2019九年级数学下册 专题突破讲练 全面认识抛物线的特征试题 （新版）青岛版

2019九年级数学下册 专题突破讲练 全面认识抛物线的特征试题 （新版）青岛版

全面认识抛物线的特征 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象及性质 函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）‎ y＝ax2＋bx＋c（a＜0）‎ 图象 开口 向上 向下 对称轴 x＝－ 顶点 ‎（－，）‎ 增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小，‎ 当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大，‎ 当x＞－时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－时，y最小＝ 当x＝－时，y最大＝ 方法归纳：‎ 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标和对称轴的求法：‎ ‎①配方法：y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋；‎ ‎②公式法：对称轴是x＝－，顶点坐标是（－，）；‎ ‎③画出抛物线，根据图象确定对称轴及顶点坐标。‎ 总结：‎ ‎1. 用配方法确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。‎ ‎2. 运用数形结合的思想求二次函数的最值。‎ 例题1 抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：‎ 8‎ x ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－6‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎…‎ 从上表可知，下列说法正确的有（ ）‎ ‎①抛物线与x轴的交点为（－2，0）（2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；‎ ‎③抛物线的对称轴是：直线x＝； ④在对称轴左侧，y随x增大而减少。‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析：可将表格中的数据描在坐标系中，根据二次函数的图象和性质进行判断。‎ 答案：根据表格数据可得：抛物线的开口方向向下，当x＝0时，y＝6，故②正确；‎ ‎∵x＝0和x＝1的函数值相等，∴对称轴为x＝＝，∴③正确；从表格中可得（－2，0）是此抛物线与x轴的一个交点，∴抛物线与x轴的另一个交点必与（－2，0）关于直线x＝对称，所以，另一个交点的坐标为（3，0），∴①错误；∵此抛物线开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，④错误，故选B。‎ 点拨：此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质，会根据图象得出某些信息，如抛物线的顶点、对称轴、开口方向等。另外，对于表格中的数据应善于将其转化为点的坐标，根据坐标特点确定函数关系式。‎ 例题2 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－3，－3）和点P（t，0），且t≠0。‎ ‎（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图所示，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；‎ ‎（2）若t＝－4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；‎ ‎（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值。‎ 解析：第（1）题观察图象即可，第（2）题已知t的值，相当于已知点P的坐标，那么把点A和P的坐标代入解析式，通过解二元一次方程组求a、b的值。（3）题答案不唯一，把点A和P的坐标代入解析式整理出一个关于a和t的等式，令a＜0，确定t的取值。‎ 答案：（1）y的最小值是－3，t＝－6。‎ 8‎ ‎（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入y＝ax2＋bx，得，解得，此时抛物线开口向上。‎ ‎（3）依题意应满足，即at2＋（‎3a＋1）t＝0且a＜0。当t≠0时有at＋‎3a＋1＝0，即a＝－＜0，解得t＞－3。所以写出一个大于－3的t值即可。（答案不唯一）。‎ 点拨：本题主要考查二次函数的图象和性质，解答这类问题时注意数形结合思想的运用，抛物线与x轴的两个交点关于该抛物线的对称轴对称，解答时充分利用该性质有时可大大简化计算。‎ 二次函数的增减性：在对称轴同侧的点，y随x的增大而增大（或减小）；不在对称轴同侧的点，若a＞0，则到对称轴的距离大的点的函数值较大，若a＜0，则到对称轴的距离大的点的函数值较小。‎ 例 已知两点A（－5，y1），B（3，y2）均在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）‎ A. x0＞－5 B. x0＞－‎1 ‎‎ C. －5＜x0＜－1 D. －2＜x0＜3‎ 解：由点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，且y1＞y2≥y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为y1＞y2≥y0，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当A、B在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，因此x0＞3；当A、B在对称轴的两侧时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0－（－5）＞3－x0，解得x0＞－1，综上所得：x0＞－1，故选B。‎ 分析：本题考查二次函数的图象和性质，特别是二次函数的增减性，解答这类问题时要格外注意分类讨论，关键是要讨论顶点的位置，即所给自变量或函数值所对应的点是否在对称轴的同侧。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）‎ 8‎ A. x＜1 B. x＞‎1 ‎C. x＜－1 D. x＞－1‎ ‎2. 若一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为（ ）‎ A. 直线x＝1 B. 直线x＝－‎2 ‎C. 直线x＝－1 D. 直线x＝－4‎ ‎*3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：‎ x ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－6‎ ‎－11‎ ‎…‎ 则该函数图象的顶点坐标为（ ）‎ A. （－3，－3） B. （－2，－2） C. （－1，－3） D. （0，－6）‎ ‎*4. 