湘教版九年级数学上册第一章 反比例函数 精品教学课件

湘教版九年级数学上册第一章 反比例函数 精品教学课件

1.1 反比例函数 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册教学课件 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知 条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) 学习目标 ？？ 导入新课 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记 本数量y/本 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？ 你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 反比例函数的概念一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有， 请写出它们的解析式. 合作探究 (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速 度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是常数．分式 分子 (k为常数，k ≠ 0) 的函数， 叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 一般地，形如 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范 围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例 函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式 表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0) 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 练一练 是， 解：因为 是反比例函数 所以 4－k2=0， k－2≠0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根 据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的解析式. 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满足 . 2. 当m= 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠－1 ±1 练一练 确定反比例函数的解析式二 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12. 因此 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系 数； ④写出反比例函数解析式. 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=3时，y=－4，所以有 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y=6 代入 ，得 解得 x =－2. 例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa 是它的受力面积S m2的反比例函数，如图. （1）求p与S之间的函数表达式； （2）当S=0.5时，求p的值. 解：（1）设 （k≠0）， 因为函数图象过点（0.1,1000）, 代入上式，得 解得k=100. 所以p与S的函数表达式是 ； （2）当S=0.5时， p sO 0.1 1000 建立简单的反比例函数模型三 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机 在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野 变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数 解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它 的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 练一练 解:因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 当堂练习 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半 径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3； ③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的 半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的 速度为 x，放满一桶水的时间 y A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )A 3. 填空 (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . (2) 若 是反比例函数，则m的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则m的取值范围 是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ －2 m = －1 4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有 ，解得 k =16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t>0)． (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125－40＝85 ( m/min )． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t＝25 时， ； 当 t＝8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1 ， 求：(1) y 关于 x 的关系式； 解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)， 则 . ∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1， －3=－k1+k2 ， ∴k1=1，k2=－2.∴ ∴ (2) 当 x = 时，y 的值. 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反 比 例 函 数 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第1课时　反比例函数　　　　　的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制 简单的反比例函数图象． 2.了解并学会应用反比例函数 图象的基 本性质．(重点、难点) 导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函 数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 反比例函数的图象和性质一 例1 画反比例函数 与 的图象. 合作探究 提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0. 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 O－2 描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 　的图象． 方法归纳 　　 　　 　　绘制反比例函数的图象与绘制一次函数 的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比 例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线 条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明 确端点．曲线的发展趋势只能靠近 坐标轴,但不能和坐标轴相交． 观察这两个函数图象，回答问题：思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2) ， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； ●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因 为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限 部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据 图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 2．已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是________. 当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 3.在反比例函数　　(k>0)的图象上有两点A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) 且x1>x2>0，则y1-y2的值为 ( ) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 B 4. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5=－1 ，m＞0， 解得 m=2. 5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 性质：在每个象限内，y随x的增大 而减小 图象：分别位于第一、三象限 课堂小结 图象的画法（描点法）：列表、 描点、连线 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第2课时　反比例函数　　　　　 的图象与性质 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1.了解反比例函数 的相关性质. (重点、难点） 2.理解双曲线的概念以及其与反比例函数的联系． 　（重点、难点） 3.利用双曲线的性质解决简单的数学问题． 观察与思考 问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这 些点如果在平面直角坐标系中是怎样一种情况呢？可 以试着动手画一画． x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 反比例函数 图象与性质一 例1：画反比例函数 的图象. 解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0． 解：列表如下 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 … 描点：以表中各组对应 值作为点的坐标，在直 角坐标系内描绘出相应 的点． 连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 　的图象． 1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y x y = x4 O 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　图象的画法 与 图象的画法 类似，但在解题的时候要注 意图象所在的象限． 方法归纳 观察与思考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图 象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象， 从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质 的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y xO y xO y xO 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交； ●在每个象限内，y随x的增大而增大. 归纳： 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线， 它具有以下性质： k 的正负决定反比例函 数所在的象限和增减性 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < 练一练 例2：反比例函数 的图象大致是（ ) y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 典例精析 D 例3：如图是反比例函数 的图象，根据 图像，回答下列问题： （1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由； x y o 由图可知，反比例函数的图像的 两支双曲线分别位于第一三象限 内，在每个象限内，函数值y随自 变量x的增大而减小，因此，k>0 （2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该 函数上的两点，试比较y1、y2的大小. x y o 因为点A（-3，y1），B（-2，y2） 是该图像上的两点，且-3<0，-2<0， 所以点A，B都位于第三象限.又因为 -3<-2，由反比例函数图像的性质 可知：y1>y2 例4：若双曲线y = 的两个分支分别在第二、 四象限，则 k 的取值范围是( ) A. k＞ B. k＜ C. k= D.不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四 象限，则必有2k-1＜0，解得k＜ .故选B. B 例5 已知反比例函数 ，y 随 x 的增 大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 双曲线的概念及性质二 问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么 样的共同点与特征呢？ x y x y 双曲线 是轴对称图形，也是 以原点为对称中心的中 心对称图形． O O 例6：如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个 交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ( ) A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) x yC O 例7：点(2，y1)和(3，y2)在函数 上， 则 y1 y2．（填“>”“<”或“=”）< 解析：由题意知该反比例函数位于第二、 四象限，且y随着自变量x的增大而增大， 故y1 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、 三象限 图象位于第二、 四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 课堂小结 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第3课时　反比例函数图象与性质的综合应用 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力. (重点、难点) 导入新课 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三 象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四 象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 复习引入 问题1 问题2 反比例函数解析式中 k 的几何意义一 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P SS11 SS22 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想 S1 ，S2 与 k的关 系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5－4－3－2 1 432 －3 －2 －4 －5 －1 Q S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y xO P Q SS11 SS22 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直 于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. y xO P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上，∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 点 Q 是其图象上的任意 一 点，作 QA 垂直于 y 轴， 作 QB 垂直于x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO 的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= . Q 对于反比例函数 ， A B |k| y xO 归纳： 反比例函数的 面积不变性 A. SA >SB>SC B. SA0) 图像上的任意两点， 过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1= ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 典例精析 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3 练一练 解析：由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F，连接 OF，易知， S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为 S1 = S2 < S3 FS1 S2 S3 y D B A C x 例2 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象 上 任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的 图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. 3 2 5 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面 积为 8，则k =______. Q P O x M y－10 练一练 例3 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲 线 上，且 x2－x1 = 4，y1－y2 =2. 分别过点 A， B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F ， AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2 ，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析 式 为 . 解得 k = 6. ∴双曲线的解析式为 . 解析：∵ x2－x1 = 4，y1－y2 =2 ， ∴BG = 4，AG =5， ∴S△ABG =4×5÷2=10. 由反比例函数面积的不变 性可知， S长方形ACOE = S长方形BDOF = k . ∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE + S四边形BDOF－ S四边形FOCG+ S△ABG = k + k －2+4=14. 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于 点C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若△ABP 的面积为6，则 k = .24 练一练 E F S△ABP= S四边形BFCP， = (S四边形BDOF－S四边形OCPD) = (k－ k)= k = 6. ∴k =24. 反比例函数与一次函数的综合二 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的 图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 合作探究 ① x y O x y O ② k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 例4 函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y OC. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0k＜0 由一次函数增 减性得k＞0 由一次函数与y 轴交点知－k＞0 ， 则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可 对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y xO B. y xO C. y xO D. y xO B 练一练 例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的 图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数 图象处于反比例函数图象 的上方时. 观察右图，可 知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大 小更加简洁明了. 练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比 例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2时，x 的取值范围是 ． －1 2 y x0 A B －1< x <0 或 x >2 例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交 于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何 共同特点？你能 求出另外一个交 点的坐标吗？说 说你发现了什么 ？ 想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的 图象的交点坐标为 ． (2，6)，(－2，－6) 解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练 例7 已知 A(－4， )，B(－1，2)是一次函数 y= kx+b 与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数 解析式及 m 的值. 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得 －4k + b = ， －k + b =2， k = ， 解得 b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. 当堂练习 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， △ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 2. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A ， B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y xO CA BD 3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析 式是_______． 4. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0) 交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是___________．1＜x＜5 O B A x y 1 5 x y O B A 5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式； 所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 把A，B两点坐标代入一次函数 解析式中，得到a =4，b =－2. 解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =－4时，m= . (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. x y O B A 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ， 则 x＞1或 ＜x＜0. 6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解： y=－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2， y = 4. 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解：一次函数与x轴的交点为M (2，0) ， ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 课堂小结 面积问题 面积不变性 与一次函 数的综合 判断反比例函数和一次函数在 同一直角坐标系中的图象，要 对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原反比例函数的图象是一个以原 点为对称中心的点为对称中心的中心对称图形， 其与正比例函数的交点关于原 点中心对称 反 比 例 函 数 图 象 和 性 质 的 综 合 运 用 1.3 反比例函数的应用 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册精品教学课件 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比 例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 (S＞0) 的反比例函数 ； 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用一 引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板 的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的 道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木 板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将 如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计600N，那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比 例函数吗？为什么？ 由p＝ 得p＝ p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应 的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义， 则p是S的反比例函数． (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ 当S＝0.2m2时， p＝ ＝3000(Pa) ． 答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa． (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大 ？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p≤6000 Pa时，S ≥0.1m2． 0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p/Pa S/ 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位： m) 有怎样的函数关系?