北京市西城区2007年抽样测试2

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北京市西城区 2007 年抽样测试 初三数学试卷 2007．6 (时间 120 分钟，满分 120 分) 学校________ 班级________ 姓名________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 第Ⅰ卷(机读卷 共 32 分) 一、选择题(本题共 32 分，每小题 4 分) 1． 的绝对值是( )． A．－2 B． C．2 D． 2．如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝8，∠B＝60°，将△ABC 绕点 B 旋转 60°，顶点 C 运动的 路线长是( )． A． π B． π C．2π D． π 3．若右图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成的这个几何体的小正方 体的个数是( )． A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知 AD∥EG∥BC，且 AC∥EF，记∠EFB＝α，则图中等于 α 的角(不包含∠EFB)的个 数为( )． A．3 B．4 C．5 D．6 5．估算 ＋3 的值( )． A．在 7 和 8 之间 B．在 8 和 9 之间 2 1− 2 1− 2 1 3 2 3 4 3 8 24 C．在 5 和 6 之间 D．在 4 和 5 之间 6．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头看信 号灯时，是黄灯亮的概率是( )． A． B． C． D． 7．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论： ①a＋b＋c＞0 ②b2－4ac＞0 ③abc＜0 ④2a＋b＞0 其中正确结论的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 8．若等边△ABC 的边长为 6cm 长，内切圆 O 分别切三边于 D、E、F，则阴影部分的面积是 ( )． A．π B． π C． π D． π 2 1 12 5 3 1 12 1 2 3 4 1 3 第Ⅱ卷(非机读卷 共 88 分) 二、填空题(本题共 16 分，每小题 4 分) 9．Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 sinA＝ ，则 cosA＝________． 10．为了解九年级学生的体能情况，随机抽查了 30 名学生，测试了 1 分钟仰卧起坐的次数， 并绘制成右图所示的频数分布直方图，根据图示，估计九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次 数在 25—30 次的频率是________． 11．对于符号*作如下定义：对所有的正数 a 和 b，a*b＝ ．那么 10*2＝________． 12．直线上现有 n 个点，我们在每相邻两点间插入一个点，记作一次操作，经过 10 次操作 后，直线上共有________个点． 三、解答题(本题共 30 分，每小题 5 分) 13．已知关于 x 的方程 x2＋3x＝8－m 有两个不相等的实数根． (1)求 m 的最大整数是多少? (2)将(1)中求出的 m 值，代入方程 x2＋3x＝8－m 中解出 x 的值． 14．边防战士在海拔高度为 50 米(即 CD 的长)的小岛顶部 D 处执行任务，上午 8 点，发现 在海面上的 A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为 30°，该船沿着 AC 方向航行一段时间后 到达 B 处，又测得该船的俯角为 45°，求该船在这一段时间内的航程． 15．解方程： ． 16．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝62°，∠D＝25°．求∠DBE 的度数． 13 5 ba ab + x x x x 2211 +=++ 17．对于二次三项式 x2＋10x＋46，小明作出如下结论：无论 x 取任何实数，它的值都不可 能小于 21．你同意他的说法吗?说明你的理由． 18．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线 AC，BD 相交 于点 F，过 F 作 EF∥AB，交 AD 于 E． (1)求证：梯形 ABFE 是等腰梯形； (2)若△DCF 的面积是 12，求梯形 ABCD 的面积． 四、解答题(本题共 20 分，每小题 5 分) 19．如图，⊙O 中有直径 AB、EF 和弦 BC，且 BC 和 EF 交于点 D．点 D 是弦 BC 的中点， CD＝4．DF＝8． (1)求⊙O 的半径 R 及线段 AD 的长； (2)求 sin∠DAO 的值． 20．某火车货运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排一列挂有 A、B 两种不同 规格的货车厢 50 节的货车将这批货物运往灾区．