2017年黑龙江省佳木斯市中考数学试卷

2017年黑龙江省佳木斯市中考数学试卷

2017 年黑龙江省佳木斯市中考数学试卷 　 一、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国 南海“可燃冰”储存量达到 800 亿吨，将 800 亿吨用科学记数法可表示为　 　 吨． 2．（3 分）在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　 　． 3．（3 分）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　 　，使得△ABC≌△ DEF． 4．（3 分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 3 个白球、若干红球， 从中随机摸取 1 个球，摸到红球的概率是 ，则这个袋子中有红球　 　个． 5．（3 分）若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围 是　 　． 6．（3 分）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水 不超过 10 吨，每吨 2.2 元；超过 10 吨的部分，每吨加收 1.3 元．小明家 4 月份 用水 15 吨，应交水费　 　元． 7．（3 分）如图，BD 是⊙O 的切线，B 为切点，连接 DO 与⊙O 交于点 C，AB 为⊙ O 的直径，连接 CA，若∠D=30°，⊙O 的半径为 4，则图中阴影部分的面积为　 　． 8．（3 分）圆锥的底面半径为 2cm，圆锥高为 3cm，则此圆锥侧面展开图的周长 为　 　cm． 9．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=BC=8，AO=BO，点 M 是射线 CO上的一个动 点，∠AOC=60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为　 　． 10．（3 分）如图，四条直线 l1：y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x，OA1=1，过点 A1 作 A1A2⊥x 轴，交 l1 于点 A2，再过点 A2 作 A2A3⊥l1 交 l2 于点 A3，再过点 A3 作 A3A4⊥l2 交 y 轴于点 A4…，则点 A2017 坐标为　 　． 　 二、选择题（每题 3 分，满分 30 分） 11．（3 分）下列运算中，计算正确的是（　　） A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6 C．x6÷x2=x3 D．（a+b）2=a2+b2 12．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 13．（3 分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视 图．则小立方体的个数可能是（　　） A．5 或 6 B．5 或 7 C．4 或 5 或 6 D．5 或 6 或 7 14．（3 分）某市 4 月份日平均气温统计图情况如图所示，则在日平均气温这组 数据中，众数和中位数分别是（　　） A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，13 15．（3 分）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通， 现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面 上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系图象可能是（　　） A． B． C． D． 16．（3 分）反比例函数 y= 图象上三个点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3， y3），若 x1＜x2＜0＜x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是 （　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 17．（3 分）已知关于 x 的分式方程 = 的解是非负数，那么 a 的取值范围是 （　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1 且 a≠9 D．a≤1 18．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点 P、E 分别在 AC、AD 上，则 PE+PD 的最小值是（　　） A．2 B．2 C．4 D． 19．（3 分）“双 11”促销活动中，小芳的妈妈计划用 1000 元在唯品会购买价格分 别为 80 元和 120 元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（　　） A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．7 种 20．（3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E、F 是 AD 边上的两个动点， 且 AE=FD，连接 BE、CF、BD，CF 与 BD 交于点 G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列结论正确的个数是（　　） ①△ABG∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG⊥BE ④S △HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线 段 DH 的最小值是 2 ﹣2． A．2 B．3 C．4 D．5 　 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中 a=1+2cos60°． 22．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，2）请解答下列问题： （1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出 A1 的坐标． （2）画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C2，并写出 A2 的坐标． （3）画出△A2B2C2 关于原点 O 成中心对称的△A3B3C3，并写出 A3 的坐标． 23．（6 分）如图，Rt△AOB 的直角边 OA 在 x 轴上，OA=2，AB=1，将 Rt△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 Rt△COD，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 B、D 两点． （1）求二次函数的解析式； （2）连接 BD，点 P 是抛物线上一点，直线 OP 把△BOD 的周长分成相等的两部 分，求点 P 的坐标． 24．