中考数学全程复习方略第十四讲二次函数的应用课件
第十四讲
二次函数的应用
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题
【
主干必备
】
应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路
1.
结合题意
,
建立恰当的平面直角坐标系
.
2.
数形结合
,
根据题中所给的数据转化为点的坐标
.
3.
求出抛物线解析式
,
应用二次函数性质或点的坐标的意义解决问题
.
【
核心突破
】
例
1(2018·
衢州中考
)
某游乐园有一个直径为
16
米的圆形
喷水池
,
喷水池的周边有一圈喷水头
,
喷出的水柱为抛
物线
,
在距水池中心
3
米处达到最高
,
高度为
5
米
,
且各方
向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合
.
如图
所示
,
以水平方向为
x
轴
,
喷水池中心为原点建立直角坐
标系
.
(1)
求水柱所在抛物线
(
第一象限部分
)
的函数解析式
.
(2)
王师傅在喷水池内维修设备期间
,
喷水管意外喷水
,
为了不被淋湿
,
身高
1.8
米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
?
(3)
经检修评估
,
游乐园决定对喷水设施做如下设计改进
:
在喷出水柱的形状不变的前提下
,
把水池的直径扩大到
32
米
,
各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物
(
高度不变
)
处汇合
,
请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度
.
【
思路点拨
】
(1)
根据顶点坐标可设二次函数的顶点式
,
代入点
(8,0),
求出系数的值
,
此题得解
.
(2)
利用二次函数图象上点的坐标特征
,
求出当
y=1.8
时
x
的值
,
由此即可得出结论
.
(3)
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与
y
轴的交点坐标
,
由抛物线的形状不变可设改造后水柱
所在抛物线
(
第一象限部分
)
的函数解析式为
y=- x
2
+
bx+ ,
代入点
(16,0)
可求出
b
值
,
再利用配方法将二
次函数解析式变形为顶点式
,
即可得出结论
.
15
【
自主解答
】
(1)
设水柱所在抛物线
(
第一象限部分
)
的函数解析式为
y=a(x-3)
2
+5(a≠0),
将
(8,0)
代入
y=a(x-3)
2
+5,
得
:25a+5=0,
解得
:a=- ,
∴
水柱所在抛物线
(
第一象限部分
)
的函数解析式为
y=- (x-3)
2
+5(0
6,
所以这辆货车能
安全通过
.
(3)
令
y=8,
则
- (x-6)
2
+10=8,
解得
x
1
=6+2 ,
x
2
=6-2 ,
则
x
1
-x
2
=4 ,
所以两排灯的水平距离最小是
4 m.
考点二 利润最大化问题
【
主干必备
】
应用二次函数性质解决最优化问题思路
1.
分析题中数量关系
,
确定变量
.
2.
根据等量关系
,
构建二次函数模型
.
3.
根据函数性质
,
确定最值
.
【
核心突破
】
例
2(2019·
成都中考
)
随着
5G
技术
的发展
,
人们对各类
5G
产品的使用
充满期待
,
某公司计划在某地区销
售一款
5G
产品
,
根据市场分析
,
该产品的销售价格将随
销售周期的变化而变化
.
设该产品在第
x(x
为正整数
)
个
销售周期每台的销售价格为
y
元
,y
与
x
之间满足如图所示的一次函数关系
.
(1)
求
y
与
x
之间的关系式
.
(2)
设该产品在第
x
个销售周期的销售数量为
p(
万台
),
p
与
x
的关系可以用
p= x+
来描述
.
根据以上信息
,
试问
:
哪个销售周期的销售收入最大
?
此时该产品每台
的销售价格是多少元
?
【
自主解答
】
(1)
设函数的关系式为
y=kx+b(k≠0),
由图象可得
,
解得
∴
y
与
x
之间的关系式为
y=-500x+7 500.
(2)
设销售收入为
w
万元
,
根据题意得
,
w=yp=(-500x+7 500) ,
即
w=-250(x-7)
2
+16 000,
∴
当
x=7
时
,w
有最大值为
16 000,
此时
y=-500
×
7+7 500=4 000(
元
).
答
:
第
7
个销售周期的销售收入最大
,
此时该产品每台的销售价格是
4 000
元
.
