2020九年级数学下册 第2章 圆周角

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2020九年级数学下册 第2章 圆周角

‎2.1圆的对称性 知|识|目|标 ‎1.通过观察生活中的圆形物体和自己画圆,理解圆的有关概念.‎ ‎2.通过测量比较,能判断点与圆的位置关系.‎ ‎3.在复习回顾中心对称与轴对称的基础上,理解圆的对称性.‎ 目标一 理解圆的有关概念 例1 教材补充例题下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆;⑤长度相等的弧是等弧.其中错误的说法有(  )‎ A.1个  B.2个  C.3个  D.4个 例2 教材补充例题如图2-1-1所示,已知CD是⊙O的直径,∠EOD=78°,点A在DC的延长线上,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.‎ 图2-1-1‎ ‎【归纳总结】圆中容易混淆的两组基本概念:‎ ‎(1)弦与直径:‎ ‎①直径是弦,是圆中最长的弦,但弦不一定是直径;‎ ‎②弦是连接圆上任意两点的线段,但直径是经过圆心的弦.‎ ‎(2)弧与半圆:‎ ‎①半圆是弧,但弧不一定是半圆;‎ ‎②圆上任意两点分圆成两段弧,圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫作半圆. ‎ 6‎ 目标二 能判断点与圆的位置关系 例3 教材补充例题2017·陕西模拟⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是(  )‎ A.点P在⊙O内 B.点P的⊙O上 ‎ C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 ‎【归纳总结】判断点与圆的位置关系的方法:‎ ‎(1)判断点与圆的位置关系的“三步法”:①连接该点和圆心;②计算该点与圆心之间的距离d;③依据圆的半径r与d的大小关系得出结论.‎ ‎(2)点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径的关系,这是从形到数的认识;反过来,也可以通过点到圆心的距离与半径的关系来判断点与圆的位置关系,这是从数到形的认识.‎ 目标三 理解圆的对称性 例4 教材补充例题在研究圆的有关性质时,我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折,可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”.由此说明(  )‎ A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心 ‎ B.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 ‎ C.圆的直径互相平分 ‎ D.直径是圆内最长的弦 ‎【归纳总结】圆的对称性:‎ ‎(1)轴对称性:圆是对称轴最多的轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,或者说过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.‎ ‎(2)中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.事实上圆绕着圆心旋转任意角度都能和自身重合,圆的这一性质也称为圆的旋转不变性.‎ 知识点一 圆的定义 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫作圆心,定长叫作半径.圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形,定点叫作圆心,定点与动点的连线段叫作半径.‎ 知识点二 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点与圆的三种位置关系和d与r的大小关系的对应关系如下表:‎ 点与圆 的位置 关系 图形表示 点到圆心的距离 d与半径r的关系 点在 圆内 点P在⊙O内⇔d<r 6‎ 点在 圆上 点P在⊙O上⇔d=r 点在 圆外 点P在⊙O外⇔d>r ‎[注意] 符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端.‎ 知识点三 圆的有关概念 ‎1.弦、直径 弦:连接圆上任意两点的______叫作弦.‎ 直径:经过______的弦叫作直径.‎ 直径是圆中______的弦.‎ ‎2.弧、半圆、优弧、劣 弧:圆上任意________的部分叫作圆弧,简称弧.‎ 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆.‎ 劣弧:小于半圆的弧是劣弧.‎ 优弧:大于半圆的弧是优弧.‎ ‎3.弦与弧的区别:‎ 弦 弧 定义 连接圆上任意两点的线段叫作弦 圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧 表示 用线段形式表示,如CD 用符号“⌒”表示,如 区分 弦与直径的关系 弧与半圆的关系 ‎4.把能够重合的两个圆叫作______,把能够互相重合的弧叫作______.‎ 知识点四 圆的对称性 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴,圆又是中心对称图形,______是它的对称中心.‎ ‎[点拨] “直径是圆的对称轴”这一说法是错误的,因为对称轴都是直线,而直径是线段.‎ ‎1.判断正误:‎ ‎(1)弦是直径;(  )‎ ‎(2)半圆是弧;(  )‎ ‎(3)长度相等的弧是等弧;(  )‎ ‎(4)经过圆内一点可以作无数条直径.(  )‎ ‎2.若一个点到一个圆的最短距离为‎4 cm,最长距离为‎8 cm,则这个圆的半径为________.‎ 答案:6 cm 以上答案是否正确?若不正确,请给出正确的答案.‎ 6‎ 6‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1 [解析] C 根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断.半径确定了,只能说明圆的大小确定了,但是位置没有确定;直径是弦,但弦不一定是直径;能够互相重合的弧叫作等弧,所以①③⑤的说法是错误的.‎ 例2 [解析] 已知∠EOD=78°,与∠A构成了内、外角的关系,而∠E的度数也未知,且AB=OC这一条件不能直接使用,因此想到同圆的半径相等,需作半径OB,从而得到OB=AB.‎ 解:如图,连接OB.‎ ‎∵AB=OC,OB=OC,‎ ‎∴AB=OB,‎ ‎∴∠A=∠1.‎ 又∵OB=OE,‎ ‎∴∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A,∴∠DOE=∠E+∠A=3∠A.‎ 而∠DOE=78°,‎ ‎∴3∠A=78°,‎ ‎∴∠A=26°.‎ 例3 A 例4 [解析] B 根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折,可以看到直径两侧的两个半圆互相重合,显然说明了圆的轴对称性.‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] ‎ 知识点三 1.线段 圆心 最长 ‎2.两点间 4.等圆 等弧 知识点四 圆心 ‎[反思] 1.(1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎[解析] 直径是弦,但弦不一定是直径,故(1)不正确;弧包括半圆、优弧和劣弧,故(2)正确;等弧是能够重合的弧,故(3)不正确;经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心),故(4)不正确.‎ 反思:要切实去掌握弦、直径、弧、等弧等各种概念的包含关系与成立条件.‎ ‎2.不正确.当点P在⊙O内时(如图①),此时PA=‎4 cm,PB=‎8 cm,AB=‎12 cm,因此圆的半径为‎6 cm;‎ 当点P在⊙O外时(如图②),此时PA=4 cm,PB=8 cm,直线PB过圆心O,直径AB=PB-PA=8-4=4(cm),因此圆的半径为2 cm.‎ 所以这个圆的半径为6 cm或2 cm.‎ 6‎ 图①          图②‎ 反思:在没有图形的情况下要进行分类讨论.‎ 6‎
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