（7 分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最 强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、 九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获 得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信 息回答下列问题： （1）本次调查中共抽取了　 　名学生． （2）补全条形统计图． （3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是　 　 度． （4）若该学校有 2000 人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是 多少人？ ． 25．（8 分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆 货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离 y1 （千米），y2（千米）与行驶的时间 x（小时）的函数关系图象如图 1 所示． （1）甲、乙两地相距　 　千米． （2）求出发 3 小时后，货车离服务区的路程 y2（千米）与行驶时间 x（小时） 之间的函数关系式． （3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回 乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离 y3（千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数关系图线如图 2 中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中， 经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？[来源:Zxxk.Com] 26．（8 分）已知：△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连 接 AD，BC，点 H 为 BC 中点，连接 OH． （1）如图 1 所示，易证：OH= AD 且 OH⊥AD（不需证明） （2）将△COD 绕点 O 旋转到图 2，图 3 所示位置时，线段 OH 与 AD 又有怎样的 关系，并选择一个图形证明你的结论． 27．（10 分）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面 积、增加种植种类，促进经济发展．2017 年春，预计种植西红柿、马铃薯、青 椒共 100 公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植 面积的 2 倍，经预算，种植西红柿的利润可达 1 万元/公顷，青椒 1.5 万元/公顷， 马铃薯 2 万元/公顷，设种植西红柿 x 公顷，总利润为 y 万元． （1）求总利润 y（万元）与种植西红柿的面积 x（公顷）之间的关系式． （2）若预计总利润不低于 180 万元，西红柿的种植面积不低于 8 公顷，有多少 种种植方案？ （3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的 在冬季同时建 造 A、B 两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资 A 种类型的 大棚 5 万元/个，B 种类型的大棚 8 万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？ 28．（10 分）如图，矩形 AOCB 的顶点 A、C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上，线 段 OA、OC 的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点，将△BCN 沿直线 BN 折叠，点 C 恰好落在直线 MN 上 的点 D 处，且 tan∠CBD= （1）求点 B 的坐标； （2）求直线 BN 的解析式； （3）将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移，求直线 BN 扫过矩 形 AOCB 的面积 S 关于运动的时间 t（0＜t≤13）的函数关系式． 　 2017 年黑龙江省佳木斯市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）（2017•黑龙江）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门， 目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到 800 亿吨，将 800 亿吨用科学记数法可表 示为　8×1010　吨． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与 小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：800 亿=8×1010． 故答案为：8×1010． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值． 　 2．（3 分）（2017•黑龙江）在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　x≠ 1　． 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣1≠0， 解得 x≠1． 故答案为：x≠1． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 3．（3 分）（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　AB=DE 或 BC=EF 或 AC=DF 或 AD=BE（只需添加一个即可）　，使得△ABC≌△DEF． 【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加 AB=DE、BC=EF 或 AC=DF 根据 ASA、AAS 即可解题． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴∠ABC=∠E， ∵AC∥DF， ∴∠A=∠EDF， ∵在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF， 同理，BC=EF 或 AC=DF 也可证△ABC≌△DEF． 故答案为 AB=DE 或 BC=EF 或 AC=DF 或 AD=BE（只需添加一个即可）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两 个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的 夹角． 　 4．（3 分）（2017•黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 3 个白球、若干红球，从中随机摸取 1 个球，摸到红球的概率是 ，则这个袋子中 有红球　5　个． 【分析】设这个袋子中有红球 x 个，根据已知条件列方程即可得到结论． 【解答】解：设这个袋子中有红球 x 个， ∵摸到红球的 概率是 ， ∴ = ， ∴x=5， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果 数． 　 5．（3 分）（2017•黑龙江）若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围是　a≥1　． 