中考数学 方程与不等式 一次方程组及其应用复习

中考数学 方程与不等式 一次方程组及其应用复习

山西省 数学 　一次方程(组)及其应用 第二章　方程与不等式 a±c ＝ b±c 2 ． 定义 (1) 含有未知数的 ________ 叫做方程； (2) 只含有 _______ 未知数 ， 且含未知数的项的次数是 ______ ， 这样的整式方程叫做一元一次方程； (3) 含有两个未知数 ， 且含未知数的项的次数为 1 ， 这样的整式方程叫做二元一次方程； (4) 将两个或两个以上的方程联立在一起 ， 就构成了一个方程组．如果方程组中含有 ____________ ， 且含未知数的项的次数都是 _____ ， 这样的方程组叫做二元一次方程组． 等式 一个 1 两个未知数 1 相等的 3 ． 方程的解 (1) 能够使方程左右两边 _________ 未知数的值 ， 叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程． (2) 二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值． (3) 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解． 4 ． 解法 (1) 解一元一次方程主要有以下步骤： ①去分母 ( 注意不要漏乘不含分母的项 ) ；②去括号 ( 注意括号外是负号时 ， 去括号后括号内各项均要 _______) ；③移项 ( 注意移项要 _______) ；④合并同类项；⑤系数化 1 ； (2) 解二元一次方程组的基本思想是 _______ ， 有 __________ 与 __________ 两种消元办法．即把多元方程通过 ______ 、 _______ 、换元等方法转化为一元方程来解． 变号 变号 消元 代入消元法 加减消元法 加减 代入 5 ． 列方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤 (1) 审：即审清题意 ， 分清题中的 ___________ 、 _________ ； (2) 设：即设关键未知数； (3) 找：即找出各量之间的 _____________ ； (4) 列：即根据等量关系 ____________ ； (5) 解：即 _____________________ ； (6) 验：即检验所解出的答案是否正确 ， 是否符合题意； (7) 答：即规范作答 ， 注意单位名称． 已知量 未知量 等量关系 列方程 ( 组 ) 解方程 ( 组 ) ＋ 船在静水中速度－水流速度 工作时间 (4) 增长率问题：设 a 为原来量 ， m 为平均增长率 ， n 为增长次数 ， b 为增长后的量 ， 则 a(1 ＋ m) n ＝ b ；当 m 为平均下降率时 ， 则有 a(1 － m) n ＝ b. (5) 利润问题： 利润＝售价－进价＝进价 × 利润率； 售价＝标价 × 折扣率＝进价 ×(1 ＋利润率 ) ； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润 × 销售量． (6) 利息问题： 利息＝本金 × 利率 × 期数 本息和＝本金 × 利息 1 ． 在解一元一次方程 时 ， 经 常用到两个相乘：一是去分母 时 ， 方程两 边 同乘以分母的最小公倍数；二是将分母化 为 整数 时 ， 把分母、分子同乘以 10n. 这 两个 “ 同乘以 ” 有着本 质 的区 别 ， 一个用的是等式的性 质 ， 一个用的是分数的基本性 质 ， 两者不可混淆． 2 ． 两种设元方法 (1) 直接 设 元． 在全面透 彻 地理解 问题 的基 础 上 ， 根据 题 中求什么就 设 什么是 未知数 ， 或要求几个量 ， 可直接 设 出其中一个 为 未知数 ， 再用 这 个未知数表示另一个未知量． 这 种 设 未知数的方法叫做直接 设 元法． (2) 间 接 设 元． 如果 对 某些 题 目直接 设 元不易求解 ， 便可将并不是直接要求的某个量 设为 未知数 ， 从而使得 问题变 得容易解答 ， 我 们 称 这 种 设 未知数的方法 为间 接 设 元法． 3 ． 列方程 ( 组 ) 解 应 用 题 的关 键 是把已知量和未知量 联 系起来 ， 找出 题 目中的数量关系 ， 并根据 题 意或生活 实际 建立等量关系． 