下列图中，哪个是二次函数y＝2x2－4x＋3的图象（ ）‎ ‎*5. 抛物线y＝x2＋x＋p（p≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）‎ A. （0，－2） B. （，－） C. （－，） D. （－，－）‎ ‎**6. 已知二次函数y＝2x2＋bx＋1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（ ）‎ A. y＝－2x2＋1 B. y＝－x2＋‎1 ‎C. y＝－4x2＋1 D. y＝－x2＋1‎ 二、填空题 8‎ ‎7. 如果二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）满足a＋b＋c＝2，那么这个二次函数的图象一定经过点__________。‎ ‎*8. 实数x、y满足x2－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t的取值范围为___________________。‎ ‎**9. 将二次函数y＝－2（x－1）2－1的图象先向右平移一个单位，再沿x轴翻折到第一象限，得到的图象的函数解析式为__________。‎ ‎**10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2＝ac，且x＝0时y＝－4，则该二次函数有最__________值，且最__________值等于__________。‎ 三、解答题 ‎11. 将二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）。‎ ‎12. 已知抛物线y＝mx2＋（m－1）x＋（m－1）的最低点的纵坐标是0，求m的值。‎ ‎13. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0），B（－1，0）。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求抛物线的顶点坐标。‎ ‎*14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－2x，求其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积。‎ ‎**15. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。‎ ‎（1）求点A，B的坐标；‎ ‎（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；‎ ‎（3）若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。‎ 8‎ 8‎ 一、选择题 ‎1. A 解析：二次函数y＝－x2＋2x＋1的开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，二次函数y＝－x2＋2x＋1的对称轴是x＝－＝－＝1，所以x＜1。‎ ‎2. C 解析：∵一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），∴－‎2a＋b＝0，即b＝‎2a，∴抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－＝－1。故选C。‎ ‎*3. B 解析：∵x＝－3和－1时的函数值都是－3，∴二次函数的对称轴为直线x＝－2，∴顶点坐标为（－2，－2）。故选B。‎ ‎*4. D 解析：由开口方向可排除B，由其与y轴的交点为（0，3）可排除C，再由对称轴为x＝1可排除A。‎ ‎*5. D 解析：因为该抛物线与x轴一个交点的横坐标是p，此时y＝0，所以p2＋p＋p＝0，因为p≠0，所以p＝－2，即y＝x2＋x－2。其顶点坐标为（－，－）。‎ ‎**6. A 解析：y＝2x2＋bx＋1的顶点坐标是（－，），设x＝－，y＝，由x＝－得b＝－4x，所以y＝＝＝1－2x2。即这条抛物线的解析式为y＝－2x2＋1。‎ 二、填空题 ‎7.（1，2） 解析：当x＝1、y＝2时有a＋b＋c＝2，所以这个二次函数的图象一定经过点（1，2）‎ ‎*8. t≤ 解析：由x2－2x－4y＝5得4y＝x2－2x－5，所以t＝x－（x2－2x－5）＝－x2＋2x＋，可见，t是关于x的二次函数，且开口向下，t最大值＝，所以t的取值范围是t≤。‎ ‎**9. y＝2（x－2）2＋1 解析：向右平移一个单位得y＝－2（x－2）2－1，翻折可理解为两步，一是形状不变，顶点不变，开口变成向上，得y＝2（x－2）2－1，二是向上平移2个单位，得y＝2（x－2）2＋1。‎ ‎**10. 大，大，－3 解析：∵x＝0时y＝－4，∴c＝－4，∵b2＝ac，∴a＜0，即此二次函数有最大值，最大值是＝＝－3。‎ 三、解答题 8‎ ‎11. 解：因为y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，该图象向左平移1个单位再向下平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝－[（x＋1）－1）]2＋4－2＝－x2＋2。‎ ‎12. 解：由题意得，解得m＝1。‎ ‎13. 解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0），B（－1，0）。∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；（2）∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）。‎ ‎*14. 解：设抛物线y＝x2－2x的顶点为B，其对称轴与x轴交于点C，过点B作AB⊥y轴。‎ ‎∵抛物线y＝x2－2x＝（x2－4x）＝（x2－4x＋4）－2＝（x－2）2－2，∴顶点B的坐标为（2，－2）。由抛物线的对称性和平移规律可知，阴影部分沿OC截开正好能拼成正方形OABC，所以y＝x2－2x的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4。‎ ‎**15. 解：（1）当x＝0时，y＝－2，∴A（0，－2）。抛物线的对称轴为x＝－＝1，∴B（1，0）。‎ ‎（2）易得A点关于对称轴的对称点为A＇（2，－2），则直线l经过A＇、B。设直线l的解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线l的解析式为y＝－2x＋2。‎ ‎（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线在2＜x＜3这一段与在－1＜x＜0这一段关于对称轴x＝1对称，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方；∴抛物线与直线l的交点的横坐标为－1；当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），所以当x＝－1时y＝4，即m＋‎2m－2＝4，m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2。‎ 8‎