2020九年级数学下册 第一章专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习

2020九年级数学下册 第一章专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习

专题训练(一)　求锐角三角函数值的方法归类　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　‎ ‎►　方法一　运用定义求锐角三角函数值 ‎1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．如图1－ZT－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(　　)‎ A. B. C. D. 图1－ZT－1‎ ‎►　方法二　巧设参数求锐角三角函数值 ‎3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，那么cosA的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．如图1－ZT－2，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值是(　　) ‎ 7‎ 图1－ZT－2‎ A. B．‎2 C. D. ‎6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－‎4c＝0，求sinA＋sinB的值．‎ ‎7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，求tan∠CAD的值．‎ 图1－ZT－3‎ ‎►　方法三　在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值 ‎8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为(　　) ‎ 图1－ZT－4‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．如图1－ZT－5，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(　　) ‎ ‎　　　　‎ 图1－ZT－5‎ A. B. C. D. ‎10．2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图1－ZT－6所示(每个小正方形的边长均为1)，AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是(　　) ‎ 7‎ 图1－ZT－6‎ A．sinα＝cosα B．tanC＝2‎ C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1‎ ‎►　方法四　利用等角求锐角三角函数值 ‎11．如图1－ZT－7，A为角α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值错误的是(　　) ‎ 图1－ZT－7‎ A. B. C. D. ‎12．如图1－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝________．‎ 图1－ZT－8‎ ‎►　方法五　利用特殊角求锐角三角函数值 ‎13．如图1－ZT－9，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，连接AD并延长到点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝________．‎ ‎　　　‎ 图1－ZT－9‎ ‎14．如图1－ZT－10，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP行进了‎26米到达坡顶A处，在A处又测得该塔顶B的仰角为76°.‎ 求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；‎ ‎(2)古塔BC的高度(结果精确到‎1米)．‎ ‎(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)‎ 图1－ZT－10‎ 7‎ ‎►　方法六　利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值 同角三角函数之间有如下关系：‎ 对于锐角α，有sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.‎ ‎15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则sinB的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎16．已知α为锐角，且cosα＝，求tanα＋的值．‎ ‎►　方法七　利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB.‎ 对于锐角α，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，tanα随α的增大而增大．‎ ‎17．已知0°＜∠A＜90°，那么cos(90°－∠A)等于(　　)‎ A．cosA B．sin(90°＋∠A)‎ C．sinA D．sin(90°－∠A)‎ ‎18．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求cosB的值．‎ ‎19．在△ABC中．‎ ‎(1)若∠C＝90°，cosA＝，求sinB的值；‎ ‎(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB的大小，并说明理由．‎ 7‎ 详解详析 ‎1．[解析] B　在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝12，∴sinA＝＝.‎ 故选B.‎ ‎2．[解析] D　由勾股定理得OA＝＝5，所以cosα＝.故选D.‎ ‎3．[解析] B　设BC＝4x，则AB＝5x，AC＝＝3x，∴tanB＝＝＝.故选B.‎ ‎4．[解析] B　由三角函数的定义，知cosA＝.又因为tanB＝，所以可设AC＝k，BC＝2k(k>0)，由勾股定理，得AB＝3k，不难求出cosA＝＝＝.故选B.‎ ‎5．[解析] B　在Rt△ADE中，∵cosA＝＝，∴设AE＝3x，则AD＝5x.由勾股定理可得DE＝＝4x.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝5x，∴BE＝5x－3x＝2x＝2，∴x＝1，∴DE＝4.在Rt△DBE中，tan∠DBE＝＝＝2.故选B.‎ ‎6．解：根据b2＝(c＋a)(c－a)，可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.因为5b－‎4c＝0，所以设b＝4k(k>0)，则c＝5k，根据勾股定理可得a＝3k，所以sinA＋sinB＝＋＝＋＝.‎ ‎7．解：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E.‎ ‎∵∠BAD＝90°，DE∥AB，∴∠ADE＝90°.‎ ‎∵tanB＝，设AD＝5k，则AB＝3k.‎ ‎∵DE∥AB，∴＝＝，∴DE＝AB，‎ ‎∴tan∠CAD＝＝×＝×＝.‎ ‎8．[解析] D　在Rt△ABC中，∠A的对边BC＝4，∠A的邻边AB＝3，因此tanA＝＝.故选D.‎ ‎9．[解析] D　如图，过点B作AC边上的高BD，由勾股定理得AB＝＝，AD＝‎ 7‎ eq (22＋22)＝2 ，所以cosA＝＝＝.故选D.‎ ‎10．[解析] C　观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2 ，AD＝2，CD＝1，AC＝，∴sinα＝cosα＝，故A正确；tanC＝＝2，故B正确；tanα＝1，故D正确；∵sinβ＝＝，cosβ＝＝，∴sinβ≠cosβ，故C错误．故选C.‎ ‎11．[解析] C　因为AC⊥BC，CD⊥AB，所以∠B＋∠BAC＝∠ACD＋∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACD＝α，即cosα＝＝＝，故选C.‎ ‎12．[答案] ‎[解析] 　过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠BAC.在Rt△ABD中，AD＝＝＝3.∵∠BPC＝∠BAC，∴tan∠BPC＝tan∠BAD＝＝.‎ ‎13．[答案] ‎14．解：(1)如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H.‎ ‎∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴＝.‎ 设AH＝5k米，则PH＝12k米，由勾股定理，得AP＝13k米，∴13k＝26，解得k＝2.‎ ‎∴AH＝10米，PH＝24米．‎ 答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．‎ ‎(2)如图，延长BC交PQ于点D.‎ ‎∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ，‎ ‎∴四边形AHDC是矩形，‎ ‎∴CD＝AH＝10米，AC＝DH.‎ ‎∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD.‎ 设BC＝x米，则x＋10＝24＋DH，‎ ‎∴AC＝DH＝(x－14)米．‎ 7‎ 在Rt△ABC中，tan76°＝，‎ 即＝tan76°，解得x≈19.‎ 答：古塔BC的高度约为19米．‎ ‎15．[解析] B　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，∴sinB＝＝.‎ 故选B.‎ ‎16．解：∵cosα＝，‎ ‎∴sinα＝＝，‎ tanα＝＝＝2 ，‎ ‎∴tanα＋＝2 ＋＝2 ＋3－2 ＝3.‎ ‎17．[答案] C ‎18．解：∵tanA＝，∴∠A＝60°，sinA＝.‎ 又∵∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∴cosB＝sinA＝.‎ ‎19．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，‎ ‎∴sinB＝cosA＝.‎ ‎(2)cosA＜sinB.‎ 理由：∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°＝sinB，‎ ‎∴cosA＜sinB.‎ 7‎