2009年辽宁省中考数学试卷(全解全析)

2009年辽宁省中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2009•辽宁）某天的最高气温是7℃，最低气温是﹣5℃，则这一天的最高气温与最低气温的差是（　　）‎ ‎ A、2℃ B、﹣2℃‎ ‎ C、12℃ D、﹣12℃‎ 考点：有理数的减法。‎ 专题：应用题。‎ 分析：这天的温差就是最高气温与最低气温的差，列式计算．‎ 解答：解：这天的温差就是最高气温与最低气温的差，即7﹣（﹣5）=7+5=12℃．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．‎ ‎2、（2009•辽宁）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是（　　）‎ ‎ A、20° B、40°‎ ‎ C、50° D、80°‎ 考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义。‎ 专题：计算题。‎ 分析：利用角平分线的性质和对顶角相等即可求得．‎ 解答：解：因为∠EOC=100°，OA平分∠EOC，所以∠BOD=∠AOC=‎1‎‎2‎×100°=50度．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了角平分线和对顶角的性质，在相交线中角的度数的求解方法．‎ ‎3、（2009•牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形；生活中的旋转现象。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．‎ 解答：解：A、D：都只是轴对称图形；‎ B：只是中心对称图形；‎ C：既是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．同时要注意，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分折叠后可重合．中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．‎ ‎4、（2009•辽宁）三根长度分别为：3cm，7cm，4cm的木棒能围成三角形的事件是（　　）‎ ‎ A、必然事件 B、不可能事件 ‎ C、不确定事件 D、以上说法都不对 考点：随机事件；三角形三边关系。‎ 分析：三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边．‎ 因而三条线段能构成三角形的边的条件是：任意两数的和大于第三个数．‎ 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；‎ 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；‎ 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ 解答：解：∵3+4=7，∴根据三角形的三边关系，知三根木棒不能围成三角形，则是不可能事件．‎ 故选B．‎ 点评：用到的知识点为：组成三角形的两条较小的边的和应大于最大的边；一定不会发生的事件叫不可能事件．‎ ‎5、（2009•辽宁）如图，直线m是一次函数y=kx+b的图象，则k的值是（　　）‎ ‎ A、﹣1 B、﹣2‎ ‎ C、1 D、2‎ 考点：待定系数法求一次函数解析式。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据画图确定一次函数y=kx+b的图象过点（1，0），（0，﹣2），然后代入解析式即可求得k的值．‎ 解答：解：一次函数y=kx+b的图象过点（1，0），（0，﹣2），根据一次函数解析式y=kx+b的特点，可得出方程组‎&k+b=0‎‎&b=﹣2‎，解得‎&b=﹣2‎‎&k=2‎，则k的值是2．‎ 故选D．‎ 点评：本题要注意利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数．‎ ‎6、（2009•辽宁）受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（　　）‎ ‎ A、10% B、20%‎ ‎ C、19% D、25%‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 专题：增长率问题。‎ 分析：本题可设该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为x，则第三季度为800（1﹣x）万元，第四季度为800（1﹣x）（1﹣x）万元，即800（1﹣x）2万元，由此可列出方程，进而求解．‎ 解答：解：设该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为x，则第三季度为800（1﹣x）万元，第四季度为800（1﹣x）2万元，‎ 根据题意得800（1﹣x）2=648‎ 整理得（1﹣x）2=0.81‎ 解之得x1=1.9，x2=0.1‎ 因为x=1.9不合题意，应舍去，所以x=0.1，即该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为0.1，即10%．‎ 故选A．‎ 点评：此类题目旨在考查下降率，要注意下降的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．‎ ‎7、（2009•辽宁）用若干个小立方块搭一个几何体，使得它的左视图和俯视图如图所示，则所搭成的几何体中小立方块最多有（　　）‎ ‎ A、15个 B、14个 ‎ C、13个 D、12个 考点：由三视图判断几何体。