人教版中考数学二轮复习专题练习下相似和全等中的动点问题

人教版中考数学二轮复习专题练习下相似和全等中的动点问题

相似和全等中的动点问题 ‎1.如图，等边三角形的边长为6，点，分别在，边上，，连结，相交于点．‎ ‎(1)求证:，并求的度数；‎ ‎(2)若，求的值；‎ ‎(3)当点从点运动到点时，求点经过的路径长．‎ 解析:‎ ‎(1)∵是等边三角形，∴，‎ 又，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)∵，∴‎ 又，∴‎ ‎∴ ，∴‎ ‎(3)‎ ‎∵，∴点的运动路径是一段圆弧，该圆弧所对的圆心角为 设圆心为，连接、，作于 则，‎ ‎∴‎ ‎∴当点E从点A运动到点C时，点P经过的路径长为:‎ ‎2.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处．‎ ‎(1)如图1，已知折痕与边交于点，连结、、．‎ ‎①求证:；‎ ‎②若与的面积比为，求边的长；‎ ‎(2)若图1中的点恰好是边的中点，求的度数；‎ ‎(3)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕、线段，连结．动点在线段上(点与点、不重合)，动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点．试问当点、在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．‎ 解析:‎ ‎(1)①∵四边形是矩形，∴‎ ‎∴‎ ‎∵是由沿折叠，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎②∵，与的面积比为 ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ 设即，则 在中，‎ ‎∴，∴‎ 即边的长为 ‎(2)∵折叠后与重合，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵是的中点，∴‎ ‎∵，∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎(3)线段的长度不变 作交于点 ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 由(1)得:，，∴‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎3.如图1，为正方形的边上任意一点，于，为上一点，，连接、．‎ ‎(1)求证:；‎ ‎(2)如图2，的平分线交延长线于点，连接，则:；‎ ‎(3)若正方形的边长为2．‎ ‎①当点移动时，点到的最大距离为__________；‎ ‎②当点为的三等分点时，求的长．‎ 解析:(1)∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 连接交于，作于 ‎∵，，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，即 ‎∴，‎ 又，∴‎ ‎∴，又 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎(3)① ‎ 提示:取的中点，连接 ‎∵，∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴当点移动时，点的路径是以为圆心，以 为半径的一段圆弧 易知当点是的中点时，点到的距离最大 最大距离为 ‎ ‎②‎ 作于，于 ‎∵，∴‎ 若 ，则 ‎ 易证，∴‎ ‎∴ ，∴ ‎ ‎∴ ，‎ 由得:‎ 即 ，∴ ‎ 易证，∴‎ 即 ，∴‎ 若 ，同理可求 ‎ ‎∴当点为的三等分点时，的长为 或 ‎ ‎4.在正方形中，动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．‎ ‎(1)如图①，当点自向，点自向移动时，连接和交于点，请你写出和的数量关系和位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)如图②，当，分别移动到边，的延长线上时，连接和，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“成立”或“不成立”，不须证明)‎ ‎(3)如图③，当，分别在边，的延长线上移动时，连接和，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；‎ ‎(4)如图④，当，分别在边，上移动时，连接和交于点．由于点，的移动，使得点也随之运动，请你画出点运动路径的草图．若，试求出线段的最小值．‎ 解析:‎ ‎(1)，‎ 理由:∵四边形是正方形，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎(2)成立 ‎(3)成立 理由: ∵四边形是正方形，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，‎ 延长交于点，则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(4)草图如图 由于点在运动中保持 ‎∴点的路径是一段以为直径的弧 设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小 在中，‎ ‎∴‎ ‎5.如图1，矩形中，，，把矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，连接．‎ ‎(1)求证:；‎ ‎(2)求的值；‎ ‎(3)如图2，若为线段上一动点，过点作的内接矩形，使其定点落在线段上，定点、落在线段上，当线段的长为何值时，矩形的面积最大？并求出其最大值．‎ 解析:(1)证明:由矩形的性质可知，‎ ‎∴，，，‎ 在与中 ‎∴；‎ ‎(2)解:如图1，∵，‎ ‎∴，‎ 设，则，‎ 在中，，‎ 即，‎ 解得；，‎ 即．‎ ‎(3)解:如图2，由矩形的性质得 ‎∴‎ 又∵，‎ 设，则，即 过作于，则， ‎ ‎∴‎ 又∵在中，，解得 ‎∴，即 设矩形的面积为 则 所以当，即时，矩形的面积最大，最大面积为3．‎ ‎6.