人教版中考数学二轮复习专题练习下几何最值问题

人教版中考数学二轮复习专题练习下几何最值问题

几何最值问题 ‎1.如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一只蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：C 解析：将正方体展开，连接，根据两点之间，线段最短，可知就是最短路径；过点做垂直于正方形的边长，垂足是点，根据正方形的性质和勾股定理知：‎ ‎2.如图，正方体盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：C 解析：将正方体展开如图所示，连接，根据两点之间，线段最短，知就是最短路径；在中，，故：‎ ‎3.如图，是高为的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从点出发，沿角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：B 解析：将圆柱延点处展开如下图，根据两点之间，线段最短，可知是要求的最短路径，根据角直角三角形的性质得：‎ ‎4.已知如图，直角梯形中，，，，，点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为 ． ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：D 解析：过点作于点，作点关于点的对称点，连接交于点；‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形是矩形 ‎∴‎ ‎∴在中，‎ ‎∴由勾股定理知：‎ 在中，，‎ ‎∴由勾股定理得：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ 故 在中，‎ ‎∴‎ ‎5.如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：B 解析：‎ 取的中点,取圆与直线的切点为，连接 ‎∵，，‎ ‎∴‎ 由勾股定理知，是直角三角形 在中，是的中点，‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴当点三点共线且垂直于时，最小 ‎∴‎ ‎6.如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：A 解析：‎ ‎∵四边形是正方形 ‎∴点关于直线的对称点是点 ‎∴‎ 根据两点之间，线段最短，当三点共线时最小，等于 ‎∵是等边三角形 ‎∴‎ ‎7.如图，在锐角中，，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是___________．‎ 答案：4‎ 解析：过点作于点 ‎∵是的角平分线 ‎∴点关于的对称点正好落在上，连接 ‎∴‎ 根据点到直线的距离，垂线段最短，知的最小值就是 ‎∴‎ ‎8.已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点在第一象限，连结，则的长的最大值是 ．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：C 解析：‎ 取的中点，连接、‎ 在中，，‎ 根据三角形三边性质，‎ ‎∴当（此时点三点共线）时，最大 ‎∴‎ ‎9． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为（），点的坐标为（），点为斜边上的一动点，则的最小值为（ ）．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：B 解析：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，过 作于，则此时的值最小．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴， ，．‎ 由勾股定理得：．‎ 由三角形面积公式得：，‎ 即 ‎∴．∴．‎ ‎∵ ， ，‎ ‎∴ ，∵ ，∴ ．‎ ‎∵ ，∴ ，∴．‎ 由勾股定理得：．‎ ‎∵，∴．‎ 在 中，由勾股定理得：．‎ 即的最小值是．‎ 所以应选B．‎ ‎10.已知菱形的两条对角线分别为和，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值=______．‎ 答案：5‎ 解析：‎ 作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小，连接，‎ ‎∵四边形是菱形，‎ ‎∴‎ 即在上，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵为中点，‎ ‎∴为中点，‎ ‎∵为中点，四边形是菱形，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形 是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形是菱形，‎ ‎∴ ， ，‎ 在 中，由勾股定理得：，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎11.（1）观察发现 如图（1）：若点 、 在直线 同侧，在直线上找一点，使的值最小，做法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．‎ 如图（2）：在等边三角形中，，点是的中点，是高，在 上找一点使 的值最小，做法如下：‎ 作点关于的对称点，恰好与点重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点故 的最小值是多少？‎ ‎（2）实践运用 如图（3）：已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径 上作出点，使 的值最小，则的值最小，则的最小值是多少？‎ ‎（3）拓展延伸 如图（4）：点是四边形内一点，，，分别在边、上作出点，点，求周长的最小值．