2018年江苏省淮安市中考数学试卷

2018年江苏省淮安市中考数学试卷

‎2018年江苏省淮安市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．3‎ ‎2．（3分）地球与太阳的平均距离大约为150000000km．将150000000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．15×107 B．1.5×108 C．1.5×109 D．0.15×109‎ ‎3．（3分）若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5，则x的值是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎4．（3分）若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（　　）‎ A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6‎ ‎5．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）‎ A．20 B．24 C．40 D．48‎ ‎7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎8．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）‎ A．70° B．80° C．110° D．140°‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（3分）（a2）3=　 　．‎ ‎10．（3分）一元二次方程x2﹣x=0的根是　 　．‎ ‎11．（3分）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：‎ 射击次数n ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1000‎ 击中靶心的频数m ‎9‎ ‎19‎ ‎37‎ ‎45‎ ‎89‎ ‎181‎ ‎449‎ ‎901‎ 击中靶心的频率 ‎0.900‎ ‎0.950‎ ‎0.925‎ ‎0.900‎ ‎0.890‎ ‎0.905‎ ‎0.898‎ ‎0.901‎ 该射手击中靶心的概率的估计值是　 　（精确到0.01）．‎ ‎12．（3分）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　 　．‎ ‎13．（3分）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　 　°．‎ ‎14．（3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（1）计算：2sin45°+（π﹣1）0﹣+|﹣2|；‎ ‎（2）解不等式组：‎ ‎18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3．‎ ‎19．（8分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．‎ ‎20．（8分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了　 　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．‎ ‎21．（8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标．‎ ‎（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；‎ ‎（2）求点A落在第四象限的概率．‎ ‎22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．‎ ‎（1）求k、b的值；‎ ‎（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．‎ ‎23．（8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．‎ ‎（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．‎ ‎25．（10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．‎ ‎（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　 　件；‎ ‎（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．‎ ‎26．（12分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．‎ ‎（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　 　°；‎ ‎（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．‎ ‎27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=秒时，点Q的坐标是　 　；‎ ‎（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；‎ ‎（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年江苏省淮安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣3的相反数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C． D．3‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．‎ ‎【解答】解：﹣3的相反数是3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）地球与太阳的平均距离大约为150000000km．将150000000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．15×107 B．1.5×108 C．1.5×109 D．0.15×109‎ ‎【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：150000000=1.5×108，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5，则x的值是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】根据平均数的定义计算即可；‎ ‎【解答】解：由题意（3+4+5+x+6+7）=5，‎ 解得x=5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）若点A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（　　）‎ A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6‎ ‎【分析】根据待定系数法，可得答案．‎ ‎【解答】解：将A（﹣2，3）代入反比例函数y=，得 k=﹣2×3=﹣6，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）‎ A．35° B．45° C．55° D．65°‎ ‎【分析】求出∠3即可解决问题；‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，‎ ‎∴∠3=55°，‎ ‎∴∠2=∠3=55°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）‎ A．20 B．24 C．40 D．48‎ ‎【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．‎ ‎【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，‎ 则AB==5，‎ 故这个菱形的周长L=4AB=20．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，然后解一次方程即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k+1）=0，‎ 解得k=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）‎ A．70° B．80° C．110° D．140°‎ ‎【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠‎ P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．‎ ‎【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，‎ ‎∵∠P=∠AOC=×140°=70°‎ ‎∵∠P+∠B=180°，‎ ‎∴∠B=180°﹣70°=110°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（3分）（a2）3=　a6　．