解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? d解： (2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？ 解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? 解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载 完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量， 可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货 速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函 数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 (2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心， 这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： (2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =12×5=60，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这 样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80×6=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t ＞0). 例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力 臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 反比例函数在其他学科中的应用一 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 当 l=1.5m 时，对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半， 则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当F=400× =200 时，由200 = 得 300－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一 定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比 例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)， 阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请 你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把 地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 练一练 变形得： 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如 图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U~解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R 例6 已知某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 R（Ω）三者之间有如下关系：U=IR，且该电路的电压U 恒为220V． (1) 写出电流 I 与电阻 R 的函数关系式； (2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解：(1) 因为U=IR，且U=220V ， 所以IR=220 ， 即该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为 (2) 因为该电路的电阻R=220Ω， 所以通过该电路的电流 （A） . (3) 如图所示，如果该电路接入的是一个滑动变阻器， 怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I增大？ 根据反比例函数 图像及性质可知，当滑动 变阻器的电阻R减小时， 就可以使电路中的电流I 增大. R/Ω I/A O 当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边 长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1O 2 x y 4O 4 B. x y 1O 4 C. x y 1O 4 1 4 D. C 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位： cm2) 的函数关系为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2， 则面条的总长度是 cm. 2000 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240千米/时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 (x＞0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1 x y O (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式为 . O 9 I(A) 4 R(Ω) M (4，9) (2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如 下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解： (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ (2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案：F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： (2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)； 2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？ 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 课堂小结 实 际 问 题 中 的 反 比 例 函 数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 小结与复习 第1章 反比例函数 湘教版九年级数学上册精品教学课件 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反 比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0) ． 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 y = x y=－x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 一、三象 限(x，y 同号) 在每个象 限内，y 随 x 的增 大而减小 k＜0 二、四象 限(x，y 异号) 在每个象 限内，y 随 x 的增 大而增大 x y o x y o (3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有 两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值. 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3　　　　　　　　B. －3 C. D. B 3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数 A 例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反 比 例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2 ， y3的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D　 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能 按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比 例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .y1 ＞0＞y2 针对训练 例2 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半 轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与 反比例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交 于P，Q两点，若 S△POQ=14， 则 k 的值为 .20 考点四 反比例函数的应用 例3 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y =kx+b 与反比例函数 (m＜0)图象的两个交点， AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. (2) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中，得 －4k + b = ， －k + b =2， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标. O B A x y C DP ∵ △PCA面积和△PDB面积相等， ∴ AC·[t－(－4)]= BD·[2－[ 2－( t+ )]， 解得：t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， )． 解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的 距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t+ )． 方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方 程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积 时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线 段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得P (1，2)， 把 P (1，2) 代入 ， 得到 P2 (2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l： y=kx +b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式；解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b ， 得 b= 2k，∴y = kx+2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1. y＝kx+2k， ∴ ∴ B (－3，－k)，A (1，3k). ∵ △ABO的面积为 ∴ 2·3k· + 2·k· = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 解：当 x ＜－3或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小 时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫 克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时2 4 (2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y/毫克 x/小时2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2 ， 解得x≥1，∴1≤x≤2； 当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热， 设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟 ．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次 函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热 一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度y与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y(℃) x(min)12 4 14 28 (1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出x的取值范围）； O y(℃) x(min)12 4 14 28 答案： y = 4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)， (x＞6). (2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2． 由 ，解得x =14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 (分钟)． O y(℃) x(min)12 4 14 28 课堂小结 反 比 例 函 数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用