中考数学全程复习方略第二讲整式课件

中考数学全程复习方略第二讲整式课件

第二讲　 整　　式 考点一　列代数式及求代数式的值 【 主干必备 】 1. 代数式 : 用基本运算符号 ( 基本运算包括加、减、 乘、除、乘方和开方 ) 把数或表示数的 _________ 连接 起来的式子 , 叫做代数式 .  字母 2. 求代数式的值 : 用 ___________ 代替字母 , 并按照运算 关系求出结果  数值 【 微点警示 】 书写代数式的三个注意点 (1) 数与字母相乘 , 字母与字母相乘 , 乘号省 略 且数字在前字母在后 , 带分数化为假分数 . (2) 除号通常改为分数线 . (3) 和或差的形式 , 有带单位的代数式要用括号括起来后再写上单位 . 【 核心突破 】 【 例 1】 (1)(2018· 安徽中考 ) 据省统计局发布 ,2017 年 我省有效发明专利数比 2016 年增长 22.1%, 假定 2018 年 的年增长率保持不变 ,2016 年和 2018 年我省有效发明专 利分别为 a 万件和 b 万件 , 则 ( 　 　 ) B A.b=(1+22.1%×2)a 　　　　 B.b=(1+22.1%) 2 a C.b=(1+22.1%)×2a D.b=22.1%×2a (2)(2019· 广东中考 ) 已知 x=2y+3, 则代数式 4x-8y+9 的 值是 _________.  21 【 明 · 技法 】 整体代入法求代数式值的三种方法 (1) 直接整体代入求值 : 如果已知的代数式与要求的代数式之间都含有相同的式子 , 只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中 , 即可得出结果 . (2) 把已知式子变形后再整体代入求值 : 如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍数关系 , 各字母的项的系数对应成比例 , 就可以把这一部分看作一个整体 , 再把要求值的代数式变形后整体代入计算求值 . (3) 把所求式子和已知式子都变形 , 再整体代入求值 : 将已知条件和所求的代数式同时变形 , 使它们含有相同的式子 , 再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数式 , 计算得出结果 . 【 题组过关 】 1.(2019· 广州荔湾区期末 ) 学校新建教学大楼拟用不 锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形 的窗户 , 相关数据 ( 单位 : 米 ) 如图所示 , 那么制造这个窗 户所需不锈钢的总长是 ( 　 　 ) D A.(4a+2b) 米 B.(a 2 +ab) 米 C.(6a+2b) 米 D.(5a+2b) 米 2.( 传统数学文化 ) 历史上 , 数学家欧拉最先把关于 x 的 多项式用记号 f(x) 来表示 , 把 x 等于某数 a 时的多项式的 值用 f(a) 来表示 , 例如 x=-1 时 , 多项式 f(x)=x 2 +3x-5 的 值记为 f(-1), 那么 f(-1) 等于 ( 　 　 ) 　　　　 A.-7 B.-9 C.-3 D.-1 A 3.(2019· 武汉期中 ) 张大伯从报社以每份 0.7 元的价格 购进了 a 份报纸 , 以每份 1.5 元的价格售出了 b 份报纸 , 剩 余的以每份 0.4 元的价格退回报社 , 则张大伯卖报盈利 ____________ 元 .  (1.1b-0.3a) 4.(2019· 广州三模 ) 已知 a 2 +a-3=0, 那么 a 2 (a+4) 的值 是 ________. 世纪金榜导学号  9 考点二　整式的相关概念及整式加减 【 主干必备 】 一、整式的相关概念 2. 同类项 : 所含字母 _____, 且相同字母指数也 _____ 的 单项式 .  相同 相同 二、整式的加减 1. 合并同类项 : 把多项式中的同类项合并成一项 , 叫做 合并同类项 , 所得项的系数是合并前各同类项的系数的 _________, 且字母连同它的指数不变 .  和 2. 去、添括号法则 : (1) 去括号法则 :a+(b+c)=a+__________,  a-(b+c)=a-__________.  (2) 添括号法则 :a+b+c=a+(__________),  a-b-c=a-(__________).  