‎ 分析：根据三视图，该几何体底层最多有3+2+1个，第2层最多有2+2+1个，第3层最多有3个．分清物体的上下及左右的层数．‎ 解答：解：综合左视图和俯视图，底层最多有3+2+1=6个，第二层最多有2+2+1=5个，第三层最多有1+1+1=3个，‎ 因此所搭成的几何体中小立方体最多有6+5+3=14个，故选B．‎ 点评：本题中正视图应该按小立方体最多的情况摆，然后根据从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，来分析小立方体的个数．‎ ‎8、（2009•辽宁）如图1，从矩形纸片AMEF中剪去矩形BCDM后，动点P从点B出发，沿BC、CD、DE、EF运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF的面积是（　　）‎ ‎ A、32 B、34‎ ‎ C、36 D、48‎ 考点：动点问题的函数图象。‎ 专题：动点型。‎ 分析：正确读图象是解决本题的关键．‎ 解答：解：根据函数图象可以知道，从0到4，y随x的增大而增大，因而BC=4，P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=3；同理：ED=2，EF=17﹣9=8；则AF=BC+DE=4+2=6，‎ 则图形ABCDEF的面积是：矩形AMEF的面积﹣矩形BMDC的面积=8×6﹣4×3=36．‎ 图形ABCDEF的面积是36．‎ 故选C．‎ 点评：根据函数图象的增减性，把图象的特殊点，与实际图形中的点对应起来．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9、（2009•辽宁）分解因式：3a2﹣27= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：解：3a2﹣27，‎ ‎=3（a2﹣9），‎ ‎=3（a2﹣32），‎ ‎=3（a+3）（a﹣3）．‎ 点评：本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式，需要进行二次分解因式，分解因式要彻底．‎ ‎10、（2009•辽宁）为了解初三学生的视力情况，某校随机抽取50名学生进行视力检查，结果如下：这组数据的中位数是 ．‎ 考点：中位数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ 解答：解：题目中数据共有50个，故中位数是按从小到大排列后第25，第26两个数的平均数作为中位数．‎ 故这组数据的中位数是‎1‎‎2‎（4.7+4.7）=4.7．‎ 故填4.7．‎ 点评：掌握中位数的概念．把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ ‎11、（2009•辽宁）已知：平面直角坐标系中有一点A（2，1），若将点A向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点A1，则点A1的坐标是 ．‎ 考点：坐标与图形变化-平移。‎ 分析：直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．‎ 解答：解：原来点A的横坐标是2，纵坐标是1，向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到新点的横坐标是2﹣4=﹣2，纵坐标为1﹣2=﹣1，则点A1的坐标是（﹣2，﹣1）．‎ 故答案填：（﹣2，﹣1）．‎ 点评：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．‎ ‎12、（2009•辽宁）已知：扇形OAB的半径为12厘米，∠AOB=150°，若由此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 厘米．‎ 考点：弧长的计算。‎ 分析：半径为12的扇形的弧长是‎150π•12‎‎180‎=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=10π，解得：r=5cm．‎ 解答：解：半径为12的扇形的弧长是‎150π•12‎‎180‎=10π，‎ 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，‎ 设圆锥的底面半径是r，‎ 则得到2π这个圆锥底面圆的半径是5厘米．‎ 点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎13、（2009•辽宁）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子 枚．‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 专题：规律型。‎ 分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．‎ 解答：解：根据图案可知规律如下：图2，2×3+2；图3，2×4+3…图n，2×（n+1）+n；所以第100个图案需棋子2×（100+1）+100=302．‎ 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．‎ ‎14、（2009•辽宁）已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A=30°，OA=10，则AB= ．‎ 考点：切线的性质；勾股定理。‎ 专题：综合题。‎ 分析：作辅助线，连接OA，由切线性质可知OB⊥OA，故根据三角函数公式和OA的长，可将圆的半径求出，进而可将AB的长求出．