已知一节 A 型货车厢可用 35 吨甲种货物 和 15 吨乙种货物装满，运费为 0.5 万元；一节 B 型货车厢可用 25 吨甲种货物和 35 吨乙种 货物装满，运费为 0.8 万元． 设运输这批货物的总运费为 w 万元，用 A 型货车厢的节数为 x 节． (1)用含 x 的代数式表示 w； (2)有几种运输方案； (3)采用哪种方案总运费最少，总运费最少是多少万元? 21．公司销售部有销售人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人 某月的销售量如下： 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这 15 位营销人员销售量的平均数、中位数、众数(直接写出结果，不要求过程)； (2)假设销售部把每位销售人员的月销售定额规定为 320 件，你认为是否合理，为什么? 如果不合理，请你从表中选一个较合理的销售定额，并说明理由． 22．如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的 A 点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行．吃到 上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物(π 的近似值取 3，以下同)． (1)当圆柱的高 h＝12 厘米，底面半径 r＝3 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少； (2)当圆柱的高 h＝3 厘米，底面半径 r＝3 厘米时，蚂蚁沿侧面爬行也可沿 AC 到上底面 爬行时最短路程是多少； (3)探究：当圆柱的高为 h，圆柱底面半径为 r 时，蚂蚁怎样爬行的路程最短，路程最短 为多少? 五、解答题(本题共 22 分，第 23 题 6 分，第 24 题 8 分，第 25 题 8 分) 23．已知，□ABCD 的周长为 52，自顶点 D 作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是 E、F．若 DE ＝5，DF＝8， 求□ABCD 的两边 AB、BC 长和 BE＋BF 的长． 24．如图，在直角坐标系内有点 P(1，1)、点 C(1，3)和二次函数 y＝－x2． (1)若二次函数 y＝－x2 的图象经过平移后以 C 为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式 及一种平移的方法； (2)若(1)中平移后的抛物线与 x 轴交于点 A、点 B(A 点在 B 点的左侧)， 求 cos∠PBO 的值； (3)在抛物线上是否存在一点 D，使线段 OC 与 PD 互相平分?若存在，求出 D 点的坐标； 若不存在，说明理由。 25．我们给出如下定义：如图 1，平面内两直线 l1、l2 相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，若 p、q 分别是点 M 到直线 l1 和 l2 的距离(p≥0，q≥0)，称有序非负实数对[p，q]是点 M 的距离坐标． 图 1 根据上述定义请解答下列问题： 如图 2，平面直角坐标系 xoy 中，直线 l1 的解析式为 y＝x，直线 l2 的解析式为 y＝ x， M 是平面直角坐标系内的点． (1)若 p＝q＝0，求距离坐标为[0，0]时，点 M 的坐标； (2)若 q＝0，且 p＋q＝m(m＞0)，利用图 2，在第一象限内，求距离坐标为[p，q]时，点 M 的坐标； (3)若 p＝1，q＝ ，则坐标平面内距离坐标为[p，q]的时候，点 M 可以有几个位置?并 用三角尺在图 3 中画出符合条件的点 M(简要说明画法)． 图 2 图 3 2 1 2 1 北京市西城 2007 年抽样测试 初三数学评分标准及参考答案 2007．6 一、选择题(共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C A D B A 二、填空题(共 16 分，每小题 4 分) 9． ； 10．0.4 11． ； 12．210n－(210－1)． 三、解答题(本题共 30 分，每小题 5 分) 13．解： (1)由于方程 x＋3x－8＋m＝0 有两个不相等的实数根， 所以，b2－4ac＝32－4×1×(－8＋m)＝－4m＋41＞0，有 m ． 故 m 的最大整数是 10． (2)当 m＝10 时，原方程是 x＋3x＋2＝0，解得 x＝－2，x＝－1． 所以，当 m＝10 时，原方程的根是 x1＝－1，x2＝－2． 14．解：依题意∠EDA＝30°，∠EDB＝45°，CD＝50 米． 因为，DE∥CA，CD⊥CA 所以，∠DAC＝30°，∠DBC＝45°．……………………………………………2 分 因为 AC＝ ＝50 米，BC＝DC＝50 米．……………………………4 分 所以，该船在这一段时间内的航程 AB 是(50 －50)米． 答：该船在这一段时间内的航程(50 －50)米．………………………………5 分 15．解：方程两边同乘以 x(x＋1)，得 x2＋x(x＋1)＝(2x＋2)(x＋1)．