‎ 解析：（1）观察发现 如图（2），的长为 的最小值，‎ ‎∵在等边三角形 中， ，点 是 的中点 ‎∴ ， ，‎ ‎∴；‎ 故答案为；‎ ‎（2）实践运用 如图（3），过 点作弦 ，连结 交 于 点，连结 、 、、，‎ ‎∵，‎ ‎∴ 平分 ，即点 与点 关于 对称，‎ ‎∵的度数为 ，点 是的中点，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∵ 的长就是 的最小值．‎ 故答案为；‎ ‎（3）拓展延伸，如图（4）．‎ ‎12.如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为________．‎ 答案：6‎ 解析：连接，，‎ ‎∵四边形是正方形，‎ ‎∴点与点关于直线对称，‎ ‎∴的长即为的最小值，‎ ‎∵,‎ ‎∴周长的最小值．‎ 故答案为：．‎ ‎13.去冬今春，济宁市遭遇了年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村和李村送水.经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）.两村的坐标分别为.‎ ‎(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？‎ ‎(2)水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？‎ 答案：‎ ‎（1）作点关于轴的对成点，连接，则点为.‎ 设直线的函数关系式为，则 ‎，解得.‎ ‎∴当时，.‎ 所以，水泵站建在距离大桥千米的地方，可使所用输水管道最短.‎ ‎（2）作线段的垂直平分线，交于点，交轴于点，设点的坐标为.‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得.‎ 所以，水泵站建在距离大桥千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等.‎ ‎14.如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点 到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度和最短，则此时（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ 答案：B 解析：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 与点 ，过点 作 直线 ，连接 ，‎ ‎∵ 到直线 的距离为 ， 与 之间的距离为 ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴四边形 是平行四边形，‎ ‎∴ ，‎ 过点 作 ，交 于点 ，‎ 易得 ，， ，‎ 在 中，，‎ 在 中， ．‎ 故选B．‎ ‎15.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕交于点；打开后，过点任意折叠，使折痕交于点，如图3；打开后，如图4；再沿折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕和长度的和的最小值是（ ）‎ 答案：‎ 解析：‎ 作点关于点的对称点，连接 ‎∴‎ ‎∴‎ 根据两点之间线段最短，可知的最小值就是 过点作于点 在中，‎ ‎∴‎ ‎16.如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值是（ ）．‎ 解析：‎ 找点关于的对称点，‎ 由正方形的性质可知，就是点关于的对称点，‎ 连接、，由可知，‎ 当且仅当、、三点共线时，的值最小，该最小值为．‎ 当点在上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：‎ 与的交点，即取最小值时；‎ 当点位于点时，；‎ 当点位于点时，．故的最大值为．‎ ‎17.如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小是_______.‎ 解析：‎ 连接，易知 ‎∴在中，‎ ‎18.如图，，角内有点，，在角的两边找两点、(均不同于点)，使得的周长最小，则最小值是______.‎ 答案：2‎ 解析：‎ 分别做点关于直线的对称点，连接交于点，连接，此时的周长最小 ‎∵‎ ‎∴是等腰直角三角形 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴的周长最小为 ‎19.如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小，最小值是______.‎ 答案：5‎ 解析：‎ 作点关于的对称点，连接交于点，根据两点之间线段最短，点即为所求的点 ‎∵分别是菱形边的中点 ‎∴点是的中点 ‎∴‎ ‎20.如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 答案：B 解析：‎ 作点关于的对称点，连接、．‎ 由点、关于对称可知，．‎ 故 当且仅当、、共线时，等号成立，故．‎ 另外两个临界位置在点和点处．‎ 当点位于点处时，；‎ 当点位于点处时，．‎ 故，．‎ 本题也可作点关于的对称点，连接、．‎ ‎21.如图，一副三角板拼在一起，为的中点，．将沿对折于，为上一动点，则的最小值为 ．‎ 答案：‎ 解析：‎ 根据点到直线的距离垂线段最小可知，当，最小 连接，过点作于点 易知四边形是正方形，所以设 ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴在中，，‎ ‎∴由勾股定理知：‎ 解之得：‎ ‎22.如图，在直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 和 ，点 是 轴上的一个动点，且 、 、 三点不在同一条直线上，当的周长最小时，点 的坐标是（ ）‎ 答案： ‎ 解析：作 点关于 轴对称点 点，连接 ，交 轴于点 ，‎ 此时 的周长最小，‎ ‎∵点 、 的坐标分别为 和 ，‎ ‎∴ 点坐标为： ， ，则 ，‎ 即 ，∵ ，∴ ，‎ ‎∴点 的坐标是 ，此时 的周长最小． ‎ ‎23.如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是( )‎ 解析：‎ 取边的中点，连接 根据三角形三边关系，‎ ‎∴当点三点共线时，有最大值 此时，‎