初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第六章 图形性质2 第24讲 圆的基本性质

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初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第六章 图形性质2 第24讲 圆的基本性质

人教 数 学 第六章 图形的性质 ( 二 ) 第 24 讲 圆的基本性质 要点梳理 1 . 主要概念 (1) 圆:平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆. 叫圆心 , 叫半径 , 以 O 为圆心的圆记作 ⊙ O . (2) 弧和弦:圆上任意两点间的部分叫 , 连接圆上任意两点的线段叫 , 经过圆心的弦叫直径 , 直径是最长的 . 定点 定长 定点 定长 弧 弦 弦 要点梳理 (3) 圆心角:顶点在 , 角的两边与圆相交的角叫圆心角. (4) 圆周角:顶点在 , 角的两边与圆相交的角叫圆周角. (5) 等弧:在 中 , 能够 完全 的 弧. 圆心 圆上 同圆或等圆 重合 要点梳理 2 . 圆的有关性质 (1) 圆的对称性: ① 圆是 图形 , 其对称轴是 . ② 圆是 图形 , 对称中心是 . ③ 旋转不变性 , 即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 , 都能与原来的图形重合. 轴对称 过圆心的任意一条直线 中心对称 圆心 要点梳理 (2) 垂径定理及推论: 垂径定理:垂直于弦的直径 , 并且 __ . 垂径定理的推论: ① 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 , 并且 ; ② 弦的垂直平分线 , 并且平分弦所对的两条弧; ③ 平分弦所对的一条弧的直径 , 垂直平分弦 , 并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦 平分弦所对的两条弧 垂直于弦 平分弦所对的两条弧 经过圆心 要点梳理 (3) 弦、弧、圆心角的关系定理及推论: ① 弦、弧、圆心角的关系:在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧 , 所对的弦 . ② 推论:在同圆或等圆中 , 如果两 个 、 、 __ __ 、 中有一组量相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 相等 相等 圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 要点梳理 (4) 圆周角定理及推论: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 . 圆周角定理的推论: ① 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 . ② 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ; 90° 的圆周角所对的弦是 . 一半 相等 直角 直径 要点梳理 (5) 点和圆的位置关系 ( 设 d 为点 P 到圆心的距离 , r 为圆的半径 ) : ① 点 P 在圆上 ⇔ ; ② 点 P 在圆内 ⇔ ; ③ 点 P 在圆外 ⇔ . d = r dr 要点梳理 (6) 过三点的圆: ① 经过不在同一直线上的三点 , 有且只有一个圆. ② 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆;外接圆的圆心叫做三角形的外心;三角形的外心是三边 的交点 , 这个三角形叫做这个圆的内接三角形.锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心在斜边中点处;钝角三角形的外心在三角形的外部. 垂直平分线 要点梳理 (7) 圆的内接四边形: 圆内接四边形的对角 . 3 . 相关辅助线 互补 一个防范 对垂径定理的理解 , 同学们往往把定理所需要的条件遗漏 , 如容易漏掉经过圆心或者垂直 , 而这两个条件必须同时具备. 一种思想 分类讨论思想:在很多没有给定图形的题目中 , 常常不能根据题目的条件把图形确定下来 , 因此会导致解的不唯一性.对于这种多解题必须要分类讨论 , 分类时要注意标准一致 , 不重不漏.如:圆周角所对的弦是唯一的 , 但是弦所对的圆周角不是唯一的. 两条辅助线 (1) 有关弦的问题 , 常作其弦心距 , 构造直角三角形; (2) 有关直径的问题 , 常作直径所对的圆周角. 1 . ( 2014 · 毕节 ) 如图 , 已知 ⊙ O 的半径为 13 , 弦 AB 长为 24 , 则点 O 到 AB 的距离是 ( ) A . 6     B . 5 C . 4 D . 3 B 2 . ( 2014 · 重庆 ) 如图 , △ ABC 的顶点 A , B , C 均在 ⊙ O 上 , 若 ∠ ABC + ∠ AOC = 90° , 则 ∠ AOC 的大小是 ( ) A . 30° B . 45° C . 60° D . 70° C 3 . ( 2014 · 赤峰 ) 如图 , AB 是 ⊙ O 的直径 , C , D 是 ⊙ O 上两点 , CD ⊥ AB. 若 ∠ DAB = 65° , 则 ∠ BOC = ( ) A . 25° B . 50° C . 130° D . 155° C 4 . ( 2014· 济南 ) 如图 , ⊙ O 的半径为 1 , △ ABC 是 ⊙ O 的内 接等边三角形 , 点 D , E 在圆上 , 四边形 BCDE 为矩形 , 这个矩形的面积是 ( ) A . 