一般来 说 ， 有几个未知量就必 须 列出几个方程 ， 所列方程必 须 注意： ① 方程两 边 表示的是同 类 量； ② 同 类 量的 单 位要 统 一； ③ 方程两 边 的数 值 要相等． A 命题点：一元一次方程应用 1 ． ( 2013 · 山西 ) 王先生到银行存了一笔三年期的定期存款 ， 年利率是 4.25% ， 若到期后取出得到本息和 ( 本金＋利息 )33825 元 ， 设王先生存入的本金为 x 元 ， 则下面所列方程正确的是 ( ) A ． x ＋ 3 × 4.25%x ＝ 33825 B ． x ＋ 4.25%x ＝ 33825 C ． 3 × 4.25%x ＝ 33825 D ． 3(x ＋ 4.25%x) ＝ 33825 A 2 ． ( 2011 · 山西 ) “ 五一 ” 期间 ， 某电器按成本价提高 30% 后标价 ， 再打 8 折 ( 标价的 80%) 销售 ， 售价为 2080 元 ， 设该电器的成本价为 x 元 ， 根据题意 ， 下面所列方程正确的是 ( ) A ． x(1 ＋ 30%) × 80% ＝ 2080 B ． x·30%·80% ＝ 2080 C ． 2080 × 30% × 80% ＝ x D ． x·30% ＝ 2080 × 80% 3 ． ( 2012 · 山西 ) 图①是边长为 30 cm 的正方形纸板 ， 裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子 ， 已知该长方体的宽是高的 2 倍 ， 则它的体积是 __________ cm 3 . 1000 【 点评 】 　 (1) 去括号可用分配律 ， 注意符号 ， 勿漏乘；含有多重括号的 ， 按去括号法 则 逐 层 去括号； ( 2) 去分母 ， 方程两 边 同乘各分母的最小公倍数 时 ， 不要漏乘没有分母的 项 ( 特 别 是常数 项 ) ， 若分子是多 项 式 ， 则 要把它看成一个整体加上括号； ( 3) 解方程后要代回去 检验 解是否正确； ( 4) 当遇到方程中反复出 现 相同的部分 时 ， 可以将 这 个相同部分看作一个整体来 进 行运算 ， 从而使运算 简 便． B 【 点评 】 　 (1) 解二元一次方程 组 的方法要根据方程 组 的特点灵活 选择 ， 当方程 组 中一个未知数的系数的 绝对值 是 1 或一个方程的常数 项为 0 时 ， 用代入法 较 方便；当两个方程中同一个未知数的系数的 绝对值 相等或成整数倍 时 ， 用加减法 较 方便；当方程 组 中同一个未知数的系数的 绝对值 不相等 ， 且不成整数倍 时 ， 把一个 ( 或两个 ) 方程的两 边 同乘适当的数 ， 使两个方程中某一个未知数的系数的 绝对值 相等 ， 仍然 选 用加减法比 较简 便； ( 2) 用加减消元法 时 ， 选择 方程 组 中同一个未知数的系数 绝对值 的最小公倍数 较 小的未知 数消元 ，这样 会使运算量 较 小 ， 提高准确率． B 【 点评 】 　 (1) 先将待定系数看成已知数 ， 解 这 个方程 组 ， 再将求得的含待定系数的解代入方程中 ， 便 转 化成一个关于 k 的一元一次方程； (2) 几个方程 ( 组 ) 同解 ， 可 选择 两个含已知系数的 组 成二元一次方程 组 求得未知数的解 ， 然后将方程 组 的解代入含待定系数的另外的方程 ( 或方程 组 ) ， 解方程即可． － 1 【 例 4 】 　 ( 2015 · 张家界 ) 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路 ， 假设他始终保持平路每分钟走 60 m ， 下坡路每分钟走 80 m ， 上坡路每分钟走 40 m ， 则他从家里到学校需 10 min ， 从学校到家里需 15 min . 问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 【 点评 】 　本 题 考 查 了二元一次方程 组 的 应 用 ， 解答本 题 的关 键 是 读 懂 题 意 ， 设 出未知数 ， 找出合适的等量关系 ， 列方程 组 求解． [ 对应训练 ] 4 ． ( 2015 · 佛山 ) 某景点的门票价格如表： 购 票人数 / 人 1 ～ 50 51 ～ 100 100 以上 每人 门 票价 / 元 12 10 8 某校七 (1) 、 (2) 两班计划去游览该景点 ， 其中七 (1) 班人数少于 50 人 ， 七 (2) 班人数多于 50 人且少于 100 人 ， 如果两班都以班为单位单独购票 ， 则一共支付 1118 元；如果两班联合起来作为一个团体购票 ， 则只需花费 816 元． (1) 两个班各有多少名学生？ (2) 团体购票与单独购票相比较 ， 两个班各节约了多少钱？ B 剖析 　本 题 上述解法中基本思路 是正确的 ， 但在下 结论时 忽略了二元一次方程的解与二元一次方程 组 的解是不同的概念 ， 前者一般有无数个 ， 后者一般只有唯一一个 ， 不能混 为 一 谈． D 解： x ＝ 2