……………………………………………………2 分 整理，得 3x＝－2． 解出，x＝ ． 检验：当 时，x(x＋1)≠0，所以 是原分式方程的解．…5 分 16．解：∵OA＝OB，OC＝OD，∠O＝∠O， 13 12 3 5 4 41< °30tan DC 3 3 3 3 2− 3 2−=x 3 2−=x ∴△OAD≌△OBC. ………………………………………………………………2 分 ∴∠C＝∠D＝25°. ∵∠DBE＝∠O＋∠C, ……………………………………………………………4 分 ∵∠DBE＝62°＋25°＝87°. ………………………………………………………5 分 17．解：同意．………………………………………………………………………………1 分 因为 x＋10x＋46＝x＋10x＋25＋21＝(x＋5)2＋21．……………………………3 分 由于对于任意实数 x 都有(x＋5)2≥0，……………………………………………4 分 所以(x＋5)2＋21≥21． 即无论 x 取任何实数，x＋10x＋46 都不能小于 21．……………………………5 分 18．解：(1)过 D 作 DG⊥AB，交 AB 于 G． 在直角梯形 ABCD 中，∠BCD＝∠ABC＝90°． ∵∠DGB＝90°， ∴四边形 DGBC 是矩形． ∴DC＝GB． ∴AB＝2DC， ∴AB＝2GB， ∴AG＝GB． ∴DA＝DB． ∴∠DBA＝∠DAB． ∵EF∥AB，AE 与 BF 相交于点 D ∵四边形 EABF 是梯形． ∵∠DBA＝∠DAB． ∴四边形 ABFE 是等腰梯形．…………………………………………………3 分 (2)∵AB∥DC， ∴∠FAB＝∠FCD． ∵∠AFB＝∠DFC， ∴△AFB∽△CFD． ∵AB＝2DC，S△CFD＝12， ∴S△AFB＝48．……………………………………………………………………4 分 ，有 ，有 S△ADF＝24． 同理，S△CFB＝24． ∴梯形 ABCD 的面积＝12＋48＋24＋24＝108．………………………………5 分 四、解答题(本题共 20 分，每小题 5 分) 19．解：(1)∵D 是 BC 的中点，EF 是直径， ∴CB⊥EF 且 BD＝CD＝4．……………………………………………………1 分 ∵DF＝8，∴OD＝8－R ∵OB2－OD2＝DB2， ∴R2－(8－R)2＝42 2 1== AB DC AF FC  2 1= ∆ ∆ ADF DCF S S ∴R＝5．……………………………………………………………………………2 分 连续 AC，过 D 作 DH⊥AB 交 AB 于 H. ∵AB 是直径， ∴ACB＝90°． ∵CB＝2CD＝8，AB＝10， ∴AC＝6． ∴∠ACD＝90°，AC＝6，CD＝4， ∴AD＝2 ．……………………………………………………………………3 分 (2)∵Rt△DHB 中，DH＝DB·sin∠DBH＝ ，………………………4 分 ……………………………………………………5 分 20．(1)w＝0.5x＋(50－x)×0.8＝40－0.3x．………………………………………………1 分 (2) 解得，28≤x≤30．……………………………………………………………………2 分 ∵x 为正整数，∴x 取 28、29、30． ∴有三种运输方案．……………………………………………………………………3 分 (3)x 取 28、29、30 时，w＝40－0.3x，且 k＝－0.3＜0． ∴w 随 x 的增大而减少，故当 x＝30 时 w 最少． ∴当 A 型货车厢为 30 节，B 型货车厢为 20 节时，所需总运费是多少，最少总运费为 31 万元．……………………………………………………………………………5 分 21．(1)平方数是 320．………………………………………………………………………1 分 中位数是 210．…………………………………………………………………………2 分 众数是 210．……………………………………………………………………………3 分 (2)不合理．………………………………………………………………………………4 分 因为 15 人中有 13 人销售额达不到 320，销售额定为 210 较合适，因为 210 是众数也 是中位数．………………………………………………………………………………5 分 22．(1)当蚂蚁沿侧面爬行，其展开图如右图，AB 路程最短． AB＝ 13 5 12 5 34 =× ⋅==∠∴ 65 136sin AD DHDAO    ≥−×+ ≥−×+ .1150)50(3515 ,1530)50(2535 xx xx 已知 n 取 3，所以 AC＝12， ＝3π≈9， 所以 AB＝15，…………………………………………………………………………1 分 (2)当蚂蚁沿侧面爬行同(1)的方法： ∵AC＝3， ＝3π≈9，∴AB＝ ＝3 ． 当蚂蚁沿 AC 到上底面，再沿直径 CB 爬行，有 AC＋BC＝3＋6＝9． 因为 ＞9，所以最短路程是经 AC 到上底面， 再沿直径 CB 爬行的总路程为 9．……………………………………………………3 分 (3)在侧面，沿 AB 爬行时，S1＝ ，沿 AC 再经过直径 CB 时， S2＝h＋2r． 