【分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出 a 的取值范围． 【解答】解：由 x﹣a＞0 得，x＞a；由 1﹣x＞x﹣1 得，x＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1． 故答案为：a≥1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小 小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 　 6．（3 分）（2017•黑龙江）为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费， 每月每户用水不超过 10 吨，每吨 2.2 元；超过 10 吨的部分，每吨加收 1.3 元．小 明家 4 月份用水 15 吨，应交水费　39.5　元． 【分析】先根据单价×数量=总价求出 10 吨的水费，再根据单价×数量=总价加 上超过 10 吨的部分的水费， 再把它们相加即可解答． 【解答】解：2.2×10+（2.2+1.3）×（15﹣10） =22+3.5×5 =22+17.5 =39.5（元）． 答：应交水费 39.5 元． 故答案为：39.5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算．解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系列出算式，再求解． 　 7．（3 分）（2017•黑龙江）如图，BD 是⊙O 的切线，B 为切点，连接 DO 与⊙O 交于点 C，AB 为⊙O 的直径，连接 CA，若∠D=30°，⊙O 的半径为 4，则图中阴 影部分的面积为　 　． [来源:Zxxk.Com] 【分析】由条件可求得∠COA 的度数，过 O 作 OE⊥CA 于点 E，则可求得 OE 的 长和 CA 的长，再利用 S 阴影=S 扇形 COA﹣S△COA 可求得答案． 【解答】解：如图，过 O 作 OE⊥CA 于点 E， ∵DB 为⊙O 的切线， ∴∠DBA=90°， ∵∠D=30°， ∴∠BOC=60°， ∴∠COA=120°， ∵OC=OA=4， ∴∠OAE=30°， ∴OE=2，CA=2AE=4 ∴S 阴影=S 扇形 COA﹣S△COA= ﹣ ×2×4 = π﹣4 ， 故答案为： π﹣4 ． 【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形 COA 和△COA 的面积是解题的 关键． 　 8．（3 分）（2017•黑龙江）圆锥的底面半径为 2cm，圆锥高为 3cm，则此圆锥侧 面展开图的周长为　2 +4π　cm． 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥周长=弧长+2 母线长． 【解答】解：∵圆锥的底面半径是 2，高是 3， ∴圆锥的母线长为： = ， ∴这个圆锥的侧面展开图的周长=2× +2π×2=2 +4π． 故答案为 2 +4π． 【点评】本题考查圆锥的计算，明确圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形， 并熟练掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形． 　 9．（3 分）（2017•黑龙江）如图，在△ABC 中，AB=BC=8，AO=BO，点 M 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为　4 或 4 或 4　． 【分析】分三种情况讨论：①当 M 在 AB 下方且∠AMB=90°时，②当 M 在 AB 上 方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含 30°直角三角形的性质、直 角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【解答】解：如图 1，当∠AMB=90°时， ∵O 是 AB 的中点，AB=8， ∴OM=OB=4， 又∵∠AOC=∠BOM=60°， ∴△BOM 是等边三角形， ∴BM=BO=4， ∴Rt△ABM 中，AM= =4 ； 如图 2，当∠AMB=90°时， ∵O 是 AB 的中点，AB=8， ∴OM=OA=4， 又∵∠AOC=60°， ∴△AOM 是等边三角形， ∴AM=AO=4； 如图 3，当∠ABM=90°时， ∵∠BOM=∠AOC=60°， ∴∠BMO=30°， ∴MO=2BO=2×4=8， ∴Rt△BOM 中，BM= =4 ， ∴Rt△ABM 中，AM= =4 ， 综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为 4 或 4 或 4． 故答案为：4 或 4 或 4． 【点评】本题主要考查了勾股定理，含 30°直角三角形的性质和直角三角形斜边 的中线的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键． 　 10．（3 分）（2017•黑龙江）如图，四条直线 l1：y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x，OA1=1，过点 A1 作 A1A2⊥x 轴，交 l1 于点 A2，再过点 A2 作 A2A3⊥l1 交 l2 于点 A3，再过点 A3 作 A3A4⊥l2 交 y 轴于点 A4…，则点 A2017 坐标为　 （（ ）2016，0）　． 【分析】先利用各直线的解析式得到 x 轴、l1、l2、y 轴、l3、l4 依次相交为 30 的 角，各点的位置是每 12 个一循环，由于 2017=168×12+1，则可判定点 A2016 在 x 轴的正半轴上，再规律得到 OA2016=（ ）2015，然后表示出点 A2017 坐标． 【解答】解：∵y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x， ∴x 轴、l1、l2、y 轴、l3、l4 依次相交为 30 的角， ∵2017=168×12+1， ∴点 A2016 在 x 轴的正半轴上， ∵OA2= = ， OA3=（ ）2， OA4=（ ）3， … OA2016=（ ）2015， ∴点 A2017 坐标为（（ ）2016，0）． 故答案为（（ ）2016，0）． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标：解答此题的关键是利用三角函数确定各 点到原点的距离和点的位置的循环规律． 　 二、选择题（每题 3 分，满分 30 分） 11．（3 分）（2017•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（　　） A．（a2b）3=a5b3B．（3a2）3=27a6 C．x6÷x2=x3 D．（a+b）2=a2+b2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a6b3，不符合题意； B、原式=27a6，符合题意； C、原式=x4，不符合题意； D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意， 故选 B 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 12．（3 分）（2017•黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用中心对称图形与轴对称图形性质判断即可． 