初三数学试卷 2007

初三数学试卷 2007

北京市西城区2007年抽样测试 初三数学试卷 2007．6‎ ‎(时间120分钟，满分120分)‎ 学校________ 班级________ 姓名________‎ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ ‎1．的绝对值是( )．‎ A．－2 B．‎ C．2 D．‎ ‎2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝8，∠B＝60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是( )．‎ A．π B．π C．2π D．π ‎3．若右图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成的这个几何体的小正方体的个数是( )．‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎4．如图，已知AD∥EG∥BC，且AC∥EF，记∠EFB＝α，则图中等于α的角(不包含∠EFB)的个数为( )．‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎5．估算＋3的值( )．‎ A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在5和6之间 D．在4和5之间 ‎6．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯亮的概率是( )．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①a＋b＋c＞0 ②b2－‎4ac＞0‎ ‎③abc＜0 ④‎2a＋b＞0‎ 其中正确结论的个数是( )．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎8．若等边△ABC的边长为‎6cm长，内切圆O分别切三边于D、E、F，则阴影部分的面积是( )．‎ A．π B．π C．π D．π ‎第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(本题共16分，每小题4分)‎ ‎9．Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝________．‎ ‎10．为了解九年级学生的体能情况，随机抽查了30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成右图所示的频数分布直方图，根据图示，估计九年级学生1分钟仰卧起坐的次数在25—30次的频率是________．‎ ‎11．对于符号*作如下定义：对所有的正数a和b，a*b＝．那么10*2＝________．‎ ‎12．直线上现有n个点，我们在每相邻两点间插入一个点，记作一次操作，经过10次操作后，直线上共有________个点．‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．已知关于x的方程x2＋3x＝8－m有两个不相等的实数根．‎ ‎(1)求m的最大整数是多少?‎ ‎(2)将(1)中求出的m值，代入方程x2＋3x＝8－m中解出x的值．‎ ‎14．边防战士在海拔高度为‎50米(即CD的长)的小岛顶部D处执行任务，上午8点，发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．‎ ‎15．解方程：．‎ ‎16．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝62°，∠D＝25°．求∠DBE的度数．‎ ‎17．对于二次三项式x2＋10x＋46，小明作出如下结论：无论x取任何实数，它的值都不可能小于21．你同意他的说法吗?说明你的理由．‎ ‎18．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线AC，BD相交于点F，过F作EF∥AB，交AD于E．‎ ‎(1)求证：梯形ABFE是等腰梯形；‎ ‎(2)若△DCF的面积是12，求梯形ABCD的面积．‎ 四、解答题(本题共20分，每小题5分)‎ ‎19．如图，⊙O中有直径AB、EF和弦BC，且BC和EF交于点D．点D是弦BC的中点，CD＝4．DF＝8．‎ ‎(1)求⊙O的半径R及线段AD的长；‎ ‎(2)求sin∠DAO的值．‎ ‎20．某火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排一列挂有A、B两种不同规格的货车厢50节的货车将这批货物运往灾区．