2014年湖南省株洲市中考数学试题(含答案)

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2014年湖南省株洲市中考数学试题(含答案)

绝密★启用前 ‎ 姓  名 准考证号 株洲市2014年初中毕业学业考试 数学试题及解答 时量:120分钟  满分:100分 注意事项:‎ ‎1、答题前,请按要求在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。‎ ‎2、答题时,切记答案要填写在答题卡上,答在试题卷上的答案无效。‎ ‎3、考试结束后,请将试题卷和答题卡都交给监考老师。‎ 选择题:答案为A D D B C C B C 一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎1、下列各数中,绝对值最大的数是 A、-3         B、-2       C、0        D、1‎ ‎2、取下列各数中的哪个数时,二次根式有意义 A、-2         B、0        C、2        D、4‎ 解:本题变相考二次根式有意义的条件 ‎3、下列说法错误的是 A、必然事件的概率为1‎ B、数据1、2、2、3的平均数是2‎ C、数据5、2、-3、0的极差是8‎ D、如果某种游戏活动的中奖率为40%,那么参加这种活动10次必有4次中奖 ‎4、已知反比例函数的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,也在这个函数图象上的是 A、(-6,1)     B、(1,6)      C、(2,-3)      D、(3,-2)‎ 解:本题主要考查反比例函数三种表达中的 ‎5、下列几何何中,有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样,这个几何体是 ‎6、一元一次不等式组的解集中,整数解的个数是 A、4       B、5        C、6      D、7‎ 解:分析本题主要考查学生解一元一次不等式的能力及找特解的能力。‎ ‎7、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是 A、选①②     B、选②③    C、选①③    D、选②④‎ 解:分析本题主要考查学生由平行四边形判定要正方形的判定方法 答案:选B ‎8、在平面直角坐标系中,孔明做走棋游戏,其走法是:棋子从原点和,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步走1个单位……依此类推,第步的是:当能被3整除时,则向上走1个单位;当被3除,余数是1时,则向右走1个单位,当被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当他走完第100步时,棋子所处位置的坐标是:‎ A、(66,34)  B、(67,33)  C、(100,33)   D、(99,34)‎ 解:本题主要考查学生对信息的分类 在1至100这100个数中:‎ ‎(1)能被3整除的为33个,故向上走了33个单位 ‎(2)被3除,余数为1的数有34个,故向右走了34个单位[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(3)被3除,余数为2的数有33个,故向右走了66个单位 故总共向右走了34+66=100个单位,向上走了33个单位。‎ 答案选C 二、填空题(本题共8小题,每小题共3分,共24分)‎ ‎9、计算:=     ‎ 解:本题主要考查:同底数幂的乘法法则。答案 ‎10、根据教育部统计,参加2014年全国高等学校招生考试的考生约为9390000人,用科学记数法表示9390000是      。‎ 解:本题主要考查:科学记数法的表示方法 [来源:Zxxk.Com]‎ ‎11、如图,点A、B、C、都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,‎ 那么∠ACB的大小是  ‎ 解:本题主要考查:同弧所对的圆心角与圆周角的大小关系 过程略 28°‎ ‎12、某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级,绘制成如图的扇形统计图,则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为      ‎ 解:本题主要考查扇形统计图中得到信息,即总人数为60÷20%=300人,然后计算出A等级的百分比:90÷300×100%=30%,再计算圆心角为:360°×30%=108°‎ ‎13、孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处,看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素),则此塔高约为   米(结果保留整数,参考数据:sin20°≈0.3420,sin70°≈0.9397,≈0.3640,tan70°≈2.7475)‎ 解:本题主要考查学生对三角函数的边角关系的运用能力。给出草图,要求AC,‎ ‎14、分解因式:=   。