2013年四川省乐山市中考数学试题（含答案）
乐山市2013年高中阶段教育学校招生统一考试
数 学
第一部分（选择题 共30分）
一、 选择题：本大题共10小题，30分，四选一。
( B )1. -5的倒数是
A . -5 B. - C. 5 D.
( B )2.乐山大佛景区2013年5月份某周的最高气温（单位：ºC）分别为29，31，23，26，29，29，29。这组数据的极差为
A . 29 B. 28 C. 8 D. 6
( C )3.如图1，已知直线a//b,∠1=131º,则∠2等于
A . 39º B.41º C.49º D.59º
( D )4.若a>b，则下列不等式变形错误的是
A.a+1 > b+1 B. > C. 3a-4 > 3b-4 D.4-3a > 4-3b
( D )5.如图2，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，
AD、BE的延长线相交于点F，DF=3,DE=2,则平行四边
形ABCD的周长为
A. 5 B. 7 C.10 D. 14
( A )6.如图3，在平面直角坐标系中，点P（3，m）是
第一象限内的点，且OP与x轴正半轴的夹角α的
正切值为，则sinα的值为
A． B. C. D.
( A )7.甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为110千米，B、C两地间的距离为100千米。甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度。为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是
( D)8.一个立体图形的三视图如图4所示，
根据图中数据求得这个立体图形的表面积为
A．2Π B．6П C．7П D．8П
( C )9.如图5，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1)，过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
( CD=8,9,10 )
( B )10.如图6，已知第一象限内的点A在反比例函数y = 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y = 的图象上，且OA⊥0B ，cotA= ，则k的值为
A．-3 B.-6 C.- D.-2
二、填空题：本大题6小题，每小题3分，共18分。
11.如果规定向东为正，那么向西为负，汽车向东行驶了3千米记作3千米，向西行驶2千米应记作 -2 千米。
12.在一个布口袋内装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其他区别，其中有白球5只、红球3只、黑球1只。袋中的球已经搅匀，闭上眼睛随机地从袋中取出1只球，取出红球的概率是 。w W w .x K b 1.c o M
13.把多项式分解因式：ax2-ay2= a(x + y) (x - y) 。
14.如图7，在四边形ABCD中，∠A=45º。直线l与边AB、AD分别相交于点M、N，则∠1+∠2= 225 º.
15.如图8，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2П-4 。
16.对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为
，即当n为非负整数时，若n-≤x =n,如<0.46>=0,<3.67>=4,给出下列关于的结论： ① <1.493>=1, ② <2x>=2, ③ 若=4，则实数x的取值范围是9≤x<11, ④ 当x≥0，m为非负整数时，有= m+<2013x>, ⑤ =+. 其中，正确的结论有 ①③④ （填写所有正确的序号）。
一、 本大题共3小题，每小题9分，共27分。X Kb 1. Co m
17.计算：∣-2∣- 4sin45º + (-1)2013 + .
解：原式=2-2 -1+ 2
=1
18.如图9，已知线段AB.
(1)用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在(1)中所作的直线l
上任意取两点M、N（线段AB的上方）.连结AM、AN、BM、BN.求证：∠MAN=∠MBN.
解：（1）如图，直线l为线段AB的垂直平分线。
（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，点M、N在直线l上，∴MA=MB，NA=NB（中垂线上一点到线段两端的距离相等）MN=MN（公共边），[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴△MAN≌△MBN （SSS） ∴∠MAN=∠MBN
19.化简并求值：（+ ）÷,其中x、y满足∣x-2∣+(2x-y-3)2=0.
解：∵∣x-2∣+(2x-y-3)2=0，
∣x-2∣=0 ， x=2
∴ (2x-y-3)2=0 , y=1 ，
将原式化简：
（+ ）÷= =
将 x=2，y=1代入 得：
原式= = .
一、 本大题共3小题，每题10分，共30分，其中第22题为选做题。
20.中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图10.1和扇形统计图10.2（不完整）。请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了 200 名中学生家长；
(2)将图10.1补充完整；
(3)根据抽样调查结果，请你估计该市城区6000名中学生家长中有多少名家长持反对态度。
解：（3）6000×60%=3600（名）
答：该市城区6000名中学生家长中有3600名家长持反对态度。
21.如图11,山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60º和45º
，求山的高度BC.（结果保留根号）
解：根据题意得：
AC=AB+BC=20+BC,
CD=AC·cot60º=BC·cot45º;
(20+BC)·cot60º= BC·cot45º,
20×+ BC = BC ,
BC=10+10
答：山的高度BC为10+10米。
22.选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：如图12，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.
(1) 求证：直线CD是⊙O的切线；
(2) 过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求线段AE的长.
解：（1）证明：连结OD，OD=OB，∠ODB=∠B，
∠ADC=∠B，∠ODB=∠ADC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90 º，
∠ADO+∠ADC =90 º，∠ODC=90 º，OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线。
（2）AB=，BD=2，DA==1,
∵AE⊥AB，∠EAB=∠ADB=90 º，∠B=∠B，△EAB∽△ADB，
= , AE= = .
答：线段AE的长为。
题乙：已知关于x、y的方程组 的解满足不等式组
求满足条件的m的整数值。
解：由②-①×2得 7y = 4, y= , x= m + ,∵x= m + , y= 满足
3x + y ≤0 3m + + ≤0
不等式组 , ∴ , 解得：-40 m + + >0
m为整数时，m=-3或m=-2, ∴ 满足条件的m的整数值为-3或-2。
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分。
23.已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.
当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
解：（1）证明：∵一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0,
△ =[-(2k+1)]2-4 (k2+k)=1>0, ∴此方程有两个不相等的实数根。
(2) ∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，由（1）知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，
∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一个解。
将x=5代入方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，
25-5(2k+1) +k2 +k=0，解得k=4或k=5.
