2020九年级数学下册 第三章 圆

2020九年级数学下册 第三章 圆

课时作业(二十三)‎ ‎[第三章　4　第2课时　圆周角定理的推论]‎ 一、选择题 ‎1．如图K－23－1所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD＝50°，则∠DAB的度数是(　　)‎ 图K－23－1‎ A．30° B．40°‎ C．50° D．60°‎ ‎2.2017·广东如图K－23－2，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－23－2‎ A．130° B．100° C．65° D．50°‎ ‎3．下列命题中，正确的有(　　)‎ ‎①90°的圆周角所对的弦是直径；　‎ ‎②若圆周角相等，则它们所对的弧也相等；　‎ 9‎ ‎③同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎4．如图K－23－3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是(　　)‎ 图K－23－3‎ A．44° B．54°‎ C．72° D．53°‎ ‎　　‎ ‎5．如图K－23－4，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD＝(　　)‎ ‎　‎ 图K－23－4‎ A. B. C. D. ‎6．2018·咸宁如图K－23－5，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)‎ 图K－23－5‎ A．6 B．‎8 C．5 D．5 二、填空题 ‎7．2017·南浔区期末如图K－23－6，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是________．‎ 图K－23－6‎ 9‎ ‎　　　‎ ‎8．如图K－23－7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，若BE＝8且MD＝2，则直径AB为________．‎ 图K－23－7‎ ‎9．如图K－23－8，⊙O的半径为1，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D，E也在⊙O上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是________．‎ 图K－23－8‎ 三、解答题 ‎10．如图K－23－9，已知在半圆AOB中，AD＝DC，∠CAB＝30°，AC＝2 ，求AD的长．‎ 图K－23－9‎ ‎11．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.‎ ‎12．如图K－23－10，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝66°.‎ ‎(1)求∠B的度数；‎ 9‎ ‎(2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．‎ 图K－23－10‎ ‎13．已知：如图K－23－11所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.‎ ‎(1)求∠EBC的度数；‎ ‎(2)求证：BD＝CD.‎ 图K－23－11‎ ‎14．如图K－23－12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB＝DC，延长BA，CD相交于点E.‎ ‎(1)求证：∠EAD＝∠CAD；‎ ‎(2)若AC＝10，sin∠BAC＝，求AD的长．‎ 9‎ 图K－23－12‎ 图形变换题已知：如图K－23－13，AB是⊙O的一条弦，C为的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F.‎ ‎(1)猜想图①中∠CEB与∠FDC的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，点E，F的位置也随之变化，请在下面的两个备用图中分别画出直线l在不同位置时，使(1)中的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个图形给予证明．‎ 图K－23－13‎ 9‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] B　∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠B＝∠C＝50°，‎ ‎∴∠DAB＝180°－∠ADB－∠B＝40°.故选B.‎ ‎2．[解析] C　∵∠CBE＝50°，‎ ‎∴∠ABC＝180°－∠CBE＝180°－50°＝130°.‎ ‎∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－130°＝50°.‎ 又∵DA＝DC，‎ ‎∴∠DAC＝＝65°.故选C.‎ ‎3．[答案] C ‎4．[解析] B　∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.又∵∠E＝36°，∴∠B＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝54°.‎ ‎5．[解析] C　连接CD，如图所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.‎ ‎∵∠COD＝90°，‎ ‎∴CD＝＝5.‎ ‎∵∠OBD＝∠OCD，‎ ‎∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故选C.‎ ‎6．[解析] B　如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，‎ 则∠AOB＋∠BOE＝180°.‎ 又∵∠AOB＋∠COD＝180°，‎ ‎∴∠BOE＝∠COD，‎ ‎∴BE＝CD＝6.‎ ‎∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，‎ ‎∴AB＝＝＝8.故选B.‎ ‎7．[答案] 55°‎ ‎[解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝∠BCF＋∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠A＝∠BCF.‎ ‎∵∠EBF＝∠A＋∠E，而∠EBF＝180°－∠BCF－∠F，‎ 9‎ ‎∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F，‎ ‎∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，‎ 即2∠A＝180°－(∠E＋∠F)＝110°，‎ ‎∴∠A＝55°.‎ ‎8．[答案] 10　‎ ‎[解析] 连接AD，设AB＝x.∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AE⊥BE，AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝x－4.∵在Rt△ABE中，BE＝8，∠AEB＝90°，∴x2＝(x－4)2＋82，解得x＝10，即直径AB为10.故答案为10.‎ ‎9．[答案] ‎[解析] 连接BD，OC，如图．‎ ‎∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2.‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ ‎∴∠BOC＝2∠A＝120°.‎ 又OB＝OC，∴∠CBD＝30°.‎ 在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，‎ ‎∴矩形BCDE的面积＝BC·CD＝.‎ ‎10．解：∵AB是半圆的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.‎ ‎∵AD＝DC，且所对的圆心角为30°×2＝60°，∴，，所对的圆心角均为60°，‎ ‎∴BC＝AD.‎ 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，AC＝2 ，‎ ‎∴BC＝2 ×tan30°＝2，∴AD＝2.‎ ‎11．[解析] 因为AD＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．再根据圆内接四边形的性质可得出∠B＝∠D＝90°，因此，四边形ABCD是矩形．‎ 解：四边形ABCD为矩形．‎ 证明：如图，‎ ‎∵AD∥BC，AD＝BC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ 9‎ ‎∴∠B＝∠D.‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠B＋∠D＝180°，∴∠B＝∠D＝90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形．‎ ‎12．解：(1)∵∠CAB＝∠CDB(同弧所对的圆周角相等)，∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°.‎ 又∵∠APD＝66°，‎ ‎∴∠B＝∠APD－∠CDB＝26°.‎ ‎(2)过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝4，BE＝DE.‎ 又∵O是AB的中点，‎ ‎∴OE是△ABD的中位线，‎ ‎∴AD＝2OE＝8.‎ ‎13．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.‎ 又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°.‎ ‎∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，‎ ‎∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝22.5°.‎ ‎(2)证明：如图所示，连接AD.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.‎ 又∵AB＝AC，∴BD＝CD.‎ ‎14．解：(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD.‎ ‎∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD，‎ ‎∴∠EAD＝∠DBC.‎ 又∵∠DBC＝∠CAD，∴∠EAD＝∠CAD.‎ ‎(2)∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC＝∠ADC＝90°.‎ ‎∵AC＝10，sin∠BAC＝，∴＝，‎ ‎∴BC＝6，∴AB＝8.‎ ‎∵∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝10，ED＝CD.‎ ‎∵∠ADE＝∠EBC，∠E＝∠E，‎ ‎∴△EAD∽△ECB，‎ ‎∴＝＝，即＝＝，‎ 9‎ 得ED＝3 ，∴AD＝.‎ ‎[素养提升]‎ ‎[解析] (1)根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，根据圆周角定理的推论得到∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC；(2)根据垂径定理得到CD⊥AB，∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC.‎ 解：(1)∠CEB＝∠FDC.‎ 证明：∵CD是⊙O的直径，C为的中点，‎ ‎∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.‎ ‎∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，‎ ‎∴∠FDC＋∠ECD＝90°，‎ ‎∴∠CEB＝∠FDC.‎ ‎(2)所画图形不唯一，如图①②.选图②进行证明：如图②，∵CD是⊙O的直径，C为的中点，‎ ‎∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.‎ ‎∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，‎ ‎∴∠FDC＋∠ECD＝90°，∴∠CEB＝∠FDC.‎ 9‎