‎ 解:本题的目的主要是让学生用分组分解法。但也可以去括号后,进行因式分解(利用配方或十字相乘)‎ ‎15、直线与相交点(-2,0),且两直线与轴围成的三角形面积为4,那么=     ‎ 解:本题考查学生对点的坐标与它到两轴的距离的理解。‎ 交点到y轴的距离为2,面积为4,故底边长为4,=4‎ ‎16、如果函数的图像经过平面直角坐标系的四个象限,那么的取值范围是   ‎ 解法一:经过平面直角坐标系的四个象限 ‎∴需满足下列两条件:‎ ‎(1)它与轴有两个交点 即:‎ 解之得:‎ 由于,故抛物线的对称轴,给出草图。‎ ‎(2)抛物线与轴的交点纵坐标>0‎ 即:‎ 解之得:‎ 综上可知:‎ 解法二: 经过平面直角坐标系的四个象限 ‎∴需满足下列两条件:‎ ‎(1)它与轴有两个交点 即:‎ 解之得:‎ ‎(2)方程的两根符号相反(分居在原点的两侧,即一正,一负)‎ 即:‎ 即:‎ 解之得:‎ 综上可知:‎ 三、解答题(本大题8小题,共52分)‎ ‎17、(本题满分4分)计算:‎ ‎18、(本题满分4分)先化简,再求值:,其中 ‎19、(本题满分6分)我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”,根据各县市区的入选结果制作出如下统计表,后来发现,统计前三行的数据都是正确的,后三行中有一个数据是错误的,请回答下列问题:‎ ‎(1)统计表中=    ,=    ;‎ ‎(2)统计表后三行中,哪一个数据是错误的?正确的值是多少?‎ ‎(3)株洲市决定从炎陵县的4位“最有孝心的美少年”任选两位作为市级形象代言人,A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位,问A、B同时入选的概率是多少?‎ 区域 频数 频率 炎陵县 ‎4‎ 茶陵县 ‎5‎ ‎0.125‎ 攸县 ‎0.15‎ 醴陵市 ‎8‎ ‎0.2‎ 株洲县 ‎5‎ ‎0.125‎ 株洲城区 ‎12‎ ‎0.25‎ 解:(1)由于前三行的数据都是正确的,故选择茶陵数据作为计算依据,求出总人数为:‎ ‎5÷0.125=40,故=4÷40=0.1;=40×0.15=6‎ ‎(2)株洲城区的频率是错误的:12÷40=0.3‎ ‎(3)设炎陵县的4人,分别为A、B、C、D,画出树状图:‎ 故P=‎ ‎20、(本题满分6分)家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩,据以往的经验,他获得如下信息:‎ ‎(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米;‎ ‎(2)他上山2小时到达的位置,离山顶还有1千米;‎ ‎(3)抄近路下山,下山路程比上山路程近2千米;‎ ‎(4)下山用了1个小时。‎ 根据上面信息,他作出如下计划:‎ ‎(1)在山顶浏览1个小时;‎ ‎(2)中午12:00回家吃中餐。‎ 若依据以上信息和计划登山游玩,请问孔明同学应该在什么时间从家里出发?‎ 解:分析此题信息量极大,不是常见的应用题,需要进行相关的整理。‎ 由(1)得:V下=(V上+1)千米每小时 由(2)得:S上+1=S全(S全表示到山顶的距离),T上=2小时 由(3)得:S下+2=S全(S全表示到山顶的距离)‎ 由(4)得:T下=1小时 由上可知::S下+2=S上+1①‎ 涉及公式:V=ST S上=V上×T上=V上×2;S下=V下×T下=V下×1=(V上+1)×1‎ 代入①得: (V上+1)×1+2=V上×2+1‎ 解得:V上=2千米每小时,V下=3千米每小时,S全=5千米 ‎(二)计算计划所花费的时间:‎ T计划上=S全÷V上=小时 T计划下=1小时 浏览1小时 总共用时=+1+1=小时=4小时30分钟 ‎(三)计算出发时间 ‎12:00-4小时30分钟=7:30‎ 答:他应在7:30出发。‎ 若对(3)给的信息若理解为:他在上山2小时的位置返回题目的解答如下:‎ 解: ‎ ‎(一)计算:上,下山速度V上、V下及到山顶距离S全 由(1)得:V下=(V上+1)千米每小时 由(2)得:S上+1=S全(S全表示到山顶的距离)T上=2小时 由(3)得:S下+3=S全(S全表示到山顶的距离)‎ 由(4)得:T下=1小时 由上可知::S下+3=S上+1①‎ 涉及公式:V=ST S上=V上×T上=V上×2;S下=V下×T下=V下×1=(V上+1)×1‎ 代入①得: (V上+1)×1+3=V上×2+1‎ 解得:V上=3千米每小时,V下=4千米每小时,S全=7千米 ‎(二)计算计划所花费的时间:‎ T计划上=S全÷V上=小时 T计划下=1÷V下+1=小时 浏览1小时 总共用时=+1+=小时=4小时35分钟 ‎(三)计算出发时间 ‎12:00-4小时35分钟=7:25‎ 答:他应在7:25出发。‎ ‎21、(本题满分6分)已知关于的一元二次方程,其中、、分别是△ABC的三边长。‎ ‎(1)如果是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由 ‎(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;‎ ‎(3)如果△ABC是等边三角形,试求出这个一元二次方程的根。