【
明
·
技法
】
二次函数在销售问题中的应用
步骤
①
读懂题意
,
借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系
;②
确定函数解析式
;③
确定二次函数的最值
,
解决实际问题
.
【
易错提示
】
在求二次函数最值时
,
要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响
.
【
题组过关
】
1.(2019·
内蒙古呼和浩特期中
)
某商品的销售利润与
销售单价存在二次函数关系
,
且二次项系数
a=-1,
当商
品单价为
160
元和
200
元时
,
能获得同样多的利润
,
要使
销售商品利润最大
,
销售单价应定为
__________
元
.
180
2.(2019·
黑龙江哈尔滨道外区期末
)
某商场经调研得出某种商品每天的利润
y(
元
)
与销售单价
x(
元
)
之间满足关系
:y=ax
2
+bx-75,
其图象如图所示
.
(1)
求
a
与
b
的值
.
(2)
销售单价为多少元时
,
该种商品每天的销售利润最
大
?
最大利润是多少元
?(
参考公式
:
当
x=-
时
,
二次
函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)
有最小
(
大
)
值
)
(3)
销售单价定在多少时
,
该种商品每天的销售利润为
21
元
?
结合图象
,
直接写出销售单价定在什么范围时
,
该种商品每天的销售利润不低于
21
元
?
【
解析
】
(1)y=ax
2
+bx-75
图象过点
(5,0),(7,16),
∴
解得
:
(2)
∵
y=-x
2
+20x-75=-(x-10)
2
+25,
∴
当
x=10
时
,y
最大
=25.
答
:
销售单价为
10
元时
,
该种商品每天的销售利润最大
,
最大利润为
25
元
.
(3)
根据题意
,
当
y=21
时
,
得
:-x
2
+20x-75=21,
解得
:
x
1
=8,x
2
=12,
∴
x=8
或
x=12,
即销售单价定在
8
元或
12
元时
,
该种商品每天的销售利润为
21
元
;
故销售单价
在
8≤x≤12
时
,
销售利润不低于
21
元
.
3.(2019·
南通二模
)A
厂一月份产值为
16
万元
,
因管理不善
,
二、三月份产值的月平均下降率为
x(0y
B
,
y
A
-y
B
=16(1-x)
2
-12(1-x)(1+2x)=40
∵
x<
时
,y
A
-y
B
的值随
x
的增大而减小
,
且
0y
A
,
y
B
-y
A
=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)
2
=4(1-x)(10x-1)=
-40
∵
-40<0, 4,
∴
当
x=
时
,
三月份
A,B
两厂产值的差距最大
,
最大值
是
8.1
万元
.
考点三 面积最大化问题
【
核心突破
】
例
3(2018·
福建中考
)
如图
,
在足
够大的空地上有一段长为
a
米的旧墙
MN,
某人利用旧墙
和木栏围成一个矩形菜园
ABCD,
其中
AD≤MN,
已知矩形
菜园的一边靠墙
,
另三边一共用了
100
米木栏
.
(1)
若
a=20,
所围成的矩形菜园的面积为
450
平方米
,
求所利用旧墙
AD
的长
.
(2)
求矩形菜园
ABCD
面积的最大值
.
【
思路点拨
】
(1)
设
AB=x m,
则
BC=(100-2x)m,
利用矩形
的面积公式得到
x(100-2x)=450,
解方程得
x
1
=5,x
2
=45,
然后计算
100-2x
后与
20
进行大小比较即可得到
AD
的长
.
(2)
设
AD=y m,
利用矩形面积得到
S= y(100-y),
然后
配方
,
根据二次函数的性质得
S
的最大值
.
【
自主解答
】
(1)
设
AB=x m,
则
BC=(100-2x)m,
根据题意得
x(100-2x)=450,
解得
x
1
=5,x
2
=45,
当
x=5
时
,100-2x=90>20,
不合题意舍去
;
当
x=45
时
,100-2x=10,
∴
AD
的长为
10m.
(2)
设
AD=y m,
∴
S= y(100-y)=- (y-50)
2
+1 250,
当
a≥50
时
,
则
y=50
时
,S
的最大值为
1 250;
当
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