已知一节A型货车厢可用35吨甲种货物和15吨乙种货物装满，运费为0.5万元；一节B 型货车厢可用25吨甲种货物和35吨乙种货物装满，运费为0.8万元．‎ 设运输这批货物的总运费为w万元，用A型货车厢的节数为x节．‎ ‎(1)用含x的代数式表示w；‎ ‎(2)有几种运输方案；‎ ‎(3)采用哪种方案总运费最少，总运费最少是多少万元?‎ ‎21．公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：‎ 每人销售件数 ‎1800‎ ‎510‎ ‎250‎ ‎210‎ ‎150‎ ‎120‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎(1)求这15位营销人员销售量的平均数、中位数、众数(直接写出结果，不要求过程)；‎ ‎(2)假设销售部把每位销售人员的月销售定额规定为320件，你认为是否合理，为什么?如果不合理，请你从表中选一个较合理的销售定额，并说明理由．‎ ‎22．如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行．吃到上底面上与A点相对的B点处的食物(π的近似值取3，以下同)．‎ ‎(1)当圆柱的高h＝12厘米，底面半径r＝3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少；‎ ‎(2)当圆柱的高h＝3厘米，底面半径r＝3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程是多少；‎ ‎(3)探究：当圆柱的高为h，圆柱底面半径为r时，蚂蚁怎样爬行的路程最短，路程最短为多少?‎ 五、解答题(本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分)‎ ‎23．已知，□ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F．若DE＝5，DF＝8，‎ 求□ABCD的两边AB、BC长和BE＋BF的长．‎ ‎24．如图，在直角坐标系内有点P(1，1)、点C(1，3)和二次函数y＝－x2．‎ ‎(1)若二次函数y＝－x2的图象经过平移后以C为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；‎ ‎(2)若(1)中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B(A点在B点的左侧)，‎ 求cos∠PBO的值；‎ ‎(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分?若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎25．我们给出如下定义：如图1，平面内两直线l1、l2相交于点O，对于平面内的任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1和l2的距离(p≥0，q≥0)，称有序非负实数对[p，q]是点M的距离坐标．‎ 图1‎ 根据上述定义请解答下列问题：‎ 如图2，平面直角坐标系xoy中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x，M是平面直角坐标系内的点．‎ ‎(1)若p＝q＝0，求距离坐标为[0，0]时，点M的坐标；‎ ‎(2)若q＝0，且p＋q＝m(m＞0)，利用图2，在第一象限内，求距离坐标为[p，q]时，点M的坐标；‎ ‎(3)若p＝1，q＝，则坐标平面内距离坐标为[p，q]的时候，点M可以有几个位置?并用三角尺在图3中画出符合条件的点M(简要说明画法)．‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ 北京市西城2007年抽样测试 初三数学评分标准及参考答案 2007．6‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B B C A D B A 二、填空题(共16分，每小题4分)‎ ‎9．； 10．0.4 11．； 12．210n－(210－1)．‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．解：‎ ‎(1)由于方程x＋3x－8＋m＝0有两个不相等的实数根，‎ 所以，b2－‎4ac＝32－4×1×(－8＋m)＝－‎4m＋41＞0，有m．‎ 故m的最大整数是10．‎ ‎(2)当m＝10时，原方程是x＋3x＋2＝0，解得x＝－2，x＝－1．‎ 所以，当m＝10时，原方程的根是x1＝－1，x2＝－2．‎ ‎14．解：依题意∠EDA＝30°，∠EDB＝45°，CD＝‎50米．‎ 因为，DE∥CA，CD⊥CA 所以，∠DAC＝30°，∠DBC＝45°．