‎ 解:(1)利用一元二次方程解的意义,‎ 将代入原方程得:‎ ‎,即可得:‎ 故△ABC是等腰三角形。‎ ‎(2)考查一元二次方程的根与判别式的关系:‎ 由已知可知:△=‎ 即:‎ 可得:‎ 故△ABC是直角三角形。‎ ‎(3)考查等边三角形的三边相等,即 故原方程可化为:‎ 解之得:‎ ‎22(本题满分8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF)‎ ‎(1)求证:△ACE≌△AFE ‎(2)求tan∠CAE的值。‎ 解:(1)考查学生对全等三角形的判定的运用 ‎(2)考查学生对全等三角形的性质运用,三角函数的运用能力 设:BF=,则AF=AC=2,AB=3‎ 由勾股定理可知:CB=‎ 在Rt△ABC中,∠C=90°,tan∠B=‎ 在Rt△EFB中,∠EFB=90°,tan∠B=‎ 得到:EF=‎ 由(1)知:CE=EF=‎ 在Rt△ACE中,∠ACE=90°,tan∠CAE=‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎23、(本题满分8分)如图,PQ为圆O的直径,点B在线段PQ的延长线上,OQ=QB=1,动点A在圆O的上半圆上运动(包含P、Q两点),以线段AB为边向上作等边三角形ABC,‎ ‎(1)当线段AB所在的直线与圆O相切时,求△ABC的面积(图1)‎ ‎(2)设∠AOB=α,当线段AB与圆O只有一个公共点(即A点)时,求α的范围(如图2,直接写出答案)‎ ‎(3)当线段AB与圆O有两个公共点A、M时,如果AO⊥PM于点N,求CM的长度(如图3)‎ 解:(1)如下图连结OA,‎ ‎∵AB是圆O的切线 ‎∴OA⊥BA,∠OAB≒90°‎ ‎∵Rt△ABO中,OA=1,OB=2‎ ‎∴AB=‎ ‎∴△ABC为边长为的等边三角形 ‎∴∠ABE≒60°‎ 过点A作AE⊥BC于点E ‎∵Rt△ABE中,AB=,∠ABE≒60°‎ ‎∴AE=‎ ‎∴S△ABC=BC×AE=××=‎ ‎(2)这一问主要考查学生对线段AB与圆O只有一个交点所在位置的理解:‎ 可以看出,当AB是圆O的切线时,∠AOB最大,此时∠AOB≒60°[来源:Zxxk.Com]‎ 然后随着A点靠近Q ‎ 点,∠AOB越来越小,最小时,就是A与Q重合,此时∠AOB≒0°‎ 故0°∠AOB60°‎ ‎(3)主要考查学生思路:垂径分弦、分弧,及弧与圆心角、圆周角的关系及相似的运用 连结AP,QM ‎∵AO⊥PM于点N ‎∴‎ ‎∴∠AOP=∠POM,[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎∵∠MQP=∠POM ‎∴∠AOP=∠MQP ‎∴AO∥MQ ‎∵OQ=QB ‎∴AM=BM=‎ ‎∵△ABC为等边三角形 ‎∴CM⊥AB ‎∵∠MQB+∠MQP=180°‎ ‎∠PAB+∠MQP=180°‎ ‎∴∠PAB=∠MQB 在△BAP与△BQM中 ‎∵∠PAB=∠MQB ‎ ∠MBQ=∠PBA ‎∴△BAP∽△BQM ‎∴‎ 即:BA×BM=BP×BQ ‎∴‎ ‎∴BA=‎ ‎∵Rt△BMC中,∠BMC=90°,BM==,AB=‎ ‎∴CM=‎ ‎24、(本题满分10分)已知抛物线和直线 ‎(1)求证:无论取何实数值,抛物线与轴有两个不同的交点;‎ ‎(2)抛物线与轴交于点A、B,直线与轴点C,设A、B、C三点的横坐标分别是、、,求的最大值;‎ ‎(3)如果抛物线与与轴交于点A、B在原点的右边 ‎,直线与轴点C在原点的左边,又抛物线、直线分别 交轴于点D、E,直线AD交直线CE于点G(如图),且 ‎,求抛物线的解析式。‎ 解:(1)此问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 ‎∵的判别式△= ‎ ‎∴无论取何实数值,抛物线与轴有两个不同的交点 ‎(2)主要考查学生对直线与抛物线与轴交点横坐标与方程的关系、根与系数的关系及二次函数的最大值的求法。‎ ‎∵与轴点C的横坐标为:‎ 与轴交于点A、B的横坐标为方程:的两个根 ‎∴=,‎ ‎∴=‎ ‎∴最大值为:‎ ‎(3)此题考查了:从到比例式,然后再由比例式进行变形得到相似,然后得到平行,通过平行得比例式从而求解出函数解析式:‎ ‎①证明:AD∥BE ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即:‎ ‎∵∠GCA≒∠ECB,‎ ‎∴△GCA∽△ECB ‎∴∠GAC≒∠EBC ‎∴AD∥BE ‎②证明△OAD∽△OBE 在△OAD与△OBE中 ‎∵∠GAC≒∠EBC,∠DOA≒∠EOB ‎∴△OAD∽△OBE ‎∴‎ ‎③利用根与系数的关系及函数关系建立方程 设的两根分别为与 则可知:OA=,OB=‎ OD长度为与轴交点的纵坐标的长度;OE长度为:与轴交点的纵坐标 ‎∵‎ ‎∴ (方程一)‎ 根据根与系数的关系列出另两方程:‎ ‎(方程二)‎ ‎(方程三)‎ 将方程一、二、三组成方程组。解之得:‎ ‎∴抛物线的解析式为:‎ ‎④方程的解法技巧:‎ 将方程三代入方程一得:‎ ‎∵由图可知,对称轴在轴的右边 ‎∴‎ 故得:‎ 代入方程二从而解出:‎ 将、代入方程三:即可得 ‎  ‎
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