2020九年级数学上册二次函数应用题讲义（新版）新人教版

2020九年级数学上册二次函数应用题讲义（新版）新人教版

二次函数应用题（讲义）‎ Ø 课前预习 回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：‎ 1. 理解题意，梳理信息．‎ 梳理信息的主要手段有 ．‎ 2. 建立数学模型．‎ 建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如：‎ ‎①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑 ；‎ ‎②不超过、不多于、少于、至少……，考虑 ；‎ ‎③最大利润、最省钱、运费最少、最小值……，考虑 ．‎ 3. 求解验证，回归实际．‎ 主要是看结果是否 ．‎ Ø 知识点睛 1. 理解题意，梳理信息 二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题． 梳理信息时需要借助表格、图形．‎ 实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长， 确定关键点坐标，求出抛物线解析式．‎ 最值问题要确定函数表达式及自变量取值范围．‎ 2. 建立数学模型 常见数学模型有方程、不等式、函数．函数模型要确定自变量和因变量；根据题意确定题目中各个量之间的等量关系，用自变量表达对应的量从而确定函数表达式．‎ 例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量 x，年利润为因变量 y，年利润=（售价-进价）×年销量，用 x 表达年销量，从而确定 y 与 x 之间的函数关系．‎ 3. 求解验证，回归实际 求解通常借助二次函数的图象和性质；‎ 结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值范围要求．‎ 7‎ Ø 精讲精练 1. 如图，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球， 网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为 B．有人在直线 AB 上的点 C 处（靠点 B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知 AB=‎4 米，AC=‎3 米，网球飞行的最大高度 OM=‎5 米，圆柱形桶的直径为 ‎0.5 米，高为 ‎0.3 米．以点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）‎ ‎（1）当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？‎ ‎（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？‎ y M P Q A O C ‎0.5‎ B D x M P Q A O C ‎0.5‎ B D ‎ 7‎ 1. 某跳水运动员进行 ‎10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点） 在空中的运动路线是如图所示的平面直角坐标系中经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规 定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 2‎ ‎3‎ 米，入水处距池边的水平距离为 ‎4 米．运动员在距水面的高度为 ‎5 米之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．‎ ‎（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解析式；‎ y ‎3m‎ A O x ‎10m 跳台支柱 ‎1m B 水面 ‎（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ‎3.6 米，则此次跳水会不会失误？‎ 7‎ 1. 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在 5~50（单位：cm）之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例； 每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：‎ 薄板的边长（cm）‎ ‎20‎ ‎30‎ 出厂价（元/张）‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式．‎ ‎（2）已知出厂一张边长为 ‎40 cm 的薄板，获得的利润为 26‎ 元．（利润=出厂价-成本价）‎ ‎①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．‎ ‎②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 边长 出厂价 成本价 ‎【分析】‎ 解：‎ 7‎ 1. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件．如果该商品的销售单价每上涨 1 元，则每月销量减少 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元．‎ ‎（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？‎ ‎（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2 200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2 200 元．‎ 售价 进价 利润 销量 ‎【分析】‎ 解：‎ 7‎ 销售单价 x（元）‎ ‎200‎ ‎230‎ ‎250‎ 年销售量 y（万件）‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎5‎ 1. 我市高新技术开发区的某公司，用 480 万元购得某种产品的生产技术，并进一步投入资金 1 520 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件成本费为40 元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在 150 元到 300 元之间较为合理，销售单价 x（元）与年销售量 y（万件）之间的变化可近似地看作是下表所反映的一次函数：‎ ‎（1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围．‎ ‎（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利， 最大利润是多少？若亏损，最小亏损额是多少？‎ ‎（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时， 第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利 1 790 万元？若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．‎ 售价 成本 利润 年销量 其他成本 ‎【分析】‎ 解：‎ 7‎ ‎【参考答案】‎ Ø 课前预习 1. 列表、画图 2. 方程；不等式（组）；函数 3. 符合实际背景 Ø 精讲精练 ‎1. （1）网球不能落入桶内；‎ ‎（2）当竖直摆放 8 个、9 个、10 个、11 个或 12 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．‎ ‎2. （1） y = - 25 x2 + 10 x ；（2）会失误，理由略．‎ ‎6 3‎ ‎3. 设一张薄板的边长为 x cm，出厂价为 y 元，利润为 w 元．‎ ‎（1）y=2x+10（5≤x≤50）；‎ 7‎ ‎（2）① w = - 1‎ ‎25‎ ‎x2 + 2x +10 （5≤x≤50）；‎ 7‎ ‎②当边长为 ‎25 cm 时，出厂一张薄板所获得的利润最大，最大利润是 35 元．‎ ‎4. （1）y=-10x2+110x+2 100（1≤x≤15，且 x 为整数）；‎ ‎（2）每件商品的售价定为 55 元或 56 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2 400 元；‎ ‎（3）每件商品的售价定为 51 元或 60 元时，每个月的利润恰为 2 200 元，每件商品的售价 m 满足 51≤m≤60 且 m 为整数时，每个月的利润不低于 2 200 元．‎ 7‎ ‎5. （1） y = - 1‎ ‎10‎ ‎x + 30 （150≤x≤300）；‎ 7‎ ‎（2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损 310 万元；‎ ‎（3）不能，理由略．‎ 7‎