2019九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版

2019九年级数学上册 专题突破讲练 一元二次方程的根与系数究竟有何关系试题 （新版）青岛版

一元二次方程的根与系数究竟有何关系 一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝。‎ 方法归纳：（1）如果方程x2＋px＋q＝0的两个实数根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q。‎ ‎（2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0或（x－x1）（x－x2）＝0。‎ 二、一元二次方程根与系数的关系的应用 ‎（1）验根；‎ ‎（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数；‎ ‎（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。‎ 方法归纳：利用方程根与系数的关系求代数式的值，几个重要变形如下：‎ ‎（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2；‎ ‎（2）＋＝；‎ ‎（3）＋＝＝；‎ ‎（4）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2；‎ ‎（5）x1－x2＝±＝±。‎ 总结：‎ ‎1. 已知一元二次方程的两个实数根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围。‎ ‎2. 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。‎ 例题1 已知方程x2－2x－1＝0，则此方程（ ）‎ A. 无实数根 B. 两根之和为－‎2 ‎ ‎ C. 两根之积为－1 D. 有一根为－1＋ 解析：根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况；由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根。‎ A. ＝（－2）2－4×1×（－1）＝8＞0，则该方程有两个不相等的实数根。故本选项错误；B. 设该方程的两根分别是α、β，则α＋β＝2。即两根之和为2，故本选项错误；C. 设该方程的两根分别是α、β，则αβ＝－1。即两根之积为－1，故本选项正确；D. 根据求根公式x＝1±可知，原方程的两根是（1＋）和（1－），故本选项错误。故选C。‎ 答案：C 点拨：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用。利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义。‎ 5‎ 例题2 设x1、x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，求x13＋2014x2－2013的值。‎ 解析：由原方程可知x2＝x＋2013，x＝x2－2013；x12＝x1＋2013，x1＝x12－2013。由根与系数的关系可知x1＋x2＝1，根据以上关系代入求值即可。‎ 答案：∵x2－x－2013＝0，∴x2＝x＋2013，x＝x2－2013。‎ 又∵x1、x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根 ‎∴x1＋x2＝1‎ ‎∴x13＋2014x2－2013‎ ‎＝x1•x12＋2013x2＋x2－2013‎ ‎＝x1•（x1＋2013）＋2013x2＋x2－2013‎ ‎＝x12＋2013x1＋2013x2＋x2－2013‎ ‎＝（x1＋2013）＋2013x1＋2013x2＋x2－2013‎ ‎＝x1＋x2＋2013（x1＋x2）＋2013－2013‎ ‎＝1＋2013‎ ‎＝2014‎ 点拨：本题考查了根与系数的关系，对所求代数式的变形是解答此题的关键点和难点。‎ 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x1、x2，则 ‎（1）当≥0且x1x2＞0时，两根同号，即 ‎（2）当＞0且x1x2＜0时，两根异号，即 例题 如果关于x的方程x2－px－q＝0（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）‎ A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 解析：∵p、q是正整数，且＝p2＋4q＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。又∵x1·x2＝－q＜0，∴此方程两根异号。这个方程的正根为，即＜3。解得q＜9－3p，其正整数解是：、、、、、、。故选C。‎ 答案：C 点拨：要判断一元二次方程的根的符号有一个前提条件不能忽略，那就是判别式⊿≥0，然后再依据x1x2和x1＋x2的正负情况进行判断。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 已知（x＋a）（x－b）＝x2＋2x－1，则ab＝（ ）‎ A. －2 B. －‎1 ‎ C. 1 D. 2‎ ‎2. 已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎ C. 4 D. 8‎ 5‎ ‎3. 已知m、n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）＝－6，则a的值为（ ）‎ A. －10 B. ‎4 ‎ C. －4 D. 10‎ ‎*4. 设x1、x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为（ ）‎ A. 5 B. －‎5 ‎ C. 1 D. －1‎ ‎*5. 若m、n是方程x2－2x＋1＝0的两个实数根，则－的值是（ ）‎ A. ±2 B. ±‎4‎ C. ±6 D. ±8 ‎**6. 