2020九年级数学上册第1章二次函数1

2020九年级数学上册第1章二次函数1

‎ [1.3　二次函数的性质]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．2017·金华对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是(　　)‎ A．对称轴是直线x＝1，最小值是2 ‎ B．对称轴是直线x＝1，最大值是2‎ C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2 ‎ D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2‎ ‎2．如图K－5－1，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数值y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是(　　)‎ 图K－5－1‎ A．x≥3 　　　　　B．x≤3‎ C．x≥1 　　　　　D．x≤1‎ ‎3．2017·连云港已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(　　)‎ A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1‎ C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0‎ ‎4．如图K－5－2，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　)‎ 图K－5－2‎ A．a＞1 B．－1＜a≤1‎ C．a＞0 D．－1＜a＜2‎ ‎5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K－5－3所示，则(　　)‎ 图K－5－3‎ 7‎ A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0‎ C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0‎ 二、填空题 ‎6．二次函数y＝2x2－2x－1的图象的顶点坐标是________，当x______时，y随x的增大而减小．‎ ‎7．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2图象上两点(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“＜”“＞”或“＝”).‎ ‎8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ 则当y＜5时，x的取值范围是________. ‎9．如图K－5－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则‎4a－2b＋c的值为________．‎ 图K－5－4‎ 三、解答题 ‎10．已知二次函数y＝－2x2＋8x－8.‎ ‎(1)说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？‎ ‎(2)求出此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；‎ ‎(3)结合图象回答：当x为何值时，y随着x的增大而减小？‎ ‎11．已知二次函数y＝x2－4x＋3.‎ ‎(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的变化而变化的情况；‎ ‎(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．‎ 7‎ ‎12．2016·宁波如图K－5－5，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．‎ ‎(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；‎ ‎(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．‎ 图K－5－5‎ ‎13．2017·南京已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．‎ ‎(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．1或2‎ ‎(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；‎ ‎(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．‎ 7‎ 思维拓展复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k为实数)．‎ 教师：请独立思考，并把你探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．‎ 学生独立思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动的一员，又补充了一些结论，并从中选择如下四条：‎ ‎①存在函数，其图象经过点(1，0)．‎ ‎②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点．‎ ‎③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小．‎ ‎④若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必为负数．‎ 教师：请你分别判断上述四条结论的真假，并说明理由，最后简单写出解决问题时你所用到的数学方法．‎ 7‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] B　二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象的对称轴是直线x＝1.‎ ‎∵－1<0，‎ ‎∴抛物线的开口向下，有最大值，最大值是2.‎ ‎2．[解析] C　因为图象开口向下，顶点的横坐标为1，所以当x≥1时，y随x的增大而减小．故选C.‎ ‎3．[解析] C　∵a>0，∴抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴为y轴，点A(－2，y1)在对称轴的左侧，点B(1，y2)在对称轴的右侧，点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1>y2>0.故选C.‎ ‎4．[答案] B ‎5．[答案] B ‎6．[答案] (，－)　≤ ‎[解析] 因为a＝2，b＝－2，c＝－1，所以－＝，＝－.‎ ‎7．[答案] >　‎ ‎[解析] 因为二次项系数－1<0，所以在对称轴直线x＝1的左侧y随x的增大而增大；在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故答案为>.‎ ‎8．[答案] 0＜x＜4‎ ‎9．[答案] 0‎ ‎10．[解析] (1)因为a＝－2<0，所以函数有最大值；‎ ‎(2)要求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，只需在二次函数表达式中分别令y＝0和x＝0，并求解所得的方程，即可写出相应的交点坐标；‎ ‎(3)对于二次函数的增减性，可结合图象，以对称轴为分界线，进行讨论．‎ 解：(1)∵a＝－2<0，b＝8，c＝－8，‎ ‎∴－＝2，＝0，‎ ‎∴图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，0)，函数有最大值，这个值为0.‎ ‎(2)当y＝0时，－2x2＋8x－8＝0，‎ 解得x＝2，‎ 即抛物线与x轴的交点坐标是(2，0)．‎ 当x＝0时，y＝－8，‎ 即抛物线与y轴的交点坐标是(0，－8)．‎ ‎(3)∵a<0，‎ ‎∴当x≥2时，y随着x的增大而减小．‎ ‎11．解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1，‎ ‎∴其图象的顶点C的坐标为(2，－1)，‎ ‎∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x≥2时，y随x的增大而增大．‎ ‎(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，‎ 解得x1＝1，x2＝3，‎ ‎∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)，‎ 当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)，‎ ‎∴AB＝＝2.‎ 过点C作CD⊥x轴于点D，‎ ‎∴S△ABC＝AB·CD＝×2×1＝1.‎ ‎12．‎ 7‎ 解：(1)把点B的坐标(3，0)代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，‎ 解得m＝2，‎ ‎∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．‎ ‎(2)如图，连结BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．‎ 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b.‎ ‎∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC上，‎ ‎∴解得 ‎∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋3.‎ 当x＝1时，y＝－1＋3＝2，‎ ‎∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．‎ ‎13．解：(1)D ‎(2)证明：y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－＋，‎ 所以该函数的图象的顶点坐标为.‎ 把x＝代入y＝(x＋1)2，得y＝＝.‎ 因此，不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上．‎ ‎(3)设函数z＝.‎ 当m＝－1时，z有最小值0；‎ 当m＜－1时，z随m的增大而减小；‎ 当m>－1时，z随m的增大而增大．‎ 又当m＝－2时，z＝＝；当m＝3时，z＝＝4.‎ 因此，当－2≤m≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4.‎ ‎[素养提升]‎ 解：①的结论为真，理由：‎ 当k＝0时，函数为y＝－x＋1，显然x＝1时有y＝0，即其图象经过点(1，0)．特殊值法．‎ ‎②的结论为假，理由：当k＝0时，函数为y＝－x＋1，是一条直线，与坐标轴有两个不同的交点．举反例．‎ ‎③的结论为假，理由：当k＝0时，函数为y＝－x＋1，当x＞1时，y随x的增大而减小；‎ 当k≠0时，关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k为实数)为二次函数，其图象的对称轴为直线x＝＝1＋，若k＞0，显然x＝1＋＞1，故当x＞1时，一部分y随x的增大而增大，另一部分y随x的增大而减小．分类讨论．‎ ‎④的结论为真，理由：当k＝0时，函数为y＝－x＋1，没有最值；当k≠0时，关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k为实数)为二次函数，最值为y＝‎ 7‎ ＝－3k－，‎ 显然，当k＞0时，y有最小值－3k－，此时，－3k－＜0；当k＜0时，y有最大值－3k－，此时，－3k－＞0.分类讨论．‎ 7‎