【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ， 故选 A 【点评】此题考查了中心对称图形，以及轴对称图形，熟练掌握各自的性质是解 本题的关键． 　 13．（3 分）（2017•黑龙江）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的 俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（　　） A．5 或 6 B．5 或 7 C．4 或 5 或 6 D．5 或 6 或 7 【分析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视 图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可． 【解答】解：由俯视图易得最底层有 4 个小立方体，由左视图易得第二层最多有 3 个小立方体和最少有 1 个小立方体， 那么小立方体的个数可能是 5 个或 6 个或 7 个． 故选 D． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考 查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到 答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体． 　 14．（3 分）（2017•黑龙江）某市 4 月份日平均气温统计图情况如图所示，则在 日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A．13，13 B．13，13.5 C．13，14 D．16，13 【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求 解． 【解答】解：这组数据中，13 出现了 10 次，出现次数最多，所以众数为 13， 第 15 个数和第 16 个数都是 14，所以中位数是 14． 故选 C． 【点评】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做 众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个 数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以 不止一个．也考查了条形统计图． 　 15．（3 分）（2017•黑龙江）如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且 中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水 开始，乙水池水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【解答】解：先注甲池水未达连接地方时，乙水池中的水面高度没变化；当甲池 中水到达连接的地方，乙水池中水面上升比较快；当两水池水面持平时，乙水池 的水面持续增长较慢，最后两池水面持平后继续快速上升， 故选：D． 【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的 数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 　 16．（3 分）（2017•黑龙江）反比例函数 y= 图象上三个点的坐标为（x 1，y1）、 （x2，y2）、（x3，y3），若 x1＜x2＜0＜x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是 （　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再 根据 x1＜x2＜0＜x3 即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数 y= 中，k=3＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而 减小． ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴（x1，y1）、（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限， ∴y2＜y1＜0＜y3． 故选 B． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上 各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 　 17．（3 分）（2017•黑龙江）已知关于 x 的分式方程 = 的解是非负数，那么 a 的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1 且 a≠9 D．a≤1 【分析】根据分式方程的解法即可求出 a 的取值范围； 【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3， 9x﹣3a=x﹣3， 8x=3a﹣3 ∴x= ， 由于该分式方程有解， 令 x= 代入 x﹣3≠0， ∴a≠9， ∵该方程的解是非负数解， ∴ ≥0， ∴a≥1， ∴a 的范围为：a≥1 且 a≠9， 故选（C） 【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本 题属于基础题型． 　 18．（3 分）（2017•黑龙江）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点 P、 E 分别在 AC、A D 上，则 PE+PD 的最小值是（　　） A．2 B．2 C．4 D． 【分析】作 D 关于直线 AC 的对称点 D′，过 D′作 D′E⊥AD 于 E，则 D′E=PE+PD 的 最小值，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：作 D 关于直线 AC 的对称点 D′，过 D′作 D′E⊥AD 于 E， 则 D′E=PE+PD 的最小值， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=90°， ∵AD=4，∠DAC=30°， ∴CD= ， ∵DD′⊥AC， ∴∠CDD′=30°， ∴∠ADD′=60°， ∴DD′=4， ∴D′E=2 ， 故选 B． 【点评】本题考查了轴对称﹣最小距离问题，矩形的性质，解直角三角形，正确 的作出辅助线是解题的关键． 　 19．（3 分）（2017•黑龙江）“双 11”促销活动中，小芳的妈妈计划用 1000 元在唯 品会购买价格分别为 80 元和 120 元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方 案有（　　） A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．7 种 【分析】设购买80 元的商品数量为 x，购买 120 元的商品数量为 y，根据总费用 是 1000 元列出方程，求得正整数 x、y 的值即可． 【解答】解：设购买 80 元的商品数量为 x，购买 120 元的商品数量为 y， 依题意得：80x+120y=1000， 整理，得 y= ． 因为 x 是正整数， 所以当 x=2 时，y=7． 当 x=5 时，y=5． 当 x=8 时，y=3． 