……………………………………………2分 因为AC＝＝‎50米，BC＝DC＝‎50米．……………………………4分 所以，该船在这一段时间内的航程AB是(50－50)米．‎ 答：该船在这一段时间内的航程(50－50)米．………………………………5分 ‎15．解：方程两边同乘以x(x＋1)，得 x2＋x(x＋1)＝(2x＋2)(x＋1)．……………………………………………………2分 整理，得3x＝－2．‎ 解出，x＝．‎ 检验：当时，x(x＋1)≠0，所以是原分式方程的解．…5分 ‎16．解：∵OA＝OB，OC＝OD，∠O＝∠O，‎ ‎∴△OAD≌△OBC. ………………………………………………………………2分 ‎∴∠C＝∠D＝25°.‎ ‎∵∠DBE＝∠O＋∠C, ……………………………………………………………4分 ‎∵∠DBE＝62°＋25°＝87°. ………………………………………………………5分 ‎17．解：同意．………………………………………………………………………………1分 因为x＋10x＋46＝x＋10x＋25＋21＝(x＋5)2＋21．……………………………3分 由于对于任意实数x都有(x＋5)2≥0，……………………………………………4分 所以(x＋5)2＋21≥21．‎ 即无论x取任何实数，x＋10x＋46都不能小于21．……………………………5分 ‎18．解：(1)过D作DG⊥AB，交AB于G．‎ 在直角梯形ABCD中，∠BCD＝∠ABC＝90°．‎ ‎∵∠DGB＝90°，‎ ‎∴四边形DGBC是矩形．‎ ‎∴DC＝GB．‎ ‎∴AB＝2DC，‎ ‎∴AB＝2GB，‎ ‎∴AG＝GB．‎ ‎∴DA＝DB．‎ ‎∴∠DBA＝∠DAB．‎ ‎∵EF∥AB，AE与BF相交于点D ‎∵四边形EABF是梯形．‎ ‎∵∠DBA＝∠DAB．‎ ‎∴四边形ABFE是等腰梯形．…………………………………………………3分 ‎(2)∵AB∥DC，‎ ‎∴∠FAB＝∠FCD．‎ ‎∵∠AFB＝∠DFC，‎ ‎∴△AFB∽△CFD．‎ ‎∵AB＝2DC，S△CFD＝12，‎ ‎∴S△AFB＝48．……………………………………………………………………4分 ‎，有，有S△ADF＝24．‎ 同理，S△CFB＝24．‎ ‎∴梯形ABCD的面积＝12＋48＋24＋24＝108．………………………………5分 四、解答题(本题共20分，每小题5分)‎ ‎19．解：(1)∵D是BC的中点，EF是直径，‎ ‎∴CB⊥EF且BD＝CD＝4．……………………………………………………1分 ‎∵DF＝8，∴OD＝8－R ‎∵OB2－OD2＝DB2，‎ ‎∴R2－(8－R)2＝42‎ ‎∴R＝5．……………………………………………………………………………2分 连续AC，过D作DH⊥AB交AB于H.‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴ACB＝90°．‎ ‎∵CB＝2CD＝8，AB＝10，‎ ‎∴AC＝6．‎ ‎∴∠ACD＝90°，AC＝6，CD＝4，‎ ‎∴AD＝2．……………………………………………………………………3分 ‎(2)∵Rt△DHB中，DH＝DB·sin∠DBH＝，………………………4分 ‎……………………………………………………5分 ‎20．(1)w＝0.5x＋(50－x)×0.8＝40－0.3x．………………………………………………1分 ‎(2)‎ 解得，28≤x≤30．……………………………………………………………………2分 ‎∵x为正整数，∴x取28、29、30．‎ ‎∴有三种运输方案．……………………………………………………………………3分 ‎(3)x取28、29、30时，w＝40－0.3x，且k＝－0.3＜0．‎ ‎∴w随x的增大而减少，故当x＝30时w最少．‎ ‎∴当A型货车厢为30节，B型货车厢为20节时，所需总运费是多少，最少总运费为31万元．……………………………………………………………………………5分 ‎21．(1)平方数是320．………………………………………………………………………1分 中位数是210．…………………………………………………………………………2分 众数是210．……………………………………………………………………………3分 ‎(2)不合理．………………………………………………………………………………4分 因为15人中有13人销售额达不到320，销售额定为210较合适，因为210是众数也是中位数．………………………………………………………………………………5分 ‎22．(1)当蚂蚁沿侧面爬行，其展开图如右图，AB路程最短．‎ AB＝‎ 已知n取3，所以AC＝12，＝3π≈9，‎ 所以AB＝15，…………………………………………………………………………1分 ‎(2)当蚂蚁沿侧面爬行同(1)的方法：‎ ‎∵AC＝3，＝3π≈9，∴AB＝＝3．