九年级下册数学教案 3-4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1 北师大版

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九年级下册数学教案 3-4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1 北师大版

‎3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 ‎1.掌握圆周角和直径的关系,会熟练运用解决问题;(重点)‎ ‎2.培养学生观察、分析及理解问题的能力,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方式.(难点)[来源:学+科+网]‎ ‎                   ‎ 一、情境导入[来源:学科网]‎ 你喜欢看足球比赛吗?你踢过足球吗? ‎ ‎ ‎ 如图②所示,甲队员在圆心O处,乙队员在圆上C处,丙队员带球突破防守到圆上C处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗?你能用数学知识解释一下吗? ‎ 二、合作探究 探究点一:圆周角和直径的关系 ‎【类型一】 利用直径所对的圆周角是直角求角的度数 ‎ 如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为(  )‎ A.30° B.45° ‎ C.60° D.75°‎ 解析:∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°.∵∠CBD=30°,∴∠D=60°,∴∠A=∠D=60°.故选C.‎ 方法总结:在圆中,如果有直径,一般要找直径所对的圆周角,构造直角三角形解题.[来源:Z*xx*k.Com]‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 ‎【类型二】 作辅助线构造直角三角形解决问题[来源:学科网]‎ ‎ 如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.[来源:学科网]‎ ‎(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;‎ ‎(2)在上述题设条件下,当△ABC为正三角形时,点E是否为AC的中点?为什么?‎ 解析:(1)连接AD,先根据圆周角定理求出∠ADB=90°,再根据线段垂直平分线性质判断;(2)连接BE,根据圆周角定理求出∠AEB=90°,根据等腰三角形性质求解.‎ 解:(1)AB=AC.证明如下:连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°, 即AD⊥BC.∵BD=DC,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC;‎ ‎(2)当△ABC为正三角形时,E是AC的中点.理由如下:连接BE,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°,即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形,∴AE=EC,即E是AC的中点.‎ 方法总结:在解决圆的问题时,如果有直径往往考虑作辅助线,构造直径所对的圆周角.‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点二:圆内接四边形 ‎【类型一】 圆内接四边形性质的运用 ‎ 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E是CB的延长线上一点,∠EBA=125°,则∠D=(  )‎ A.65° B.120° C.125° D.130°‎ 解析:∵∠EBA=125°,∴∠ABC=180°-125°=55°.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠D+∠ABC=180°,∴∠D=180°-55°=125°.故选C.‎ 方法总结:解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质.‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 ‎【类型二】 圆内接四边形与圆周角的综合 ‎ 如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,那么∠BCD是(  )‎ A.120° B.100°‎ C.80° D.60°‎ 解析:∵∠BOD=120°,∴∠A=60°,∴∠C=180°-60°=120°,故选A.‎ 方法总结:解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质.‎ 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 ‎【类型三】 圆内接四边形与垂径定理的综合 ‎ 如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G.求证:∠FGD=∠ADC.‎ 解析:利用圆内接四边形的性质求得∠FGD=∠ACD,然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线,则∠ADC=∠ACD.故∠FGD=∠ADC.‎ 证明:∵四边形ACDG内接于⊙O,∴∠FGD=∠ACD.又∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,∴AB垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠ADC=∠ACD,∴∠FGD=∠ADC.‎ 方法总结:圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据.‎ ‎【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合 ‎ 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为的中点,AC、BD交于点E.‎ ‎(1)求证:△CBE∽△CAB;‎ ‎(2)若S△CBE∶S△CAB=1∶4,求sin∠ABD的值.‎ 解析:(1)利用圆周角定理得出∠DBC=∠BAC,根据两角对应相等得出两三角形相似,直接证明即可;(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方,得出AC∶BC=BC∶EC=2∶1,再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案.‎ ‎(1)证明:∵点C为的中点,∴∠DBC=∠BAC.在△CBE与△CAB中,∠DBC=∠BAC,∠BCE=∠ACB,∴△CBE∽△CAB;‎ ‎(2)解:连接OC交BD于F点,则OC垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB=1∶4,△CBE∽△CAB,∴AC∶BC=BC∶EC=2∶1,∴AC=4EC,∴AE∶EC=3∶1.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD∥OC,则AD∶FC=AE∶EC=3∶1.设FC=a,则AD=3a.∵F为BD的中点,O为AB的中点,∴OF是△ABD的中位线,则OF=AD=1.5a,∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a,则AB=2OC=5a.在Rt△ABD中,sin∠ABD=‎ eq f(AD,AB)==.‎ 方法总结:圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理,在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角.‎ 三、板书设计 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 ‎1.圆周角和直径的关系 ‎2.圆内接四边形的概念和性质 ‎ 本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式,以问题为主,配合多媒体辅助教学,引导学生进行有效思考.在教学过程中,通过问题串启发引导,学生自主探究,创设情境等多种教学方式,激发学生学习兴趣,调动课堂气氛,收到了很好的教学效果.‎
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