2 B. 3 C. 3 2 D. 3 2 B 5 . ( 2014· 凉山州 ) 已知 ⊙ O 的直径 CD = 10 cm , AB 是 ⊙ O 的弦 , AB ⊥ CD , 垂足为 M , 且 AB = 8 cm , 则 AC 的长为 ( ) A . 2 5 cm B . 4 5 cm C . 2 5 cm 或 4 5 cm D . 2 3 cm 或 4 3 cm C   圆周角与圆心角的关系 【 例 1 】   ( 2014 · 山西 ) 如图 , ⊙ O 是 △ ABC 的外接圆 , 连接 OA , OB , ∠ OBA = 50° , 则 ∠ C 的度数为 ( ) A . 30°    B . 40° C . 50° D . 80° B 【 点评 】  当图中出现同弧或等弧时 , 常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角 , 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 , 通过相等的弧把角联系起来. 1 . ( 2014 · 临沂 ) 如图 , 在 ⊙ O 中 , AC ∥ OB , ∠ BAO = 25° , 则 ∠ BOC 的度数为 ( ) A . 25° B . 50° C . 60° D . 80° B 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【 例 2 】   ( 2014 · 龙东 ) 直径为 10 cm 的 ⊙ O 中 , 弦 AB = 5 cm , 则弦 AB 所对的圆周角是 . 30 ° 或 150° 【 点评 】  在很多没有给定图形的问题中 , 常常不能根据题目的条件把图形确定下来 , 因此会导致解的不唯一性 , 这种题一题多解 , 必须分类讨论.本题中 , 弦所对的圆周角不是唯一的 , 圆周角的顶点可能在优弧上 , 也可能在劣弧上 , 依据 “ 圆内接四边形的对角互补 ” , 这两个角互补. 2 . ( 2013· 内江 ) 如图 , 半圆 O 的直径 AB = 10 cm , 弦 AC = 6 cm , AD 平分 ∠ BAC , 则 AD 的长为 ( ) A . 4 5 cm B . 3 5 cm C . 5 5 cm D . 4 cm A 点与圆的位置关系 【 例 3 】 矩形 ABCD 中 , AB = 8 , BC = 3 5 , P 点在边 AB 上 , 且 BP = 3 AP , 如果圆 P 是以点 P 为圆心 , PD 为 半径的圆 , 那么下列判断正确的是 ( ) A . 点 B , C 均在圆 P 外 B . 点 B 在圆 P 外 , 点 C 在圆 P 内 C . 点 B 在圆 P 内 , 点 C 在圆 P 外 D . 点 B , C 均在圆 P 内 C 【 点评 】  本题考查了点与圆的位置关系的判定 , 根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可. 3 . 在数轴上 , 点 A 所表示的实数为 3 , 点 B 所表示的实数为 a , ⊙ A 的半径为 2. 下列说法中不正确的是 ( ) A . 当 a < 5 时 , 点 B 在 ⊙ A 内 B . 当 1 < a < 5 时 , 点 B 在 ⊙ A 内 C . 当 a < 1 时 , 点 B 在 ⊙ A 外 D . 当 a > 5 时 , 点 B 在 ⊙ A 外 A 垂径定理及应用 【 例 4 】   ( 2014 · 南宁 ) 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后 , 截面如图.若油面的宽 AB = 160 cm , 则油的最大深度为 ( ) A . 40 cm B . 60 cm C . 80 cm D . 100 cm A 【 点评 】  本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想. 4 . ( 2014 · 哈尔滨 ) 如图 , ⊙ O 是 △ ABC 的外接圆 , 弦 BD 交 AC 于点 E , 连接 CD , 且 AE = DE , BC = CE. (1) 求 ∠ ACB 的度数; (2) 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F , 延长 FO 交 BE 于点 G , DE = 3 , EG = 2 , 求 AB 的长. 试题 △ ABC 内接于半径为 r 的 ⊙ O , 且 BC > AB > AC , OD ⊥ BC 于 D , 若 OD = 1 2 r , 求 ∠ A 的度数 . 错解 解:当圆心 O 在 △ ABC 内时 , 如图 , 连接 OB , OC . ∵ OD = 1 2 r = 1 2 OC , OD ⊥ BC , ∴∠ OCD = 30 ° , ∴∠ DOC = 60 ° . 同理 , ∠ BOD = 60 ° , ∴∠ BOC = 120 ° , ∴∠ A = 60 ° . 当圆心 O 在 △ ABC 外时 , 如图 , 同上 , 可求 得 ∠ BOC = 120 ° , ∴∠ A = ∠ BOC = 120 ° . 综上 , ∠ A 的 度数为 60 ° 或 120 ° . 剖析  上述解法看上去好像思考周全 , 考虑了两种情况 , 其实又错了 , 因为 BC > AB > AC , BC 是不等边 △ ABC 的最大边 , 所以 ∠ A = 60° 不正确 , 产生错误的根源是图画得不准确 , 忽视了圆心的位置 , 实际上本题的圆心应在 △ ABC 的外部. 正解 解: ∵ OD = 1 2 r = 1 2 OC , OD ⊥ BC , ∴∠ OCD = 30 ° , ∠ DOC = 60 ° . 同理 , ∠ BOD = 60 ° , ∴∠ BOC = 120 ° , ∴ BAC ︵ 度数为 120 ° , BmC ︵ 度数为 240 ° , ∴∠ A = 120 ° .
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