b+c b-c b+c b+c 【 微点警示 】 同类项的判断要抓住两个相同 : 一是所含字母相同 ; 二是相同字母的指数相同 , 与系数的大小和字母的顺序无关 . 所有的常数项是同类项 . 【 核心突破 】 【 例 2】【 原型题 】 (2018· 包头中考 ) 如果 2x a+1 y 与 x 2 y b-1 是同类项 , 那么 的值是 ( 　 　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.1 D.3 A 【 变形题 1】 ( 变换说法 ) 如果 2x a+1 y 与 x 2 y b-1 的和仍是单 项式 , 那么 的值是 ( 　 　 ) A. B. C.1 D.3 A 【 变形题 2】 ( 变换说法 ) 如果单项式 2x a+1 y 与 x 2 y b-1 可以 合并 , 那么 的值是 ( 　 　 ) A. B. C.1 D.3 A 【 明 · 技法 】 整式加减的步骤及注意问题 (1) 一般步骤 : 先去括号 , 再合并同类项 . (2) 注意问题 : 去括号时要注意两个方面 : ① 括号前有数字因数时 , 去掉括号 , 因数要乘以括号内的每一项 ; ② 括号前面是负号时 , 去掉括号 , 括号内的每一项都要改变符号 . 【 题组过关 】 1.(2019· 滨州中考 ) 若 8x m y 与 6x 3 y n 的和是单项式 , 则 (m+n) 3 的平方根为 ( 　 　 ) A.4 　　　 B.8 　　　 C.±4 　　　 D.±8 D 2.(2019· 绵阳中考 ) 单项式 x -|a-1| y 与 是同类 项 , 则 a b =________. 世纪金榜导学号  1 3.(2019· 昆明期末 ) 先化简 , 再求值 :-2(-x 2 +5+4x)-(2x 2 -4-5x), 其中 x=-2. 【 解析 】 -2(-x 2 +5+4x)-(2x 2 -4-5x) =2x 2 -10-8x-2x 2 +4+5x =-3x-6, 当 x=-2 时 , 原式 =6-6=0. 考点三　幂的运算 【 主干必备 】 幂的 运算 同底数幂的乘法 a m ·a n =_____ 注意 :a≠0, b≠0, 且 m,n 都为正整数 幂的乘方 (a m ) n =____ 积的乘方 (ab) n =______ 同底数幂的除法 a m ÷a n =_____ a m+n a mn a n b n a m-n   【 微点警示 】 运用幂的运算性质进行计算需注意的两个问题 : (1) 注意不要出现符号错误 ,(-a) n =-a n (n 为奇数 ),(-a) n =a n (n 为偶数 ). (2) 要灵活运用性质的逆运算 , 如已知 3 m =4,2 n =3, 则 9 m ·8 n =(3 m ) 2 ·(2 n ) 3 =432. 【 核心突破 】 【 例 3】 (1)(2019· 盐城中考 ) 下列运算正确的是 ( 　 　 ) A.a 5 ·a 2 =a 10 　　　　 B.a 3 ÷a=a 2 C.2a+a=2a 2 D.(a 2 ) 3 =a 5 B (2)(2019· 绵阳中考 ) 已知 4 m =a,8 n =b, 其中 m,n 为正整 数 , 则 2 2m+6n = ( 　 　 ) A.ab 2 B.a+b 2 C.a 2 b 3 D.a 2 +b 3 A 【 明 · 技法 】 幂的运算的应用 (1) 同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同 , 若底数互为相反数时 , 要应用积的乘方处理好符号问题 , 转化成同底数 , 再应用法则 . (2) 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面 : 一是运算顺序 , 二是正确选择法则 , 三是运算符号 . 【 题组过关 】 1.(2019· 安徽模拟 ) 下列运算正确的是 ( 　 　 ) A.-(x-y) 2 =-x 2 -2xy-y 2 　　　 B.a 2 +a 2 =a 4 C.a 2 ·a 3 =a 6 D.(xy 2 ) 2 =x 2 y 4 D 2. 计算 :(-x 2 ) 3 ÷(x 2 ·x)=___.  3.(2019· 重庆忠县期中 ) 已知 (a n b m+4 ) 3 =a 9 b 6 , 则 m n = ___. 