‎ 解答：解：连接OB，则OB⊥OA，设⊙O的半径为R，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴OA=OBsin30°‎=2R，‎ ‎∵OA=10，‎ ‎∴2R=10，即R=5，‎ 故在Rt△OAB中，‎ AB=cot30°×OB=‎5‎‎3‎．‎ 点评：本题主要考查切线的性质和三角函数的计算和运用．‎ ‎15、（2009•辽宁）关于x的方程mx+2‎=1的解是负数，则m的取值范围是 ．‎ 考点：分式方程的解；解一元一次不等式。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求m的取值范围．‎ 解答：解：方程去分母得m=x+2即x=m﹣2‎ ‎∵分母x+2≠0‎ ‎∴x≠﹣2‎ ‎∴m﹣2≠﹣2‎ ‎∴m≠0‎ 又∵x＜0‎ ‎∴m﹣2＜0‎ 解得m＜2，则m的取值范围是m＜2且m≠0．‎ 点评：由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉m≠0，这是因为忽略了x+2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．‎ ‎16、（2009•辽宁）已知：点A（m，m）在反比例函数y=‎1‎x的图象上，点B与点A关于坐标轴对称，以AB为边作等边△ABC，则满足条件的点C有 个．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 分析：由点A（m，m）在反比例函数y=‎1‎x的图象上可知A（1，1）或A（﹣1，﹣1）因为点B与点A关于坐标轴对称，所以线段AB四条，从而确定以AB为边作等边的个数．‎ 解答：解：∵点A（m，m）在反比例函数y=‎1‎x的图象上，‎ ‎∴A（1，1）或A（﹣1，﹣1），‎ ‎∵点B与点A关于坐标轴对称，‎ ‎∴线段AB四条，‎ 而每条边有两个等边三角形，‎ 因此有8个．‎ 故填空答案：8个．‎ 故答案为：8．‎ 点评：此题难度较大，主要考查反比例函数的性质、坐标对称特点和等边三角形作法．‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17、（2009•辽宁）计算：‎32‎﹣（π+1）0+4sin45°+（‎1‎‎3‎）﹣1．‎ 考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：原式=‎‎4‎2‎﹣1+4×‎2‎‎2‎+3‎ ‎=‎‎4‎2‎﹣1+2‎2‎+3‎ ‎=‎6‎2‎+2‎．‎ 点评：‎ 本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．‎ ‎18、（2009•辽宁）如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去．‎ ‎（1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC．‎ ‎（2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离．‎ 考点：相似三角形的应用。‎ 专题：转化思想。‎ 分析：因为窗DE和路PQ是平行的，所以△ADE∽△ABC，在作出高的情况下，DEBC=ANAM，BC的长度可根据小彬的速度和时间求出为12米，AN，DE题中已告知，因此求出AM=16‎ 解答：解：（1）如图，线段BC就是小芳能看到的那段公路．‎ ‎（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，交DE于点N．‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠3=∠4，∠1=∠2=90°，‎ ‎∴AN⊥DE．‎ 又∵∠DAE=∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC．‎ ‎∴DEBC‎=‎ANAM．‎ 根据题意得：BC=1.2×10=12（米）．‎ 又∵AN=4米，DE=3米，‎ ‎∴‎3‎‎12‎‎=‎‎4‎AM，‎ ‎∴AM=16（米）．‎ 点评：此问题考查了两三角形相似，对应边成比例，解这道题关键是将实际问题转化为数学问题，本题中只要求出BC，即可利用相似比，列方程解出AM ‎19、（2009•辽宁）在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲10次射击成绩的统计表和扇形统计图如下：‎ ‎（1）根据统计表（图）中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；‎ ‎（2）已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？并说明理由．（参考资料：S‎2‎‎=‎1‎n[‎（x‎1‎﹣x）‎‎2‎‎+（x‎2‎﹣x）‎‎2‎+…+‎（xn﹣x）‎‎2‎]‎）‎ 考点：方差；统计表；扇形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）由题意知，总共射击了10次，7环占10%，所以1次7环；9环占30%，则9环有3次；‎ ‎（2）计算两人的方差．然后比较方差，方差小的表示波动小，应由方差小的去．‎ 解答：解：（1）‎ ‎（2）应该派甲去．‎ 理由：x甲=‎1‎‎10‎（10×4+9×3+8×2+7×1）=9（环）．‎ S甲2=‎1‎‎10‎[4×（10﹣9）2+3×（9﹣9）2+2×（8﹣9）2+1×（7﹣9）2]=1．‎ 因为甲、乙两人的平均成绩相同，而S甲2＜S乙2，说明甲的成绩比乙稳定．‎ 所以应派甲去．‎ 点评：本题考查了方差的概念和意义．‎ ‎20、（2009•辽宁）奥运会期间，为了增进与各国的友谊，华联商厦决定将具有民族风情的中国结打8折销售，汤姆先生用160元钱买到的中国结比打折前花同样多的钱买到的中国结多2个，求每个中国结的原价是多少元？