‎ 当蚂蚁沿AC到上底面，再沿直径CB爬行，有AC＋BC＝3＋6＝9．‎ 因为＞9，所以最短路程是经AC到上底面，‎ 再沿直径CB爬行的总路程为9．……………………………………………………3分 ‎(3)在侧面，沿AB爬行时，S1＝，沿AC再经过直径CB时，‎ S2＝h＋2r．‎ 当S1＝S2时，．‎ 整理，得4h＝(π－4)r，由于π取，所以4h≈5r．…………………………………4分 当时，两种爬行路程一样．‎ 当S1＞S2时，，整理，得4h＜(π2－4)r 当π取3时，有h＜，所以当h＜时，沿AC再经过直径CB到点B时所走路程最短．‎ 同理，当h＞时，沿侧面AB走路程最短．……………………………………5分 当h＜r时，沿AC到CB走路程最短为h＋2r．‎ 当h＜r时，沿侧面AB走或沿AC到CB走路程一样长为或h＋2r．‎ 当h＜r时，沿侧面AB走路程最短为．‎ 当h＜r时，沿AC到CB走路程最短为h＋2r．‎ 五、解答题(本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分)‎ ‎23．解：对于平行四边形ABCD有两种情况：‎ 图1‎ ‎(1)当∠A为锐角时，如图1，设AB＝a，BC＝b，‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥BC，‎ ‎∴AB×DE＝BC×DF．‎ 又∵DE＝5，DF＝8，∴‎5a＝8b．…………………………………………………(1)‎ ‎∴2(a＋b) ＝52，∴a＋b＝26．…………………………………………………(2)‎ 解(1)、(2)组成的方程组，得 a＝16，b＝10．‎ ‎ 即 ‎ ‎∴AB＝CD＝16，AD＝BC＝10，‎ ‎∴在Rt△ADE中，‎ BE＝AB－AE＝16－5．………………………………………………………3分 ‎∴在Rt△DFC中，‎ ‎∵F点在CB的延长线上，‎ ‎∴BF＝CF－BC＝8－10．‎ ‎∴BE＋BF＝(16－5)＋(8－10)＝6＋3．…………………………4分 图2‎ ‎(2)当∠D为锐角时，如图2………………………………………………………5分 由(1)同理可得，‎ AB＝16，BC＝10，AE＝5，CF＝8．‎ ‎∴BE＝BA＋AE＝16＋5，‎ BF＝BC＋CF＝10＋8，‎ ‎∴BE＋BF＝(16＋5)＋(10＋8)‎ ‎＝26＋13.…………………………………………………………………6分 ‎24．解(1)平移后以C为顶点的点抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋3，所以一种移动方式是将y＝－x2向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度．‎ ‎(2)由(1)知移动后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋3＝x2＋2x＋2．‎ 令－x2＋2x＋2＝0，解出x1＝1－‎ x2＝1＋.‎ 连续PB，由P作PM⊥x轴，‎ ‎∴BM＝，PM＝1．有PB＝2．‎ ‎………………………………………………………………4分 ‎(3)存在这样的点D．理由如下：欲使OC与PD互相平分，‎ 只要使四边形OPCD为平行四边形，‎ 由题设知，PC∥OD，………………………………………………………………6分 又PC＝2，PC∥y轴，∴点D在y轴上，‎ ‎∴OD＝2，即D(0，2)．‎ 又点D(0，2)在抛物线y＝－x2＋2x＋2上，故存在点D(0，2)，即OD与PC平行且相等，使线段OC与PD相互平分．……………………………………………8分 ‎25．解：(1)若p＝q＝0，即距离坐标为[0，0]时，点M是直线l1与l2的交点，所以点M的坐标是M(0，0)．…………………………………………………………………2分 ‎(2)∵q＝0，∴点M在直线l2∶y＝上．‎ 过点M作MC⊥l1于点C，CB⊥x轴于点B，‎ 过点M作NA⊥x轴于点A，交l1于点N．……………………………………3分 由题设知，q＝0，p＋q＝m，有p＝m(m＞0)，即MC＝m．‎ ‎∵N点在直线l1，M点在直线l2上，设N(x，x)，M(x，)，其中x＞0．‎ 因为Rt△CMN是等腰直角三角形，所以MN＝m．………………………5分 ‎∵AN＝OA，即＋m＝x，有x＝‎2‎m．‎ ‎∴M(‎2‎m，m)．……………………………………………………………6分 ‎(3)点M有四个位置，画法如图所示，……………………………………………7分 作EF∥l1 E‎1F1∥l1，使其间距离为1．‎ 作GH∥l‎2 G1H1∥l2，使其间距离为．‎ 四条直线有四个交点 M1、M2、M3、M4．………………………………………………………………8分