世纪金榜导学号  -x 3 -8 考点四　整式的乘除 【 主干必备 】 整式的 乘法 单项式 与单项 式相乘 把它们的 _____ 、相同字母分别相 乘 , 对于只在一个单项式里含有的 字母 , 则连同它的 _____ 作为积的一 个因式  系数 指数 整式的 乘法 单项式与 多项式 相乘 用单项式去乘多项式的每一项 , 再把所得的积 _____,  即 m(a+b+c)=_________ 多项式与 多项式 相乘 先用一个多项式的每一项乘另 一个多项式的 _______, 再把所 得的积 _____, 即 (m+n)(a+b)= ____________ 相加 ma+mb+mc 每一项 相加 ma+mb+na+nb 整式的 除法 单项式 除以 单项式 把 _____ 与相同字母分别相除 , 作为商的因式 , 对于只在被除式 里含有的字母 , 则连同它的 ___ ___ 作为商的一个因式  多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别 除以这个单项式 , 然后把所得的 商 _____.  系数 指 数 相加 【 微点警示 】 多项式的乘法运算需注意的三点 : (1) 避免漏乘常数项 . (2) 避免符号错误 . (3) 展开式中有同类项的一定要合并 . 【 核心突破 】 【 例 4】 (1)(2018· 武汉中考 ) 计算 (a-2)(a+3) 的结果 是 ( 　 　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a 2 -6 B.a 2 +a-6 C.a 2 +6 D.a 2 -a+6 B (2)(2019· 甘肃中考 ) 计算 (-2a) 2 ·a 4 的结果是 ( 　 　 ) A.-4a 6 　　　 B.4a 6 　　　 C.-2a 6 　　　 D.-4a 8 B 【 明 · 技法 】 整式乘法运算中的几点注意 (1) 单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单项式乘单项式 , 再把所得的积相加 . (2) 在运算时 , 要注意每一项的符号 . (3) 单项式乘多项式 , 积的项数与多项式的项数一样 . (4) 不要漏乘多项式中的项 , 特别是多项式中含有 +1 或 -1 的项 . 【 题组过关 】 1.(2019· 哈尔滨香坊区月考 ) 下列运算正确的是 ( 　 　 ) A.3x 3 ·5x 2 =15x 6 B.4y·(-2xy 2 )=-8xy 3 B C.(-3x) 2 ·4x 3 =-12x 5 D.(-2a) 3 ·(-3a) 2 =-54a 5 2.(2019· 青岛中考 ) 计算 (-2m) 2 ·(-m·m 2 +3m 3 ) 的结果 是 ( 　 　 ) A.8m 5 B.-8m 5 C.8m 6 D.-4m 4 +12m 5 A 3.( 新定义运算题 ) 随着数学学习的深入 , 数系不断扩充 , 引入新数 i, 规定 i 2 =-1, 并且新数 i 满足交换律、结合律 和分配律 , 则 (1+i)·(2-i) 的运算结果是 ( 　 　 ) 世纪金榜导学号 A.3-i B.2+i C.1-i D.3+i D 4.(2019· 长春南关区期中 ) 若 x+y=xy, 则 (x-1)(y-1)= ________.  5. (2019· 沈阳市铁西区模拟 ) 计算 :(6x 4 -8x 3 )÷ (-2x 2 )=________. 世纪金榜导学号  1 -3x 2 +4x 考点五　乘法公式的应用 【 主干必备 】 1. 平方差公式 :(a+b)(a-b)=___________.  2. 完全平方公式 :(a±b) 2 =________________.  a 2 -b 2 a 2 ±2ab+b 2 【 微点警示 】 运用完全平方公式常出现的易错点 :(a±b) 2 =a 2 ±b 2 . 【 核心突破 】 【 例 5】 (2018· 乐山中考 ) 已知实数 a,b 满足 a+b=2, ab= 则 a-b= ( 　 　 ) 　　 A.1 B.- C.±1 D.