当k=4时，原方程为x2 -9x +20 = 0 ，x1=5, x2= 4, 以5，5，4为边长能构成等腰三角形；
当k=5时，原方程为x2 -11x +30 = 0 ，x1=5, x2=6, 以5，5，6为边长能构成等腰三角形；（必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5）
∴k的值为4或5。
24.如图13，已知直线y=4-x与反比例函数y= (m>0,x>0)的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.
(1)如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x<的解集；
(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）∴点A的横坐标为1，点A在直线
y=4-x 的图象上，y=4-1=3,
∴点A的坐标为（1，3），
点A在反比例函数y= (m>0,x>0)的图象的
图象上，m = xy =3 ,
∵点A、B是直线y=4-x与反比例函数
y= (x>0)的图象的交点，∴4-x= ,
解得x=1或x=3,点B的横坐标为3，∴4-x< 的解集为 x<1或x>3 。
（2）存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)。
连结AP、BP，分别过点A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F。
4-x=,x2-4x+m=0, 令a、b是该方程的解，则a + b = 4, b = 4 – a ，
令点A的坐标为（a,4-a），则点B的坐标为（4-a,a）；
以AB为直径的圆经过点P（1，0），则∠APB=90º，
∠APB+∠EPA+∠FPB=180 º ，∠EPA+∠FPB=90º，∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，
∴∠AEP=∠PFB=90º，∠EAP+∠EPA=90º，∠EPA=∠FPB，△AEP∽△PFB，
= , = , a=2+ 或 a=2-
4-a=2- 4-a=2+ ，
∵点A（2+ ，2- ） 或（2- ，2+ ）在反比例函数
y= (m>0,x>0)的图象上，∴ m =(2+ )(2- )= .
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25.如图14.1，在梯形ABCD中，AD//BC,点M、N分别在边AB、DC上，且MN//AD，记AD=a ,BC=b.
若 = ,则有结论：MN = .
请根据以上结论，解答下列问题：
如图14.2、14.3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3 .
(1)若点P为线段EF的中点，求证： PP1 = PP2 + PP3 ；
(2)若点P为线段EF上的任意点，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，并给出证明。
解：（1）证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H。[来源:学科网]
BE、CF分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，EN=EM，FH=FG，
PP2//EN，PP3//FH，点P为线段EF的中点，PP2=EN=EM,PP3=FH=FG.
PP1//FG//EM , , PP1= = =FG+ EM = PP2+ PP3.
(2) PP1= PP2+ PP3.
证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H。
令FG = a ,EM = b, = , PP1//FG//EM , PP1= ；
EM=EN, = = ,PP2= ·EN= ·EM= ；
同理可得：PP3 = ·FH = ·FG = ；+ = ,
PP1= PP2+ PP3.
26.如图15.1，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON = 3.
(1)求抛物线C的解析式；
(2)将抛物线C绕原点O旋转180º得到抛物线C’，抛物线C’与x轴的另一交点为A，B为抛物线C’上横向坐标为2的点. w W w .x K b 1.c o M
①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线 O –B -A于点E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图15.2所示的等边△EE1E2、等边△FF1F2,点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动，当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值.
解：（1）对称轴MN的解析式为x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M（-3，-9），
令抛物线C的解析式为y=a(x+3)2-9，它经过原点，则0=a(0+3)2-9, a=1,[来源:学科网ZXXK]
y=1(x+3)2-9=x2+6x ，所以抛物线C的解析式为y=x2+6x；
（2）①抛物线C’的解析式为
y=- x2+6x，当y=0时，x=0或6，点A的坐标为（6，0）， 点B在抛物线C’上，且其横坐标为2，y=8,有点B（2，8），直线AB的解析式为
y=-2x +12 ,点P在线段AB上，令点P的坐标为（p,-2p+12）,
S△APD = p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9,当p=3（2<3<8）时，
S△APD 的max值为9；http:// www.xkb1.c om
② 据（2）①知，直线OB解析式为y=4x,
直线AB解析式为y=-2x +12；
如图15.3, ∵EE1//FF1, △EE1E2、△FF1F2是等边三角形，∴E1E2//FF2，EE2//F1F2，
直线EE1的解析式为x=t,直线FF1的解析式为x=6-t,令E1 (t,y)则有E（t,0）、
E2 (t+ ,)，设直线EE2的解析式为
y=x + a,直线F1F2的解析式为y= x + b,直线E1E2的解析式
为y=- x + c,直线FF2的解析式为y=- x + d，
Ⅰ、当EE1与FF1在同一直线上时，x=t=6-t，t=3 ；
[来源:Zxxk.Com]
Ⅱ、当0≤t≤2时，点E1在直线OB上，点F1在直线AB上，有E（t,0）、E1 (t,4t)、F (6-t,0)、F1（6-t,2t）[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0 = t + a，a=- t,
2t= (6-t) + b, b= (2+ )t-2, a=b, - t=(2+ )t-2,
t= ；新 课 标 第 一 网
(b) 当E1E2与FF2在同一直线上时，有4t=- t + c，c=(4+ )t,
0=- (6-t) + d, d=2- t, c=d, (4+ )t = 2 - t,
t= ；
通过作图观察可知，当24,舍去)；
Ⅳ、当46,舍去)；
(b) 当E1E2与FF2在同一直线上时，有-2t+12=- t + c, c=12+ t-2t, 0=- (6-t) + d , d=2- t , c = d,
12+ t-2t=2- t ,t= (>6,舍去)；
综上所述，当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时，
t的值为3，或 . ]