当 S1＝S2 时， ． 整理，得 4h＝(π－4)r，由于 π 取，所以 4h≈5r．…………………………………4 分 当 时，两种爬行路程一样． 当 S1＞S2 时， ，整理，得 4h＜(π2－4)r 当 π 取 3 时，有 h＜ ，所以当 h＜ 时，沿 AC 再经过直径 CB 到点 B 时所走路 程最短． 同理，当 h＞ 时，沿侧面 AB 走路程最短．……………………………………5 分 当 h＜ r 时，沿 AC 到 CB 走路程最短为 h＋2r． 当 h＜ r 时，沿侧面 AB 走或沿 AC 到 CB 走路程一样长为 或 h＋2r． 当 h＜ r 时，沿侧面 AB 走路程最短为 ． 当 h＜ r 时，沿 AC 到 CB 走路程最短为 h＋2r． 五、解答题(本题共 22 分，第 23 题 6 分，第 24 题 8 分，第 25 题 8 分) 23．解：对于平行四边形 ABCD 有两种情况： 图 1 (1)当∠A 为锐角时，如图 1，设 AB＝a，BC＝b， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴AB×DE＝BC×DF． 又∵DE＝5，DF＝8，∴5a＝8b．…………………………………………………(1) ∴2(a＋b) ＝52，∴a＋b＝26．…………………………………………………(2) 90 10 90 222 π rh + rhrh 2π 222 +=+ rh 4 5≈ rhrh 2π 222 +>+ r4 5 r4 5 r4 5 4 5 4 5 22 9rh + 4 5 22 9rh + 4 5 解(1)、(2)组成的方程组，得 a＝16，b＝10． 即 ∴AB＝CD＝16，AD＝BC＝10， ∴在 Rt△ADE 中， BE＝AB－AE＝16－5 ．………………………………………………………3 分 ∴在 Rt△DFC 中， ∵F 点在 CB 的延长线上， ∴BF＝CF－BC＝8 －10． ∴BE＋BF＝(16－5 )＋(8 －10)＝6＋3 ．…………………………4 分 图 2 (2)当∠D 为锐角时，如图 2………………………………………………………5 分 由(1)同理可得， AB＝16，BC＝10，AE＝5 ，CF＝8 ． ∴BE＝BA＋AE＝16＋5 ， BF＝BC＋CF＝10＋8 ， ∴BE＋BF＝(16＋5 )＋(10＋8 ) ＝26＋13 .…………………………………………………………………6 分 24．解(1)平移后以 C 为顶点的点抛物线解析式为 y＝－(x－1)2＋3，所以一种移动方式是 将 y＝－x2 向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度．    = = .10 ,16 b a    = = .10 ,16 BC AB .35510 2222 =−=−= DEADAE 3 .38816 2222 =−=−= DFDCCF 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (2)由(1)知移动后的抛物线解析式为 y＝－(x－1)2＋3＝x2＋2x＋2． 令－x2＋2x＋2＝0，解出 x1＝1－ x2＝1＋ . 连续 PB，由 P 作 PM⊥x 轴， ∴BM＝ ，PM＝1．有 PB＝2． ………………………………………………………………4 分 (3)存在这样的点 D．理由如下：欲使 OC 与 PD 互相平分， 只要使四边形 OPCD 为平行四边形， 由题设知，PC∥OD，………………………………………………………………6 分 又 PC＝2，PC∥y 轴，∴点 D 在 y 轴上， ∴OD＝2，即 D(0，2)． 又点 D(0，2)在抛物线 y＝－x2＋2x＋2 上，故存在点 D(0，2)，即 OD 与 PC 平行 且相等，使线段 OC 与 PD 相互平分．……………………………………………8 分 25．解：(1)若 p＝q＝0，即距离坐标为[0，0]时，点 M 是直线 l1 与 l2 的交点，所以点 M 的 坐标是 M(0，0)．…………………………………………………………………2 分 (2)∵q＝0，∴点 M 在直线 l2∶y＝ 上． 过点 M 作 MC⊥l1 于点 C，CB⊥x 轴于点 B， 3 3 3 ⋅=∠∴ 2 3cos PBO x2 1 过点 M 作 NA⊥x 轴于点 A，交 l1 于点 N．……………………………………3 分 由题设知，q＝0，p＋q＝m，有 p＝m(m＞0)，即 MC＝m． ∵N 点在直线 l1，M 点在直线 l2 上，设 N(x，x)，M(x， )，其中 x＞0． 因为 Rt△CMN 是等腰直角三角形，所以 MN＝ m．………………………5 分 ∵AN＝OA，即 ＋ m＝x，有 x＝2 m． ∴M(2 m， m)．……………………………………………………………6 分 (3)点 M 有四个位置，画法如图所示，……………………………………………7 分 作 EF∥l1 E1F1∥l1，使其间距离为 1． 作 GH∥l2 G1H1∥l2，使其间距离为 ． 四条直线有四个交点 M1、M2、M3、M4．………………………………………………………………8 分 x2 1 2 x2 1 2 2 2 2 2 1