± C 【 明 · 技法 】 乘法公式常用变形技巧 (1)(a+b) 2 =(a 2 +b 2 )+2ab, (a-b) 2 =(a 2 +b 2 )-2ab. (2)(a+b) 2 =(a-b) 2 +4ab, (a-b) 2 =(a+b) 2 -4ab. (3)a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab, a 2 +b 2 =(a-b) 2 +2ab,a 2 +b 2 = (4)4ab=(a+b) 2 -(a-b) 2 . (5)(a-b) 2 =(b-a) 2 ,(a-b) 3 =-(b-a) 3 . 【 题组过关 】 1. 如果 a+b=7,ab=12, 那么 a 2 +b 2 的值是 ( 　 　 ) A.11 B.49 C.25 D.61 C 2.(2019· 枣庄中考 ) 若 m- =3, 则 m 2 + =_______.  3.(2019· 资阳安岳期末 ) 计算 :2 018 2 -2 019×2 017= ________.  11 1 4.( 阅读理解题 ) 某同学在计算 3(4+1)(4 2 +1) 时 , 把 3 写 成 (4-1) 后 , 发现可以连续运用平方差公式计算 : 3(4+1)(4 2 +1)=(4-1)(4+1)(4 2 +1)=(4 2 -1)(4 2 +1)= (4 2 ) 2 -1 2 =256-1=255. 请借鉴该同学的方法计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)…(2 2 048 +1)=___________. 世纪金榜导学号  2 4 096 -1 考点六　整式化简及求值 【 核心突破 】 【 例 6】 (2018· 邵阳中考 ) 先化简 , 再求值 :(a-2b)(a+ 2b)-(a-2b) 2 +8b 2 , 其中 a=-2,b= 【 思路点拨 】 原式利用平方差公式 , 以及完全平方公式化简 , 去括号合并得到最简结果 , 把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 【 自主解答 】 原式 =a 2 -4b 2 -a 2 +4ab-4b 2 +8b 2 =4ab, 当 a= -2,b= 时 , 原式 =-4. 【 明 · 技法 】 整式化简求值的注意问题 整式的化简求值 , 通常涉及单项式乘单项式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加减等 , 在运算过程中 , 要正确运用乘法法则、去括号法则及乘法公式 , 不要出现类似 (x-y) 2 =x 2 -y 2 的错误 . 【 题组过关 】 1.(2019· 广饶模拟 ) 已知 x 满足 x 2 -4x-2=0, 求 (2x-3) 2 -(x+y)(x-y)-y 2 的值 . 【 解析 】 原式 =4x 2 -12x+9-x 2 +y 2 -y 2 =3x 2 -12x+9, ∵x 2 -4x-2=0,∴x 2 -4x=2, ∴ 原式 =3(x 2 -4x)+9 =3×2+9 =6+9 =15. 2.(2019· 凉山州中考 ) 先化简 , 再求值 :(a+3) 2 - (a+1)(a-1)-2(2a+4), 其中 a=- 【 解析 】 原式 =a 2 +6a+9-(a 2 -1)-4a-8=2a+2, 将 a=- 代入原式 =2× +2=1. 3.(2019· 南阳淅川期中 ) 先化简 , 再求值 :[(x-y) 2 -(x+y) 2 +y(2x-y)]÷(-2y), 其中 2x+y=4. 【 解析 】 原式 =(x 2 -2xy+y 2 -x 2 -2xy-y 2 +2xy-y 2 )÷ (-2y)=(-2xy-y 2 )÷(-2y) =x+ y, ∵2x+y=4,∴x+ y=2,∴ 原式 =2. 4. 先化简 , 再求值 : 当 |x-2|+(y+1) 2 =0 时 , 求 [(3x+ 2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)]÷4x 的值 . 世纪金榜导学号 【 解析 】 ∵|x-2|+(y+1) 2 =0, ∴x-2=0,y+1=0, 解得 x=2,y=-1, ∴[(3x+2y)(3x-2y)+(2y+x)(2y-3x)]÷4x =(9x 2 -4y 2 +4y 2 -6xy+2xy-3x 2 )÷4x =(6x 2 -4xy)÷4x=1.5x-y, 当 x=2,y=-1 时 , 原式 =1.5×2-(-1)=3+1=4.