初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第5讲 一元二次方程的整数整数解

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第5讲 一元二次方程的整数整数解

1 第五讲 一元二次方程的整数整数解 在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它 将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备 受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△= 2k )，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解． 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知 识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】 【例 1】若关于 x 的方程 054)15117()9)(6( 2  xkxkk 的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有 个． 思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、 二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例 2】 已知 a 、b 为质数且是方程 0132  cxx 的根，那么 b a a b  的值是( ) A． 22 127 B． 22 125 C． 22 123 D． 22 121 思路点拨 由韦达定理 、 的关系式，结合整数性质求出 、 、 c 的值． 【例 3】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 01)2(2  rxrrx 有根且只有整数根． 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当 0r 时，由根与系数关系得到关 于 r 的两个等式，消去 r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】 当 m 为整数时，关于 的方程 01)12()12( 2  xmxm 是否有有理根?如果有， 求出 m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数． 设△= 2222 4)12(544)12(4)12( nmmmmm  ( n 为整数)解不定方程，讨论 的 2 存在性． 注：一元二次方程 02  cbxax (a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△= acb 42  为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件． 【例 5】 若关于 x 的方程 0)13()3(22  axaax 至少有一个整数根，求非负整数 a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的 a 的两个关系式中消去 也较困难，又因 的次数低于 的次数，故可将原方程变形为关于 的一次方程． 学历训练 1．已知关于 的方程 012)1( 2  axxa 的根都是整数，那么符合条件的整数 有 ． 2．已知方程 019992  mxx 有两个质数解，则 m＝ ． 3．给出四个命题：①整系数方程 (a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程 必有有理根；②整系数方程 (a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数； ③无理数系数方程 (a≠0)的根只能是无理数；④若 、 b 、 c 均为奇数，则方 程 没有有理数根，其中真命题是 ． 4．已知关于 的一元二次方程 0)12( 22  axax ( 为整数)的两个实数根是 1x 、 2x ， 则 21 xx  = ． 5．设 rn 为整数，且 40， 2x >0． (1)求证： <0, <0， <0, < 0； (2)求证： 11  bcb ； (3)求 b 、 c 所有可能的值． 13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程 0122  mxmx 的根( m 为整数)， 这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请 说明理由． 参考答案 4