2013年广东省中考数学试题（含答案）

2013年广东省中考数学试题（含答案）

‎2013年广东省初中毕业生学业考试 数 学 说明：1. 全卷共4页，考试用时100 分钟．满分为 120 分． ‎ ‎2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己准考证号、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． ‎ ‎3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． ‎ ‎4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． ‎ ‎5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1. 2的相反数是 A. B. C.－2 D.2‎ 答案：C 解析：2的相反数为－2，选C，本题较简单。‎ ‎2.下列几何体中,俯视图为四边形的是 答案：D 解析：A、B、C的俯视图分别为五边形、三角形、圆，只有D符合。‎ ‎3.据报道,2013年第一季度,广东省实现地区生产总值约1 260 000 000 000元,用科学记数法表示为 A. 0.126×1012元 B. 1.26×1012元 C. 1.26×1011元 D. 12.6×1011元 答案：B 解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎1 260 000 000 000＝1.26×1012元 ‎4.已知实数、，若>，则下列结论正确的是 A. B. C. D.‎ 答案：D 解析：不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一个正数，不等号的方向也不变，所以A、B、C错误，选D。‎ ‎5.数据1、2、5、3、5、3、3的中位数是 A.1 B.2 C.3 D.5‎ 答案：C 解析：将数据由小到大排列为：1，2，3，3，3，5，5，所以中位数为3。‎ ‎6.如题6图,AC∥DF,AB∥EF,点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，‎ 则∠1的大小是 A.30° B.40° C.50° D.60°‎ 答案：C 解析：由两直线平行，同位角相等，知∠A＝∠2=50°，‎ ‎∠1＝∠A=50°，选C。‎ ‎7.下列等式正确的是 A. B. C. D. ‎ 答案：B 解析：（－1）－3＝－1，（－2）2×（－2）3＝25，（－5）4（－5）2＝（－5）2，所以，A、C、D都错，选B。‎ ‎8.不等式的解集在数轴上表示正确的是 答案：A 解析：解不等式，得x＞2，故选A。‎ ‎9.下列图形中,不是轴对称图形的是 答案：C 解析：圆和正方形都既是轴对称图形又是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形，故选C。‎ ‎10.已知,则是函数和的图象大致是 答案：A 解析：直线与y轴的交点为（0,－1），故排除B、D，又k2＞0，双曲线在一、三象限，所以，选A。‎ 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎11.分解因式：=________________.‎ 答案：‎ 解析：由平方差公式直接可以分解，原式＝＝‎ ‎12.若实数、满足，则________.‎ 答案：1‎ 解析：由绝对值及二次根式的意义，可得：，所以，1‎ ‎13.一个六边形的内角和是__________.‎ 答案：720°‎ 解析：n边形的内角和为（n－2）×180°，将n＝6代入可得。‎ ‎14.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=________.‎ 答案：‎ 解析：由勾股定理，得AB＝5，所以sinA＝‎ ‎15.如题15图，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E′位置,‎ 则四边形ACE′E的形状是________________.‎ 答案：平行四边形 解析：C平行且等于BE，而BE＝EA，且在同一直线上，所以，C平行且等于AE，故是平行四边形。‎ ‎16.如题16图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是__________(结果保留).‎ 答案：‎ 解析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为：‎ S＝＋＝‎ 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎17.解方程组 答案：‎ 解析：用代入消元法可求解。‎ ‎18.从三个代数式：①，②，③中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当时该分式的值.‎ 解析：选取①、②得，‎ 当时，原式=（有6种情况）.‎ ‎19.如题19图，已知□ABCD.‎ ‎(1)作图:延长BC,并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC ‎(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,不连结AE,交CD于点F,求证:△AFD≌△EFC. ‎ 解析：‎ ‎19. (1)如图所示,线段CE为所求;‎ ‎(2)证明:在□ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∴∠CEF=∠DAF ‎∵CE=BC,∴AD=CE,‎ 又∵∠CFE=∠DFA,∴△AFD≌△EFC.‎ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎20.某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如【表1】和题20图所示的不完整统计图表.‎ ‎(1)请你补全下列样本人数分布表（【表1】）和条形统计图（题20图）；‎ ‎（2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.‎ 解析：‎ ‎21.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.‎ ‎（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；‎ ‎（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？‎ 解析：‎ ‎22.如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.‎ ‎(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , ‎ 则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；‎ ‎（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.‎ 解析：‎ ‎（1） S1= S2+ S3；‎ ‎（2）△BCF∽△DBC∽△CDE; ‎ 选△BCF∽△CDE 证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°‎ 在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°‎ ‎∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.‎ 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎23. 已知二次函数.‎ ‎（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;‎ ‎(2)如题23图,当时,该抛物线与轴交于点C,顶点为D,‎ 求C、D两点的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点 存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.‎ 解析：‎ ‎(1)m=±1,二次函数关系式为；‎ ‎（2）当m=2时，，∴D(2,－1);当时，，∴C(0,3).‎ ‎(3)存在.连结C、D交轴于点P,则点P为所求,由C(0,3)、D(2,－1)求得直线CD为 当时,,∴P(,0).‎ ‎24.如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,‎ BE⊥DC交DC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：∠BCA=∠BAD;‎ ‎(2)求DE的长;‎ ‎(3)求证:BE是⊙O的切线.‎ 解析：‎ ‎(1)∵AB=DB,∴∠BDA=∠BAD,又∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCA=∠BAD.‎ ‎(2)在Rt△ABC中，AC=,易证△ACB∽△DBE,得,‎ ‎∴DE=‎ ‎(3)连结OB,则OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°,‎ 又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE ‎∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.‎ ‎25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,‎ ‎∠FDE=90°,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.‎ ‎ (1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,‎ 则∠EMC=______度；‎ ‎(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;‎ ‎(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=,两块三角板重叠部分面积为,求与的函数解析式,并求出对应的取值范围.‎ 解析：‎ ‎（1）15；（2）在Rt△CFA中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC==6÷‎ ‎(3)如图(4),设过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x ‎∵MN∥DE ‎∴△FMN∽FED,∴,即，∴‎ ‎①当时,如图(4) ,设DE与BC相交于点G ,则DG=DB=4+x ‎∴‎ 即;‎ 题25图(4)‎ ‎②当时,如图(5),‎ 即;‎ 题25图(5)‎ ‎③当时, 如图(6) 设AC与EF交于点H，‎ ‎∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30°‎ ‎∴AH=‎ 综上所述，当时，‎ 当，‎ 当时，‎