九年级数学上册 13 正方形的性质与判定 新版北师大版

九年级数学上册 13 正方形的性质与判定 新版北师大版

正方形 平行四边形 矩形 菱形 有一个角是直角 互相垂直平分且相等 考点梳理 课前预习 1. 正方形的一条对角线长为 4 ，则这个正方形的面积是（　　） A ． 8 B ． 4 C ． 8 D ． 16 2. 如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE ， AC 、 BE 相交于点 F ，则∠ BFC 为（　　） A ． 45 ° B ． 55 ° C ． 60 ° D ． 75 ° 解析：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=AD 又∵△ ADE 是等边三角形， ∴ AE=AD=DE ，∠ DAE=60 ° ， ∴ AD=AE ∴∠ ABE= ∠ AEB ，∠ BAE=90 ° +60 ° =150 ° ∴∠ ABE= （ 180 ° -150 ° ） ÷ 2=15 ° 又∵∠ BAC=45 ° ∴∠ BFC=45 ° +15 ° =60 ° 答案： C ． 3. 如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 上的点，且 AE=BF ．求证： CE=DF ． 解析：根据正方形的性质可得 AB=BC=CD ，∠ B= ∠ BCD=90 ° ，然后求出 BE=CF ，再利用“边角边”证明△ BCE 和△ CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 4. 如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，若再补充一个条件能使菱形 ABCD 成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一） 解析：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（ 1 ）有一个内角是直角（ 2 ）对角线相等． 即∠ BAD=90 ° 或 AC=BD ． 答案：∠ BAD=90 ° 或 AC=BD ． 正方形的性质 1. 如图，每个小正方形的边长为 1 ，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（　　） A ． B ． 2 C ． D ． 考点突破 2 . 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF 、 GH 分割为四个小矩形， EF 与 GH 交于点 P ． （ 1 ）若 AG=AE ，证明： AF=AH ； （ 2 ）若∠ FAH=45° ，证明： AG+AE=FH ； （ 3 ）若 Rt△GBF 的周长为 1 ，求矩形 EPHD 的面积． 3 . 如图，正方形 ABCD 以 AD 为边向外作等边三角形 ADE ，则∠ BEC 的度数为（　　） A ． 30 ° B ． 15 ° C ． 20 ° D ． 45 ° 解析：∵四边形 ABCD 为正方形，△ ADE 为等边三角形， ∴ AB=BC=CD=AD=AE=DE ，∠ BAD= ∠ ABC= ∠ BCD= ∠ ADC=90 ° ，∠ AED= ∠ ADE= ∠ DAE=60 ° ， ∴∠ BAE= ∠ CDE=150 ° ，又 AB=AE ， DC=DE ， ∴∠ AEB= ∠ CED=15 ° ， 则∠ BEC= ∠ AED- ∠ AEB- ∠ CED=30 ° ． 答案： A ． 4 . 如图，正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别在 BC 、 CD 上，△ AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G ，下列结论：① BE=DF ，②∠ DAF=15 ° ，③ AC 垂直平分 EF ，④ BE+DF=EF ，⑤ S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（　　）个． A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 5 . 如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿着折痕 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 的中间 G 处，求： （ 1 ）线段 BE 的长； （ 2 ）四边形 BCFE 的面积． 解析：（ 1 ）由折叠的性质可得 CF=HF ， BE=GE ，设 BE=GE=x ，则 AE=4-x ，在 Rt △ AEG 中利用勾股定理求出 x 的值； （ 2 ）四边形 BCFE 是梯形，要求其面积需要得出 CF 的长，可通过求出 FH 的长度，进行求解． 正方形的判定 1. 已知：如图，点 E ， F ， P ， Q 分别是正方形 ABCD 的四条边上的点，并且 AF=BP=CQ=DE ． 求证：（ 1 ） EF=FP=PQ=QE ； （ 2 ）四边形 EFPQ 是正方形． 解析：（ 1 ）由四边形 ABCD 是正方形，∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90 ° ， AB=BC=CD=AD ，又由 AF=BP=CQ=DE ，即可得 DF=CE=BQ=AP ，然后利用 SAS 即可证得△ APF ≌△ DFE ≌△ CEQ ≌△ BQP ，即可证得 EF=FP=PQ=QE ； （ 2 ）由 EF=FP=PQ=QE ，可判定四边形 EFPQ 是菱形，又由△ APF ≌△ BPQ ，易得∠ FPQ=90 ° ，即可证得四边形 EFPQ 是正方形． 2. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是线段 AD 上的任意一点（ E 与 A ， D 不重合）， G ， F ， H 分别是 BE ， BC ， CE 的中点． （ 1 ）证明：四边形 EGFH 是平行四边形； （ 2 ）在（ 1 ）的条件下，若 EF ⊥ BC ，且 EF= BC ，证明：平行四边形 EGFH 是正方形．