如图，在梯形中，，，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿边向点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度沿边向点运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为秒．‎ ‎(1)当为何值时，四边形是平行四边形；‎ ‎(2)是否能平分对角线？若能，求出相应的的值；若不能，请说明理由；‎ ‎(3)若是等腰三角形，求的值．‎ 解析：(1)若四边形是平行四边形，则 ‎∴，∴‎ ‎(2)‎ 能，当时，平分对角线 ‎ 假设平分对角线，设与的交点为，则 ‎∵，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴当时，平分对角线 ‎ ‎(3)过作于 ‎∵梯形中，，，‎ ‎∴，‎ 若:‎ 过作于，‎ ‎∵，，∴‎ 又∵，∴四边形为矩形 ‎∴，即 ‎∴ ‎ ‎∵，，∴符合题意 若:‎ 过作于，则，，‎ 在中，，∴‎ 整理得:‎ ‎∵‎ ‎∴方程无解 ‎ 若 过作于，则，‎ 假设点在点的右侧，则 此时，，∴‎ ‎∴点在点的左侧，∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ 整理得:‎ 解得:(舍去)或 ‎∵，，∴符合题意 综上所述，若是等腰三角形，则或 ‎ ‎7.如图，矩形中，厘米，厘米．动点，同时从点出发，分别沿，运动，速度是1厘米/秒．过作直线垂直于，分别交，于，．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．‎ ‎(1)若厘米，秒，则________厘米；‎ ‎(2)若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；‎ ‎(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；‎ ‎(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析： (1) ‎ 当时，，，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎(2)‎ 当、、三点在同一直线上时，有，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，即 解得(舍去)， ‎ ‎∴，使，相似比为 ‎ ‎(3)∵，∴‎ 即，∴‎ ‎∴ ‎ 当梯形与梯形的面积相等时，有 即 解得 ‎ ‎∵，∴，∴，又由已知 ‎∴ ‎ ‎(4)‎ ‎∵时，梯形与梯形的面积相等 ‎∴梯形的面积与梯形的面积相等即可，则 ‎∴，∴‎ 把代入，整理得 ‎∴(舍去)或 ‎∴ ‎ 所以，存在这样的矩形，当时，在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等 ‎ ‎8.如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为(秒)．‎ ‎(1)设·的面积为，求与之间的函数关系式；‎ ‎(2)当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？‎ ‎(3)当线段与线段相交于点，且时，求的正切值；‎ ‎(4)存在时刻，使得，求出的值； ‎ 解析:(1)‎ 如图1，过点作，垂足为，则四边形为矩形，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎(2)∵，，∴‎ 以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，有三种情况:‎ ‎①若 在中，，∴‎ 由得:‎ 解得 ‎ ‎②若 在中，，∴‎ 由得:‎ 整理得:‎ ‎∵‎ ‎∴方程无解，∴‎ ‎③若 由得:‎ 整理得:‎ 解得，(不合题意，舍去)‎ 综上所述:当秒或秒时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形 ‎(3)‎ 如图2，由，得 ‎∵，，∴‎ ‎∴ ‎ 过点作，垂足为 ‎∵，，∴‎ ‎∴‎ ‎(4)假设存在时刻，使得 ‎·‎ 如图3，过点作，垂足为 ‎∵，，‎ ‎∴，又∵‎ ‎∴，∴‎ 即，∴ ‎ 所以，当秒时， ‎ ‎9.题干:如图，已知在中，，，于点，点，分别在和上，，于点．‎ ‎(1)求证:；‎ ‎(2)若平分，其余条件不变，求证:；‎ ‎(3)若点是一个动点，当点运动到的中点时，满足题中条件的点也随之在直线上运动到点，请直接写出与的数量关系．‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 证明:∵，∴‎ ‎∵，，∴‎ ‎∵于点，∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵，，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎(2)由(1)可得 ‎∵平分，∴‎ ‎∴‎ 又∵，，∴‎ ‎∴‎ ‎(3)与的数量关系是 ‎ 解析过程如下:‎ 过点作于点 设，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎10.如图，在梯形中，，，，，．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．‎ ‎(1)求的长．‎ ‎(2)当时，求的值．‎ ‎(3)试探究:为何值时，为等腰三角形．‎ 解析：‎ 如图1，过、分别作于，于，则四边形为矩形．‎ ‎∴‎ 在中，．‎ 在中，由勾股定理得，．‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 如图2，过点作交于于点， ‎ 则四边形是平行四边形．‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴，∴．‎ 即，解得．‎ ‎(3)有三种情况:‎ ‎①当时，如图3，即．‎ ‎∴‎ ‎②当时，如图4，过、分别作于，于．‎ 由等腰三角形三线合一性质得．‎ 解法一:‎ 在中，．‎ 在中，．‎ ‎∴，解得．‎ 解法二:‎ ‎∵，，∴，∴．‎ 即，解得．‎ ‎③‎ 当时，如图5，过点作于，则．‎ 解法一:(方法同②中解法一)‎ ‎，解得．‎ 解法二:‎ ‎∵，，∴‎ ‎∴，即，解得．‎ 综上所述，当、或时，为等腰三角形．‎