‎ 考点：分式方程的应用。‎ 专题：销售问题。‎ 分析：求的是原单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“用160元钱买到的中国结比打折前花同样多的钱买到的中国结多2个”；等量关系为：现在160元买的数量﹣原来160元买的数量=2．‎ 解答：解：设每个中国结的原价为x元．（1分）‎ 根据题意得：‎160‎‎0.8x‎﹣‎160‎x=2‎．（5分）‎ 解得：x=20．（8分）‎ 经检验：x=20是原方程的根．（9分）‎ 答：每个中国结的原价为20元．（10分）‎ 点评：应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎21、（2009•辽宁）法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同时沿同一方向配合搜寻飞机残骸（如图）．在距海面900米的高空A处，侦察机测得搜救船在俯角为30°的海面C处，当侦察机以150‎3‎米/分的速度平行海面飞行20分钟到达B处后，测得搜救船在俯角为60°的海面D处，求搜救船搜寻的平均速度．（结果保留三个有效数字，参考数据：‎2‎≈1.414，‎3‎≈1.732）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 专题：应用题。‎ 分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形RtACG与Rt△BDF．利用CG=DF构造方程，进而可解．‎ 解答：解：作CG⊥AE，垂足为G，作DF⊥AE，垂足为F，得矩形CDFG．‎ ‎∴CD=GF，CG=DF=900．‎ 在Rt△AGC中，‎ ‎∵∠A=30°，∴∠ACG=60°．‎ ‎∴AG=CG•tan60°=900‎3‎．‎ 同理，在Rt△BFD中，BF=DF•tan30°=300‎3‎．‎ ‎∵AB=150‎3‎×20=3000‎3‎，‎ ‎∴CD=GF=AB+BF﹣AG=2400‎3‎．‎ ‎∴搜寻的平均速度为2400‎3‎÷20=120‎3‎≈208．‎ 答：搜救船搜寻的平均速度为208米/分．‎ 点评：‎ 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎22、（2009•辽宁）“五•﹣”期间，中国最美的边境城市丹东吸引了许多外地游客．小刚也随爸爸来丹游玩，由于仅有两天的时间，小刚不能游览所有风景区．于是爸爸让小刚第一天从A．青山沟风景区、B．凤凰山风景区中任意选择﹣处游玩；第二天从C．虎山长城、D．鸭绿江、E．大东港中任意选一处游玩．‎ ‎（1）请用树状图或列表法说明小刚所有可能选择的方式（用字母表示）；‎ ‎（2）在（1）问的选择方式中，求小刚恰好选中A和D这两处的概率．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．‎ 解答：解：（1）解法一：所有可能出现的结果（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）‎ ‎∴小刚所有可能选择的方式有6种；‎ 解法二：‎ ‎∴小刚所有可能选择的方式有6种；‎ ‎（2）∵一共有六种等可能的结果，而恰好选中A、D两处的可能性只有一种，‎ ‎∴小刚恰好选中A和D这两处的概率为‎1‎‎6‎．‎ 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎23、（2009•辽宁）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动 点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．‎ ‎（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．‎ 考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：根据中点的条件，可以利用．三角形的中位线定理证明四边形EFPG的两组对边分别平行，得出这个四边形是平行四边形；‎ 在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形，只要再说明一个角是直角就可以．‎ 解答：解：（1）四边形EFPG是平行四边形．（1分）‎ 理由：∵点E、F分别是BC、PC的中点，‎ ‎∴EF∥BP．（2分）‎ 同理可证EG∥PC．（3分）‎ ‎∴四边形EFPG是平行四边形．（4分）‎ ‎（2）方法一：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．（5分）‎ 证明：延长BA、CD交于点M．‎ ‎∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=∠C=60°．‎ ‎∴∠M=60°，‎ ‎∴△BCM是等边三角形．（7分）‎ ‎∵∠MAD=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴AD=DM=2．‎ ‎∴CM=DM+CD=2+4=6．（8分）‎ ‎∵PC=3，‎ ‎∴MP=3，‎ ‎∴MP=PC，‎ ‎∴BP⊥CM即∠BPC=90度．‎ 由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形，‎ ‎∴四边形EFPG是矩形．（10分）‎ 方法二：当PC=3时，四边形EFPG是矩形．（5分）‎ 证明：延长BA、CD交于点M．由（1）可知，四边形EFPG是平行四边形．‎ 当四边形EFPG是矩形时，∠BPC=90度．