‎ ‎【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可．‎ ‎【解答】解：原式=a6．‎ 故答案为a6．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）一元二次方程x2﹣x=0的根是　x1=0，x2=1　．‎ ‎【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．‎ ‎【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，‎ 可得x=0或x﹣1=0，‎ 解得：x1=0，x2=1．‎ 故答案为：x1=0，x2=1．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：‎ 射击次数n ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1000‎ 击中靶心的频数m ‎9‎ ‎19‎ ‎37‎ ‎45‎ ‎89‎ ‎181‎ ‎449‎ ‎901‎ 击中靶心的频率 ‎0.900‎ ‎0.950‎ ‎0.925‎ ‎0.900‎ ‎0.890‎ ‎0.905‎ ‎0.898‎ ‎0.901‎ 该射手击中靶心的概率的估计值是　0.90　（精确到0.01）．‎ ‎【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．‎ ‎【解答】解：由击中靶心频率都在0.90上下波动，‎ 所以该射手击中靶心的概率的估计值是0.90，‎ 故答案为：0.90．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　4　．‎ ‎【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：把代入方程得：9﹣2a=1，‎ 解得：a=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　65　°．‎ ‎【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．‎ ‎【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，‎ 又∵等腰三角形的底角相等，‎ ‎∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．‎ 故答案为：65．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　y=x2+2　．‎ ‎【分析】先确定二次函数y=x2‎ ‎﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．‎ ‎【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．‎ 故答案为：y=x2+2．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是　　．‎ ‎【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：连接AD．‎ ‎∵PQ垂直平分线段AB，‎ ‎∴DA=DB，设DA=DB=x，‎ 在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，‎ ‎∴x2=32+（5﹣x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴CD=BC﹣DB=5﹣=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是　（）n﹣1　．‎ ‎【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．‎ ‎【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，‎ ‎∴∠D1OA1=45°，‎ ‎∴D1A1=OA1=1，‎ ‎∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，‎ 由勾股定理得，OD1=，D1A2=，‎ ‎∴A2B2=A2O=，‎ ‎∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，‎ 同理，A3D3=OA3=，‎ ‎∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，‎ ‎…‎ 由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1，‎ 故答案为：（）n﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（1）计算：2sin45°+（π﹣1）0﹣+|﹣2|；‎ ‎（2）解不等式组：‎ ‎【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘法和加减运算可得；‎ ‎（2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=2×+1﹣3+2‎ ‎=+1﹣‎ ‎=1；‎ ‎（2）解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，‎ 解不等式2x﹣1≥，得：x≥1，‎ 则不等式组的解集为1≤x＜3．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣3．‎ ‎【分析】原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=（﹣）÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当a=﹣3时，‎ 原式==﹣2．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，‎ ‎∴AO=CO，AD∥BC，‎ ‎∴∠EAC=∠FCO，‎ 在△AOE和△COF中 ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF（ASA），‎ ‎∴AE=CF．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了　50　名学生；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．‎ ‎【分析】（1）根据乘车的人数及其所占百分比可得总人数；‎ ‎（2）根据各种交通方式的人数之和等于总人数求得步行人数，据此可得；‎ ‎（3）用总人数乘以样本中步行人数所占比例可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查中，该学校调查的学生人数为20÷40%=50人，‎ 故答案为：50；‎ ‎（2）步行的人数为50﹣（20+10+5）=15人，‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为1500×=450人．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、﹣2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点A的纵坐标．‎ ‎（1）用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；‎ ‎（2）求点A落在第四象限的概率．‎ ‎【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后根据表格即可求得点A的坐标的所有可能的结果；‎ ‎（2）从表格中找到点A落在第四象限的结果数，利用概率公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）列表得：‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1，﹣2）‎ ‎（1，3）‎ ‎2‎ ‎（﹣2，1）‎ ‎（﹣2，3）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，﹣2）‎ ‎（2）由表可知，共有6种等可能结果，其中点A落在第四象限的有2种结果，‎ 所以点A落在第四象限的概率为=．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．‎ ‎（1）求k、b的值；‎ ‎（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；‎ ‎（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）当x=1时，y=3x=3，‎ ‎∴点C的坐标为（1，3）．‎ 将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，‎ 得：，‎ 解得：．‎ ‎（2）当y=0时，有﹣x+4=0，‎ 解得：x=4，‎ ‎∴点B的坐标为（4，0）．‎ 设点D的坐标为（0，m）（m＜0），‎ ‎∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3，‎ 解得：m=﹣4，‎ ‎∴点D的坐标为（0，﹣4）．