若方程x2＋2px－3p－2＝0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12＋x1＝4－（x22＋x2），则实数p的可能的值为（ ）‎ A. 0或－1 B. ‎0 ‎ C. 0或－4 D. －4‎ 二、填空题 ‎7. 若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝__________。‎ ‎8. 已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α＋3）（β＋3）＝__________。‎ ‎*9. 已知实数a、b不相等，并且a2＋1＝‎5a，b2＋1＝5b，则＋＝__________。‎ ‎**10. 已知关于x的方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2。则正确的结论是__________。（填上你认为正确结论的所有序号）‎ 三、解答题 ‎11. 已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2、m。求m、n的值。‎ ‎*12. 已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋（‎2m＋3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，试求m的值。‎ ‎**13. 已知α、β是方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，试求α3＋5β＋10的值。‎ ‎**14. 已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1、x2。‎ ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎**15. 已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1、x2满足︱x1︱＝x2，求实数m的值。‎ 5‎ 一、选择题 ‎1. C 解析：注意本题ab不是利用根与系数的关系求得的，根据等式的性质求解即可。‎ ‎2. C 解析：设方程的另一个根为x1，由题意可知x1＋2＝6，所以x1＝4，即方程的另一根为4。‎ ‎3. C 解析：根据题意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，故选C。‎ ‎*4. B 解析：由题意可知x1＋x2＝－3，x1x2＝－3，∴＋＝＝＝－5。‎ ‎*5. D 解析：由已知得m＋n＝2，mn＝1，则（m－n）2＝（m＋n）2－4mn＝（2）2－4＝16，∴m－n＝±4。∴－＝＝＝±8。‎ ‎**6. B 解析：∵原方程有两个不相等的实数根，∴＝（2p）2＋4（3p＋2）＞0，即p2＋3p＋2＞0，且x1＋x2＝－2p，x1x2＝－3p－2。又∵x12＋x1＝4－（x22＋x2），即x12＋x22＋x1＋x2＝4，∴（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）＝4，即（－2p）2＋2（3p＋2）－2p＝4，∴4p2＋4p＝0，解得p＝0或－1。当p＝0时＞0，当p＝－1时＝0（舍去），所以p的可能的值为0。‎ 二、填空题 ‎7. 5 解析：由x1x2＝－5且x1＝－1，得x2＝5。‎ ‎8. 9 解析：∵α＋β＝1，αβ＝－3，∴（α＋3）（β＋3）＝αβ＋3（α＋β）＋9＝－3＋3×1＋9＝9。‎ ‎*9. 23 解析：∵a、b满足a2＋1＝‎5a，b2＋1＝5b，即a、b是x2＋1＝5x的两个实数根，整理此方程为x2－5x＋1＝0，根据根与系数的关系可知a＋b＝5，ab＝1。∴＋＝＝＝23。‎ ‎**10. ①② 解析：①∵方程x2－（a＋b）x＋ab－1＝0中，＝（a＋b）2－4（ab－1）＝（a－b）2＋4＞0，∴x1≠x2，故①正确；②∵x1x2＝ab－1＜ab，故②正确；③∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝ab－1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（a＋b）2－2ab＋2＝a2＋b2＋2＞a2＋b2，即x12＋x22＞a2＋b2。故③错误；综上所述，正确结论的序号是：①②。‎ 三、解答题 ‎11. 解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2、m，∴，解得，即m、n的值分别是1、－2。‎ ‎*12. 解：根据条件知：α＋β＝－（‎2‎m＋3），αβ＝m2，∴＋＝＝＝－1，即m2－‎2m－3＝0，所以有，解得m＝3。‎ ‎**13. 解：∵α是方程x2＋2x－1＝0的根，∴α2＝1－2α。∴α3＝a2·a＝（1－2α）α＝α－2α2＝α－2（1－2α）＝5α－2，又∵α＋β＝－2，∴α3＋5β＋10＝（5α－2）＋5β＋10＝5（α＋β）＋8＝5×（－2）＋8＝－2。‎ ‎**14. 解：（1）∵原方程有两个实数根，＝[－（2k＋1）]2－4（k2＋2k）＝4k2＋4k 5‎ ‎＋1－4k2－8k＝1－4k≥0，∴k≤。∴当k≤时，原方程有两个实数根。（2）假设存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立。理由如下：∵x1、x2是原方程的两个实数根，∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋2k。由x1·x2－x12－x22≥0得3x1·x2－（x1＋x2）2≥0。∴3（k2＋2k）－（2k＋1）2≥0，整理得：（k－1）2≤0，∴只有当k＝1时，上式成立。又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立。‎ ‎**15. 解：原方程可变形为：x2－2（m＋1）x＋m2＝0，∵x1、x2是方程的两个实数根，∴≥0，即4（m＋1）2－‎4m2‎≥0，∴‎8m＋4≥0，m≥－。又x1、x2满足︱x1︱＝x2，∴x1＝x2或x1＝－x2，即＝0或＞0且x1＋x2＝0，由＝0，即‎8m＋4＝0，得m＝－。由x1＋x2＝0，即2（m＋1）＝0，得m＝－1（不合题意，舍去）。∴当︱x1︱＝x2时，m的值为－。‎ 5‎