‎ ‎∵AD∥BC，∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=60度．‎ ‎∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．‎ ‎∴∠PBC=30°且△BCM是等边三角形．（7分）‎ ‎∴∠ABP=∠PBC=30°，‎ ‎∴PC=PM=‎1‎‎2‎CM．（8分）‎ 同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，‎ ‎∴PC=6×‎1‎‎2‎=3．‎ 即当PC=3时，四边形EFPG是矩形．（10分）‎ 点评：本题主要考查学生对等腰梯形的性质，平行四边形的判定及矩形的判定的理解及运用．‎ ‎24、（2009•辽宁）某校组织七年级学生到军营训练，为了喝水方便，要求每个学生各带一只水杯，几个学生可以合带一个水壶．可临出发前，带队老师发现有51名同学没带水壶和水杯，于是老师拿出260元钱并派两名同学去附近商店购买．该商店有大小不同的甲、乙两种水壶，并且水壶与水杯必须配套购买．每个甲种水壶配4只杯子，每套20元；每个乙种水壶配6只杯子，每套28元．若需购买水壶10个，设购买甲种水壶x个，购买的总费用为y（元）．‎ ‎（1）求出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）请你帮助设计所有可能的购买方案，并写出最省钱的购买方案及最少费用．‎ 考点：一次函数的应用；分段函数。‎ 专题：方案型。‎ 分析：（1）根据题意得y=20x+28（10﹣x），整理得解；‎ ‎（2）根据自变量的取值范围及实际意义求解．‎ 解答：解：（1）y=20x+28（10﹣x）=﹣8x+280．‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=﹣8x+280．‎ ‎（2）‎‎&4x+6（10﹣x）≥51‎‎&20x+28（10﹣x）≤260‎ 解得2.5≤x≤4.5．‎ ‎∵x为非负整数，∴x=3或4．‎ ‎∴有两种购买方案，‎ 第一种：买甲种水壶3个，乙种水壶7个；‎ 第二种：买甲种水壶4个，乙种水壶6个．‎ ‎∵y=﹣8x+280，﹣8＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小．‎ ‎∴当x=4时，y=﹣8×4+280=248（元）．‎ 答：有两种购买方案．第一种：买甲种水壶3个，乙种水壶7个；‎ 第二种：买甲种水壶4个，乙种水壶6个．‎ 其中最省钱的方案是第二种，最少费用是248元．‎ 点评：本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，是一道难度中等的题目．‎ ‎25、（2009•辽宁）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°‎ 后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度．‎ ‎（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；‎ ‎（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；‎ ‎（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？‎ 考点：相似三角形的判定与性质；解一元一次方程；直角三角形全等的判定；平移的性质；旋转的性质。‎ 专题：操作型；探究型。‎ 分析：（1）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．‎ ‎（2）根据旋转的性质得出结论．‎ ‎（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出：PNAB‎=‎DPDA，解得A2A的大小．‎ 解答：解：（1）BD=MF，BD⊥MF．（1分）‎ 延长FM交BD于点N，‎ 由题意得：△BAD≌△MAF．‎ ‎∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分）‎ 又∵∠DMN=∠AMF，‎ ‎∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，‎ ‎∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分）‎ ‎（2）β的度数为60°或15°（答对一个得2分）（7分）‎ ‎（3）由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x（如图3），‎ 在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8，‎ ‎∴A2M2=4，A2F2=4‎3‎，∴AF2=4‎3‎﹣x．‎ ‎∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，‎ ‎∴AP=AF2•tan30°=4﹣‎3‎‎3‎x．‎ ‎∴PD=AD﹣AP=4‎3‎﹣4+‎3‎‎3‎x．‎ ‎∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．‎ ‎∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分）‎ ‎∴PNAB‎=‎DPDA．（10分）‎ ‎∴x‎4‎‎=‎‎4‎3‎﹣4+‎3‎‎3‎x‎4‎‎3‎，解得x=6﹣2‎3‎．（11分）‎ 即A2A═6﹣2‎3‎．‎ 答：平移的距离是（6﹣2‎3‎）cm．（12分）‎ 点评：考查旋转的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定，平移的性质．