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．‎ ‎【解答】解：作PD⊥AB于D．‎ 设BD=x，则AD=x+200．‎ ‎∵∠EAP=60°，‎ ‎∴∠PAB=90°﹣60°=30°．‎ 在Rt△BPD中，‎ ‎∵∠FBP=45°，‎ ‎∴∠PBD=∠BPD=45°，‎ ‎∴PD=DB=x．‎ 在Rt△APD中，‎ ‎∵∠PAB=30°，‎ ‎∴CD=tan30°•AD，‎ 即DB=CD=tan30°•AD=x=（200+x），‎ 解得：x≈273.2，‎ ‎∴CD=273．‎ 答：凉亭P到公路l的距离为273m．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．‎ ‎（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OE、OD，如图，根据切线的性质得∠OAC=90°，再证明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙‎ O的切线；‎ ‎（2）先计算出∠AOD=2∠B=100°，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：‎ 连接OE、OD，如图，‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∴∠OAC=90°，‎ ‎∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，‎ ‎∴OE∥BC，‎ ‎∴∠1=∠B，∠2=∠3，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠B=∠3，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△AOE和△DOE中 ‎，‎ ‎∴△AOE≌△DOE，‎ ‎∴∠ODE=∠OAE=90°，‎ ‎∴OA⊥AE，‎ ‎∴DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）∵点E是AC的中点，‎ ‎∴AE=AC=2.4，‎ ‎∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．‎ ‎（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　180　件；‎ ‎（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．‎ ‎【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；‎ ‎（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），‎ 故答案为：180；‎ ‎（2）由题意得：‎ y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]‎ ‎=﹣10x2+1100x﹣28000‎ ‎=﹣10（x﹣55）2+2250‎ ‎∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．‎ ‎（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=　15　°；‎ ‎（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．‎ ‎【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；‎ ‎（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；‎ ‎（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，‎ ‎∴2∠B+∠A=60°，‎ 解得，∠B=15°，‎ 故答案为：15°；‎ ‎（2）如图①中，‎ 在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，‎ ‎∴∠B+2∠BAD=90°，‎ ‎∴△ABD是“准互余三角形”，‎ ‎∵△ABE也是“准互余三角形”，‎ ‎∴只有2∠B+∠BAE=90°，‎ ‎∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，‎ ‎∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，‎ ‎∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴BE=5﹣=．‎ ‎（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．‎ ‎∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，‎ ‎∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，‎ ‎∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，‎ ‎∴A、B、F共线，‎ ‎∴∠FAC+∠ACF=90°‎ ‎∴2∠ACB+∠CAB≠90°，‎ ‎∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，‎ ‎∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，‎ ‎∴△FCB∽△FAC，‎ ‎∴CF2=FB•FA，设FB=x，‎ 则有：x（x+7）=122，‎ ‎∴x=9或﹣16（舍弃），‎ ‎∴AF=7+9=16，‎ 在Rt△ACF中，AC===20．‎ ‎　‎ ‎27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+‎ ‎4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t=秒时，点Q的坐标是　（4，0）　；‎ ‎（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；‎ ‎（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．‎ ‎【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；‎ ‎（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；‎ ‎（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）令y=0，‎ ‎∴﹣x+4=0，‎ ‎∴x=6，‎ ‎∴A（6，0），‎ 当t=秒时，AP=3×=1，‎ ‎∴OP=OA﹣AP=5，‎ ‎∴P（5，0），‎ 由对称性得，Q（4，0）；‎ 故答案为（4，0）；‎ ‎（2）当点Q在原点O时，OQ=6，‎ ‎∴AP=OQ=3，‎ ‎∴t=3÷3=1，‎ ‎①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，‎ ‎∴y=4，‎ ‎∴B（0，4），‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵A（6，0），‎ ‎∴OA=6，‎ 在Rt△AOB中，tan∠OAB==，‎ 由运动知，AP=3t，‎ ‎∴P（6﹣3t，0），‎ ‎∴Q（6﹣6t，0），‎ ‎∴PQ=AP=3t，‎ ‎∵四边形PQMN是正方形，‎ ‎∴MN∥OA，PN=PQ=3t，‎ 在Rt△APD中，tan∠OAB===，‎ ‎∴PD=2t，‎ ‎∴DN=t，‎ ‎∵MN∥OA ‎∴∠DCN=∠OAB，‎ ‎∴tan∠DCN===，‎ ‎∴CN=t，‎ ‎∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；‎ ‎②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，‎ ‎∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；‎ ‎③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；‎ ‎（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），‎ ‎∴M（6﹣6t，3t），‎ ‎∵T是正方形PQMN的对角线交点，‎ ‎∴T（6﹣t，t），‎ ‎∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），‎ 同理：点N是直线AG：y=﹣x+6上的一段线段，（0≤x≤6），‎ ‎∴G（0，6），‎ ‎∴OG=6，‎ ‎∵A（6，0），‎ ‎∴AB=6，‎ ‎∵T正方形PQMN的对角线的交点，‎ ‎∴TN=TP，‎ ‎∴OT+TP=OT+TN，‎ ‎∴点O，T，N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT+TN最小，‎ 即：OT+TN最小，‎ ‎∵S△OAG=OA×OG=AG×ON，‎ ‎∴ON==3．‎ 即：OT+PT的最小值为3．‎ ‎　‎