当 x=11 时，y=1． 即有 4 种购买方案． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系， 找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解． 　 20．（3 分）（2017•黑龙江）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E、F 是 AD 边 上的两个动点，且 AE=FD，连接 BE、CF、BD，CF 与 BD 交于点 G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列结论正确的个数是（　　） ①△ABG∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG⊥BE ④S △HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线 段 DH的最小值是 2 ﹣2． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利 用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ABE 和△DCF 中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ADG 和△CDG 中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCF， ∴∠ABE=∠DAG， ∵∠DAG+∠BAH=90°， ∴∠BAE+∠BAH=90°， ∴∠AHB=90°， ∴AG⊥BE，故③正确， 同法可证：△AGB≌△CGB， ∵DF∥CB， ∴△CBG∽△FDG， ∴△ABG∽△FDG，故①正确， ∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD， 又∵∠DAG=∠FCD，[来源:学&科&网 Z&X&X&K] ∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确 取 AB 的中点 O，连接 OD、OH， ∵正方形的边长为 4， ∴AO=OH= ×4=2， 由勾股定理得，OD= =2 ， 由三角形的三边关系得，O、D、H 三点共线时，DH 最小， DH 最小=2 ﹣2． 无法证明 DH 平分∠EHG，故②错误， 故①③④⑤正确， 故选 C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关 系，勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难 点在于⑤作辅助线并确定出 DH 最小时的情况． 　 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）（2017•黑龙江）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中 a=1+2cos60°． 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入即可 解答本题． 【解答】解： ÷ ﹣ = = = ， 当 a=1+2cos60°=1+2× =1+1=2 时，原式= ． 【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明 确分式化简求值的方法． 　 22．（6 分）（2017•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都 在格点上，点 A 的坐标为（2，2）请解答下列问题： （1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出 A1 的坐标． （2）画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C2，并写出 A2 的坐标． （3）画出△A2B2C2 关于原点 O 成中心对称的△A3B3C3，并写出 A3 的坐标． 【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可． 【解答】解：（1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时 A1 的 坐标为（﹣2，2）； （2）画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时 A2 的 坐标为（4，0）； （3）画出△A2B2C2 关于原点 O 成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时 A3 的坐 标为（﹣4，0）． 【点评】此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的 性质是解本题的关键． 　 23．（6 分）（2017•黑龙江）如图，Rt△AOB 的直角边 OA 在 x 轴上，OA=2， AB=1，将 Rt△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 Rt△COD，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 B、D 两点． （1）求二次函数的解析式；[来源:Zxxk.Com] （2）连接 BD，点 P 是抛物线上一点，直线 OP 把△BOD 的周长分成相等的两部 分，求点 P 的坐标． 【分析】（1）由旋转性质可得 CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点 B、D 坐标，代 入解析式即可得出答案； （2）由直线 OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分且 OB=OD，知 DQ=BQ，即点 Q 为 BD 的中点，从而得出点 Q 坐标，求得直线 OP 解析式，代入抛物线解析式 可得点 P 坐标． 【解答】解：（1）∵Rt△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 Rt△COD， ∴CD=AB=1、OA=OC=2， 则点 B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为 y=﹣ x2+ x+ ； （2）如图， ∵直线 OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，且 OB=OD， ∴DQ=BQ，即点 Q 为 BD 的中点， ∴点 Q 坐标为（ ， ）， 设直线 OP 解析式为 y=kx， 将点 Q 坐标代入，得： k= ， 解得：k=3， ∴直线 OP 的解析式为 y=3x， 代入 y=﹣ x2+ x+ ，得：﹣ x2+ x+ =3x， 解得：x=1 或 x=﹣4， 当 x=1 时，y=3， 当 x=﹣4 时，y=﹣12， ∴点 P 坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）． 【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征， 熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据周长相等得出点 Q 的坐标是解题的关 键． 　 24．