‎ ‎26、（2009•辽宁）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：‎ 探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；‎ 探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴是直线x=‎﹣‎b‎2a）‎ 考点：二次函数综合题；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；‎ ‎（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．‎ ‎②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：‎ ‎（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．‎ 解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+3（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2．‎ ‎∴‎﹣‎﹣1‎‎2a=﹣2‎，‎ ‎∴a=﹣‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴y=﹣‎1‎‎4‎x‎2‎﹣x+3‎．‎ ‎∴D（﹣2，4）．‎ ‎（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．‎ ‎∵抛物线y=﹣‎1‎‎4‎x‎2‎﹣x+3‎交x轴于A、B两点，交y轴于点C，‎ ‎∴A（﹣6，0），B（2，0），C（0，3），‎ ‎∴OA=6，OC=3．（4分）‎ 当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，‎ 则DM=2，OM=4．‎ ‎∵P（0，t），‎ ‎∴OP=t，MP=OM﹣OP=4﹣t．‎ ‎∵S三角形PAD=S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP ‎=‎‎1‎‎2‎‎（DM+OA）•OM﹣‎1‎‎2‎OA•OP﹣‎1‎‎2‎DM•MP ‎=‎‎1‎‎2‎‎（2+6）×4﹣‎1‎‎2‎×6×t﹣‎1‎‎2‎×2×（4﹣t）‎ ‎=12﹣2t（6分）‎ ‎∴W=t（12﹣2t）=﹣2（t﹣3）2+18‎ ‎∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．‎ 探究二：‎ 存在．分三种情况：‎ ‎①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，‎ ‎∴AE=OA﹣OE=6﹣2=4=DE．‎ ‎∴∠DAE=∠ADE=45°，AD=‎2‎DE=4‎‎2‎，‎ ‎∴∠P1DE=∠P1DA﹣∠ADE=90°﹣45°=45度．‎ ‎∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，‎ ‎∴DM∥OA，‎ ‎∴∠MDE=∠DEA=90°，‎ ‎∴∠MDP1=∠MDE﹣∠P1DE=90°﹣45°=45度．‎ ‎∴P1M=DM=2，P‎1‎D=‎2‎DM=2‎‎2‎．‎ 此时OCP‎1‎D‎=OAAD=‎‎3‎‎2‎‎4‎，‎ 又因为∠AOC=∠P1DA=90°，‎ ‎∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，‎ ‎∴OP1=OM﹣P1M=4﹣2=2，‎ ‎∴P1（0，2）．‎ ‎∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，‎ 此时P1点的坐标为（0，2）‎ ‎②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，‎ ‎∴P‎2‎A=OAcos45°‎=6‎‎2‎，‎ ‎∴P‎2‎AOA‎=‎6‎‎2‎‎6‎=‎‎2‎．‎ ‎∵ADOC‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴ADOC‎≠‎P‎2‎AOA．‎ ‎∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．（12分）（结论（1分），过程1分）‎ ‎③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径r=AD‎2‎=2‎‎2‎，‎ 圆心O1到y轴的距离d=4．‎ ‎∵d＞r，‎ ‎∴⊙O1与y轴相离．‎ 不存在点P3，使∠AP3D=90度．‎ ‎∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．‎ 点评：此题综合性较强，考查函数基本性质，三角形相似的性质，辅佐线的作法，探究性问题，还运用分类讨论思想，难度大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ lanyuemeng；ljj；haoyujun；zhjh；智波；lanyan；wdxwzk；lanchong；ln_86；hbxglhl；lzhzkkxx；lf2-9；zhehe；huangling；wdxwwzy；bjy；MMCH；zhangCF；mama258；sch；csiya；leikun；zxw；张长洪；wangming；算术；hnaylzhyk；137-hui；xinruozai；wangcen。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月19日