MHN是等腰三角形．‎ ‎∵∠ABD＝30°，∠BDC＝90°，‎ ‎∴∠MHN＝120°．‎ ‎∵HQ⊥MN，∴HQ平分∠MHN，NQ＝QM．‎ ‎∵MH＝2，∠MHQ＝60°，‎ ‎∴MQ＝HM·sin60°＝，∴MN＝2MQ＝2．‎ 第18题答图 ‎19．(1)证明：连结OC，BF．‎ ‎∵GE是过点C的⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥GE，即∠ACG＋∠OCA＝90°．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，AO＝OC，C为圆周上的一点，‎ ‎∴∠ACB＝90°，∠BAC＝∠OCA．‎ ‎∵∠B＋∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠ACG．‎ ‎(2)解：∵Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，‎ ‎∴∠CAB＝30°．‎ ‎∵∠B＝∠ACG，AD⊥GE，‎ ‎∴∠CAD＝30°．‎ ‎∴∠CAD＋∠CAB＝60°∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB＝90°∵AB＝6，∴AF＝AB．cos60°＝3．‎ 第19题答图 ‎20．解：(1)P1(3，3)，P2(3，－3)．‎ ‎(2)将P1(3，3)代入y＝－x＋m中，得m＝3＋3．‎ 将P2(3，－3)代入y＝－x＋m中，得m＝3－3.‎ ‎21．方法一：如图①，取，连结AM．AM把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．‎ 方法二(如图②)：(1)取DC的中点G，过G作EF∥AB，交BC于点F，交AD的延长线于点E．‎ ‎(2)连结AF，BE，相交于点O．‎ ‎(3)过O任作直线MN，分别与AD，BC相交于点N、M，沿MN剪一刀即把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分．‎ 第21题答图①‎ 第21题答图②‎ ‎22．解：(1)如果甲、乙两校联合起来购买服装需40×92＝3680(元)．‎ 比各自购买服装共可以节省：5000－3680＝1320(元)．‎ ‎(2)设甲校有学生x人(依题意，46＜x＜90)，则乙校有学生(92－x)人．依题意，50x＋60×(92－x)＝5000．‎ 解得x＝52，有92－x＝40．‎ 故甲校有52人，乙校有40人．‎ ‎(3)按每套服装40元一次购买91套服装最省钱．‎ ‎(理由如下：如果甲校有9名同学抽调去参加书法比赛而不能参加演出，则甲校有43人，乙校有40人．‎ 依题意，50×(43＋40)＝4150(元)．‎ 依题意，若联合买91套服装，需40×91＝3640(元)．‎ 因为4150＞3640，所以联合购买91套服装最省钱)‎ ‎23．(1)证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM＝AE，CN＝CF．‎ 第23题答图 ‎∵AP＋AE＝CP＋CF，‎ ‎∴PN＝PM．‎ ‎∵PE＝PF，‎ ‎∴四边形EMFN是平行四边形．‎ ‎∴ME＝FN，∠EMA＝∠CNF．‎ 又∵∠AME＝∠AEM，∠CNF＝∠CFN，‎ ‎∴△EAM≌△FCN．∴AM＝CN．∵PM＝PN，∴PA＝PC．‎ ‎(2)解：∵PA＝PC，EP＝PF，‎ ‎∴四边形AFCE为平行四边形．‎ ‎∴AE∥CF．‎ ‎∵∠PED＝∠PFB，∠EPD＝∠FPB，EP＝PF，‎ ‎∴△PED≌△PFB．‎ ‎∴DP＝PB．由(1)知PA＝PC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎∵AB＝15，AD＝12，∠DAB＝60°，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为90．‎ ‎24．解：(1)因为y＝ax2－2amx＋am2＋‎2m＋1＝a(x－m)2＋‎2m＋1，‎ 所以抛物线C1的顶点为A(m，‎2m＋1)．‎ ‎(2)如图，因为点A、B关于点P(1，3)成中心对称，作PE⊥y轴于点E，作AF⊥y轴于点F，可知△BPE∽△BAF．所以AF＝2PE，即m＝2．‎ 又P(1，3)，A(2，5)，设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A、P的坐标代入得 所以k＝2，b＝1．故直线AB的解析式是y＝2x＋1，得抛物线C2的顶点的坐标是B(0，1)．‎ 因为C1、C2关于点P成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得C2的解析式是y＝－ax2＋1．‎ ‎(3)在Rt△ABF中，因为AB＝＝2＜5，所以不存在AB＝AC的情况．‎ 当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：‎ 第24题答图①‎ 第24题答图②‎ 第24题答图③‎ ‎①如图②，设C(x，0)，若BC＝AB＝2，则，得C(，0)．又C(，0)在抛物线y＝－ax2＋1上，则．‎ ‎②如图③，若AC＝BC，设C(x，0)，作AD⊥x轴于点D．‎ 在Rt△OBC中，BC2＝x2＋1．‎ 在Rt△ADC中，AC2＝(x－2)2＋25．‎ 由x2＋1＝(x－2)2＋25，解得x＝7．‎ 因为C(7，0)在抛物线y＝－ax2＋1上，所以．‎ 综上，使△ABC是等腰三角形的a的值有两个：，．‎ ‎25．(1)证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴每个内角均为120°．‎ ‎∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，∴∠AFM＋∠FMA＝∠FMA＋∠BMH＝60°‎ ‎∴∠AFM＝∠BMH．‎ 第25题答图①‎ ‎(2)解：猜想：FM＝MH．‎ 证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．‎ ‎②当点M与点A不重合时，‎ 证法一：如图①，连结FB并延长到G，使BG＝BH，连结MG．‎ ‎∵∠BAF＝120°，AF＝AB，∴∠AFB＝∠FBA＝30°．‎ ‎ ∴△MBH≌△MBG．‎ ‎∴∠MHB＝∠MGB，MH＝MG．‎ ‎∵∠AFM＝∠BMH，∠HMB＋∠MHB＝30°，‎ ‎∴∠AFM＋∠MGB＝30°．‎ ‎∵∠AFM＋∠MFB＝30°，‎ ‎∴∠MFB＝∠MGB．∴FM＝MG＝MH．‎ 证法二：如图②，在AF上截取FP＝MB，连结PM．‎ ‎∵AF＝AB，FP＝MB，‎ ‎∴PA＝AM ‎∵∠A＝120°，‎ ‎∴，‎ 有∠FPM＝150°．‎ ‎∵BQ平分∠CBN，∴∠MBQ＝120°＋30°＝150°，‎ 有∠FPM＝∠MBH．由(1)知∠PFM＝∠HMB，‎ ‎∴△FPM≌△MBH．∴FM＝MH．‎ 第25题答图②‎