（7 分）（2017•黑龙江）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑 战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程 度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的 电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根 据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查中共抽取了　200　名学生． （2）补全条形统计图． （3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是　36　 度． （4）若该学校有 2000 人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是 多少人？ ． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）求得喜爱《挑战不可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可； （3）用 360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论； （4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案． 【解答】解：（1）30÷15%=200 名， 答：本次调查中共抽取了 200 名学生； 故答案为：200； （2）喜爱《挑战不可能》节目的人数=200﹣20﹣60﹣40﹣30=50 名， 补全条形统计图如图所示； （3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是 360°× =36 度； 故答案为：36； （4）2000× =600 名， 答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是 600 人． 【点评】此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇 形统计图各量的对应关系是解此题的关键． 　 25．（8 分）（2017•黑龙江）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地 驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离 服务区的距离 y1（千米），y2（千米）与行驶的时间 x（小时）的函数关系图象如 图 1 所示． （1）甲、乙两地相距　480　千米． （2）求出发 3 小时后，货车离服务区的路程 y2（千米）与行驶时间 x（小时） 之间的函数关系式． （3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回 乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离 y3（千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数关系图线如图 2 中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中， 经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？ 【分析】（1）根据图 1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离； （2）根据图象中的数据可以求得 3 小时后，货车离服务区的路程 y2 与行驶时间 x 之间的函数关系式； （3）分两种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货 车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车 和货车的距离相等． 【解答】解：（1）360+120=480（千米） 故答案为：480； （2）设 3 小时后，货车离服务区的路程 y2 与行驶时间 x 之间的函数关系式为 y2=kx+b， 由图象可得，货车的速度为：120÷3=40 千米/时， 则点 B 的横坐标为：3+360÷40=12， ∴点 P 的坐标为（12，360）， ， 得 ， 即 3 小时后，货车离服务区的路程 y2 与行驶时间 x 之间的函数关系式为 y2=40x﹣120； （3）v 客=360÷6=60 千米/时， v 邮=360×2÷8=90 千米/时， 设当邮政车去甲地的途中时，经过 t 小时邮政车与客车和货车的距离相等， 120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）t t=1.2（小时）； 设当邮政车从甲地返回乙地时，经过 t 小时邮政车与客车和货车的距离相等， 40t+60t=480 解得 t=4.8， 综上所述，经过 1.2 或 4.8 小时邮政车与客车和货车的距离相等． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了时间、路程、速度三者之间的 关系，准确识图理解两车的行驶过程是解题的关键． 　 26．（8 分）（2017•黑龙江）已知：△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB= ∠COD=90°．连接 AD，BC，点 H 为 BC 中点，连接 OH． （1）如图 1 所示，易证：OH= AD 且 OH⊥AD（不需证明）[来源:学§科§网 Z§X§X§K] （2）将△COD 绕点 O 旋转到图 2，图 3 所示位置时，线段 OH 与 AD 又有怎样的 关系，并选择一个图形证明你的结论． 【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题； （2）①如图 2 中，结论：OH= AD，OH⊥AD．延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连 接 BE，由△BEO≌△ODA 即可解决问题； ②如图 3 中，结论不变．延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连接 BE，延长 EO 交 AD 于 G．由△BEO≌△ODA 即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图 1 中， ∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°， ∴OC=OD，OA=OB， ∵在△AOD 与△BOC 中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC， ∵点 H 为线段 BC 的中点， ∴OH=HB， ∴∠OBH=∠HOB=∠OAD， 又因为∠OAD+∠ADO=90°， 所以∠ADO+∠BOH=90°， 所以 OH⊥AD （2）解：①结论：OH= AD，OH⊥AD，如图 2 中，延长 OH 到 E，使得 HE=OH， 连接 BE， 易证△BEO≌△ODA ∴OE=AD ∴OH= OE= AD 由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO ∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°， ∴OH⊥AD． ②如图 3 中，结论不变．