初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第28讲 避免漏解的奥秘

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第28讲 避免漏解的奥秘

1 第二十八讲 避免漏解的奥秘 “会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高 解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论． 分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解 决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略． 解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发 生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重 复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行． 【例题求解】 【例 1】 四条线段的长分别为 9，5， x ，1(其中 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形， 且 AB 与 CD 是其中的两条线段(如图)，则 x 可取值的个数为 ． 思路点拨 AB 是四条线段中最长的，故 AB=9 或 AB= ，又 CD 长不定，所以应就 AB、 CD 的取值作全面讨论． 注：初中数学常见的分类方法有： (1)按定义、性质、法则、公式分类； (2)对参数分类； (3)按图形位置分类； (4)按图形特征分类； (5)按余数分类． 注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必 须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用． 【例 2】 方程 1)1( 32  xxx 的所有整数解的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列 的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于 1；(2)1 的任何次幂等于 1；(3) 1 的偶次幂等 于 1． 2 【例 3】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 023)2(2  rxrrx 有根且只有整数根． 思路点拨 根据方程定义，r 是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以， 应对 r=0 及 ≠0 两种情况分类求解． 【例 4】 已知一三角形纸片 ABC，面积为 25，BC 边的长为 10，∠B 和∠C 都为锐角，M 为 AB 边上的一动点(M 与点 A、B 不重合)．过点 M 作 MN∥BC，交 AC 于点 N．设 MN= x ． (1)用 表示△AMN 的面积 S△AMN； (2)用△AMN 沿 MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形 BCNM(边 AM、AN 落在四边形 BCNM 所在的平面内)，设点 A 落在平面 BCNM 内的点为 A′，△A′MN 与四边形 BCNM 重叠部 分的面积为 y ．①试求出 y 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；②当 为何 值时重叠部分的面积 最大，最大为多少? 思路点拨 折叠△AMN，A 点位置不确定，可能在△ABC 内或在 BC 边上或在△ABC 外， 故需按以上三种情况分别求出 关于 的函数关系式，进而求出 的最大值． 注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关 系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类， 最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系． 【例 5】 已知⊙Ol 与⊙O2 外切，⊙Ol 的半径 R=2，设⊙O2 的半径是 r． (1)如果⊙Ol 与⊙O2 的圆心距 d=4，求 r 的值； (2)如果⊙Ol、⊙O2 的公切线中有两条互相垂直，并且 r≤R，求 r 的值． 思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一， 故应分类讨论． 3 注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形： (1)由点的不确定定引起的分类讨论； (2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论； (3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论． 学力训练 1．已知 m 为实数，如果函数 62)4( 2  mmxxmy 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的取值为 ． 2．若实数 a 、b 满足 0582  aa ， 0582  bb ，则 1 1 1 1    b a a b 的值为 ． 3．若半径为 5 和 4 的两个圆相交，且公共弦长为 6，则它们的圆心距等于 ． 4．已知⊙O 和不在⊙O 上的一点 P，过 P 直线交⊙O 于 A、B 点，若 PA·PB=4，OP=5， 则⊙O 的半径为 ． 5．和抛物线 1108 2  xxy 只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为( ) A． 76  xy B． 1x C． 76  xy 或 1x D． 1y 6．若线段 AB 两端点到直线 l 的距离分别为 4 和 8，则 AB 的中点到直线l 的距离是( ) A．2 B．4 C．6 D．2 或 6 7．点 A(-4，0)，B(2，0)是 xoy 坐标平面上两定点，C 是 22 1  xy 的图象上的动点，则满 足上述条件的直角△ABC 可以画出( ) A．1 个 B．2 个 C． 3 个 D．4 个 8．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边 AB 上的点 P 使得以 P、A、 D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相似，那么这样的 P 点有( ) A．1 个 B． 2 个 C．3 个 D．4 个 9．已知关于 x 的方程 022)13( 22  kkxkx ． (1)求证：无论 k 是取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 6a ，另两边长为b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三 角形的周长． 10．已知：如图，抛物线 C1 经过 A，B，C 三点，顶点为 D，且与 x 轴的另一个交点为 E． （1）求抛物线 C1 的解析式； （2）求四边形 ABCD 的面积； （3）△AOB 与△BDE 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由； 4 （4）设抛物线 C1 的对称轴与 x 轴交于点 F，另一条抛物线 C2 经过点 E（抛物线 C2 与抛物 线 C1 不重合），且顶点为 M（a，b），对称轴与 x 轴相交于点 G，且以 M，G，E 为顶点的 三角形与以 D，E，F 为顶点的三角形全等，求 a，b 的值（只需写出结果，不必写出解答过 程） 11．以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 9cm 和 5cm，⊙ O′与这两个圆都相切，则⊙O′ 的半径是 ． 12．在△ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50°，则底角 B 的大小为 ． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以 C 为圆心，R 为半径所作的圆 与斜边 AB 只有一个公共点，则 R 的取值范围是 ． 14．已知点 A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中 m<6，以 M 为圆心，MC 为半径 作圆，那么当 m= 时，⊙M 与直线 AB 相切． 15．关于 x 的方程 01)1(2  xkkx 有有理根，求整数是的值． 16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于 200 元，则不予优惠； (2)若一次购物满 200 元，但不超过 500 元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过 500 元，其中 500 元的部分给予九折优惠，超过 500 元部分给予八 折优惠． 小明两次去该超市购物，分别付款 198 元与 554 元，现在小亮决定一次去购买小明分两 次购买的同样多的物品，他需付款多少? 17．如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P 点在 AC 上(与点 A、C 不重合)，Q 点在 BC 上． (1)当△PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长； y x B O A D E C(2,3)3 -1-2 5 (3)试问：在 AB 上是否存在点 M，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明 理由；若存在，请求出 PQ 的长． 18．已知关于 x 的方程 0)1(2  pxqpx (q≥0)的两个实数根为 ，  且 ≤  ． (1)试用含有 ，  的代数式表示 p 和 q ； (2)求证： ≤1≤ (3)若以 ， 为坐标的点 M( ， )在△ABC 的三条边上运动，且△ABC 顶点的坐标分 别为 A(1，2)，B( 2 1 ，1)，C(1，1)，问是否存在点 M 使 + = 4 5 ，若存在，求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由． 19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场 售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙 表示的抛物线段表示． (1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 )(tfP  ；写出图乙表示的种植成本与时间的 函数关系式 )(tgQ  ． (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和 种植成本的单位：元／102 ㎏，时间单位：天) 6 参考答案 7 8