北师大版九年级上册数学期中测试题附答案

北师大版九年级上册数学期中测试题附答案

北师大版九年级上册数学期中测试题附答案 ‎(满分：120分　　　考试时间：120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．下列对方程2x2－7x－1＝0的变形，正确的是(　B　)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎2．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　B　)‎ A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 第2题图第5题图第6题图 ‎3．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　A　)‎ A．－1 B．1‎ C．－2或2 D．－3或1‎ ‎4．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是(　B　)‎ A. B. C. D. ‎5．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于(　C　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且BE＝AB，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H，以下四个结论：①FG＝EH；②△DFE是直角三角形；③FG＝DE；④DE＝EB＋BC.其中正确结论的个数是(　D　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．方程(3x－1)(2x＋4)＝2化为一般形式是__3x2＋5x－3＝0__，其中二次项系数为__3__，一次项系数为__5__．‎ ‎8．今年某市中考增加了体育测试科目，考生考试顺序和考试项目(考生从考试的各个项目中抽取一项作为考试项目)由抽签的方式决定，具体操作流程：①每位考生从写有A，B，C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组别；②再从写有“引体向上”“立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试，则考生小明抽到A组“引体向上”的概率是．‎ ‎9．某学校准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30 cm、宽20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，则列方程并整理成一般形式为__x2＋25x－150＝0__．‎ ‎10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 17 .‎ 第10题图第11题图第12题图　　　‎ ‎11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为(2＋，)．‎ ‎12．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点，‎ ‎∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP＝ 2或1 cm.‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．解下列方程：‎ ‎(1)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)；‎ 解：x1＝－2，x2＝3.‎ ‎(2)x(2x－4)＝5－8x.‎ 解：x1＝－1＋，‎ x2＝－1－.‎ ‎14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．‎ 证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.‎ ‎∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．‎ ‎15.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年(1524年)，王文素著，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？”‎ 译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽是多少步？请你解决这个问题．‎ 解：设矩形长为x步，宽为(x－12)步，依题意得x(x－12)＝864，即x2－12x－864＝0，解得x1＝36，x2＝－24(舍)．∴x－12＝24.‎ 答：该矩形长为36步，宽为24步．‎ ‎16．如图是由相同的小正方形组成的网格，A，B两点都在小正方形的顶点上．现请你在图①，图②中各画一个以A，B，C，D为顶点的菱形．要求：(1)顶点C，D在小正方形的顶点上；(2)工具只有无刻度的直尺；(3)所画的两个菱形不全等．‎ 解：答案不唯一，可参考图①、图②.‎ ‎17．(2018·曲靖)数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段(如图)，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．‎ ‎(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；‎ ‎(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．‎ 解：(1)‎ ‎∴共有12种情况．‎ ‎(2)∵A，B卡片不能构成三角形；C，D卡片可以构成三角形，‎ ‎∴同时构成三角形的情况需抽到C，D，∴P＝.‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O.‎ ‎(1)求证：OA＝OC；‎ ‎(2)过O点作OE⊥AC交AB于E点，连接CE，求证：四边形OAEC是菱形．‎ 证明：(1)∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC＝∠B′AC.‎ ‎∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC；‎ ‎(2)∵∠BAC＝∠B′AC，OE⊥AC，∴AC垂直平分OE.∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴AC与OE互相垂直平分，∴四边形OAEC是菱形．‎ ‎19．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G.‎ 求证：(1)四边形CFEG是矩形；‎ ‎(2)AE＝FG.‎ 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°，∴四边形EFCG为矩形；‎ ‎(2)连接EC.∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.又∵‎ BD为正方形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中， ‎∴△ABE≌△CBE(SAS)．∴AE＝EC，∴AE＝FG.‎ ‎20．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．‎ ‎(1)求平均每次下调的百分率；‎ ‎(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：‎ 方案一：打九折销售；‎ 方案二：不打折，每吨优惠现金200元．‎ 试问小华选择哪种方案更优惠，并说明理由．‎ 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，依题意得5(1－x)2‎ ‎＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8(舍去)，即平均每次下调的百分率是20%；‎ ‎(2)小华选择方案一购买更优惠，‎ 方案一所需要费用为3.2×0.9×5 000＝14 400 元，‎ 方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000 元，‎ ‎∵14 400<15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．已知关于x的方程(m－1)x2－x－2＝0.‎ ‎(1)若x＝－1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；‎ ‎(2)当m为何实数时，方程有两个实数根？‎ ‎(3)若x1，x2是方程的两个根，且xx2＋x1x＝－，试求实数m的值．‎ 解：(1)∵x＝－1是方程的一个根，∴m－1＋1－2＝0，则m＝2.∴原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴m＝2，方程的另一根是x＝2；‎ ‎(2)依题意得Δ＝1＋8(m－1)＝8m－7≥0，∴m≥.又m－1‎ ‎≠0，∴m≠1.故当m≥且m≠1时，方程有两个实数根；‎ ‎(3)xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝·＝－，整理得(m－1)2＝16，∴m1＝5，m2＝－3.又m≥，∴m＝5.‎ ‎22．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．‎ ‎(1)求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．‎ 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO＝CO.‎ 又∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴EO⊥AC，即DB⊥AC，‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形；‎ ‎(2)∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴∠AEC＝60°.‎ ‎∵EO⊥AC，∴∠AEO＝30°.‎ ‎∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，‎ ‎∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.‎ ‎∵AC⊥BD，∴AO＝OD.‎ 又∵AO＝AC，OD＝BD，∴AC＝BD.‎ 又∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形．‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．(2018·襄阳)如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.‎ ‎(1)证明与推断：‎ ‎①求证：四边形CEGF是正方形；‎ ‎②推断：的值为________．‎ ‎(2)探究与证明：‎ 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎(3)拓展与运用：‎ 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2，则BC＝________．‎ 解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.‎ ‎∵GE⊥BC，GF⊥CD，‎ ‎∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，‎ ‎∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.‎ ‎∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．‎ ‎② ‎(2)连接CG，由旋转的性质可知∠BCE＝∠ACG＝α.‎ 在Rt△CEG和Rt△CBA中，‎ ＝，‎ ＝，∴＝＝，‎ ‎∴△ACG∽△BCE.∴＝＝，‎ ‎∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE.‎ ‎(3)3