延长 OH 到 E，使得 HE=OH，连接 BE，延长 EO 交 AD 于 G． 易证△BEO≌△ODA ∴OE=AD ∴OH= OE= AD 由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO ∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°， ∴∠AGO=90° ∴OH⊥AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、等腰 直角三角形、三角形中位线定理、旋转的性质，此题综合性较强，适用于基础较 好的学生． 　 27．（10 分）（2017•黑龙江）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定 通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017 年春，预计种植西红 柿、马铃薯、青椒共 100 公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面 积是西红柿种植面积的 2 倍，经预算，种植西红柿的利润可达 1 万元/公顷，青 椒 1.5 万元/公顷，马铃薯 2 万元/公顷，设种植西红柿 x 公顷，总利润为 y 万 元． （1）求总利润 y（万元）与种植西红柿的面积 x（公顷）之间的关系式． （2）若预计总利润不低于 180 万元，西红柿的种植面积不低于 8 公顷，有多少 种种植方案？ （3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的 在冬季同时建 造 A、B 两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资 A 种类型的 大棚 5 万元/个，B 种类型的大棚 8 万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？ 【分析】（1）根据总利润=三种蔬菜的利润之和，计算即可； （2）由题意，列出不等式组即可解决问题； （3）由题意，列出二元一次不等式，求出整数解即可； 【解答】解：（1）由题意 y=x+1.5×2x+2（100﹣3x）=﹣2x+200． （2）由题意﹣2x+200≥180， 解得 x≤10， ∵x≥8， ∴8≤x≤10． ∵x 为整数， ∴x=8，9，10． ∴有 3 种种植方案， 方案一：种植西红柿 8 公顷、马铃薯 76 公顷、青椒 16 公顷． 方案二：种植西红柿 9 公顷、马铃薯 73 公顷、青椒 18 公顷． 方案三：种植西红柿 10 公顷、马铃薯 70 公顷、青椒 20 公顷． （3）∵y=﹣2x+200， ﹣2＜0， ∴x=8 时，利润最大，最大利润为 184 万元． 设投资 A 种类型的大棚 a 个，B 种类型的大棚 b 个， 由题意 5a+8b≤ ×184， ∴5a+8b≤23， ∴a=1，b=1 或 2， a=2，b=1， a=3，b=1， ∴可以投资 A 种类型的大棚 1 个，B 种类型的大棚 1 个， 或投资 A 种类型的大棚 1 个，B 种类型的大棚 2 个， 或投资 A 种类型的大棚 2 个，B 种类型的大棚 1 个， 或投资 A 种类型的大棚 3 个，B 种类型的大棚 1 个． 【点评】本题考查一次函数的应用．一次一次不等式组等知识，解题的关键是学 会利用一次函数解决最值问题，学会利用不等式求整数解解决问题，属于中考常 考题型． 　 28．（10 分）（2017•黑龙江）如图，矩形 AOCB 的顶点 A、C 分别位于 x 轴和 y 轴的正半轴上，线段 OA、OC 的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直 线 y=kx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点，将△BCN 沿直线 BN 折叠，点 C 恰 好落在直线 MN 上的点 D 处，且 tan∠CBD= （1）求点 B 的坐标； （2）求直线 BN 的解析式； （3）将直线 BN 以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向下平移，求直线 BN 扫过矩 形 AOCB 的面积 S 关于运动的时间 t（0＜t≤13）的函数关系式． 【分析】（1）由非负数的性质可求得 x、y 的值，则可求得 B 点坐标； （2）过 D 作 EF⊥OA 于点 E，交 CB 于点 F，由条件可求得 D 点坐标，且可求得 = ，结合 DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得 OM 和 ON 的长，则可求得 N 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BN 的解析式； （3）设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N′，交 AB 于点 B′，当点 N′在 x 轴上方时，可 知 S 即为▱BNN′B′的面积，当 N′在 y 轴的负半轴上时，可用 t 表示出直线 B′N′的解 析式，设交 x 轴于点 G，可用 t 表示出 G 点坐标，由 S=S 四边形 BNN′B′﹣S△OGN′，可 分别得到 S 与 t 的函数关系式． 【解答】解： （1）∵|x﹣15|+ =0， ∴x=15，y=13， ∴OA=BC=15，AB=OC=13， ∴B（15，13）； （2）如图 1，过 D 作 EF⊥OA 于点 E，交 CB 于点 F， 由折叠的性质可知 BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°， ∵tan∠CBD= ， ∴ = ，且 BF2+DF2=BD2=152，解得 BF=12，DF=9， ∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4， ∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°， ∴∠ONM=∠CBD， ∴ = ， ∵DE∥ON， ∴ = = ，且 OE=3， ∴ = ，解得 OM=6， ∴ON=8，即 N（0，8）， 把 N、B 的坐标代入 y=kx+b 可得 ，解得 ， ∴直线 BN 的解析式为 y= x+8； （3）设直线 BN 平移后交 y 轴于点 N′，交 AB 于点 B′， 当点 N′在 x 轴上方，即 0＜t≤8 时，如图 2， 由题意可知四边形 BNN′B′为平行四边形，且 NN′=t， ∴S=NN′•OA=15t； 当点 N′在 y 轴负半轴上，即 8＜t≤13 时，设直线 B′N′交 x 轴于点 G，如图 3， ∵NN′=t， ∴可设直线 B′N′解析式为 y= x+8﹣t， 令 y=0，可得 x=3t﹣24， ∴OG=24， ∵ON=8，NN′=t， ∴ON′=t﹣8， ∴S=S 四边形 BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ t2+39t﹣96； 综上可知 S 与 t 的函数关系式为 S= ． 【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及非负数的性质、待定系数法、矩形的 性质、三角函数的定义、折叠的性质、平行线分线段成比例、 平移的性质及分 类讨论思想等知识．在（1）中注意非负数的性质的应用，在（2）中求得 N 点 的坐标是解题的关键，在（3）中确定出扫过的面积是解题的关键．本题考查知 识点较多，综合性较强，难度较大．