- 2021-11-11 发布 |
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文档介绍
中考数学专题复习练习:线段的中垂线
典型例题一 例01.如图,已知:在中,,,BD平分交AC于D. 求证:D在AB的垂直平分线上. 分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB的垂直平分线上,只需证明即可. 证明:∵,(已知), ∴ (的两个锐角互余) 又∵BD平分(已知) ∴ . ∴(等角对等边) ∴D在AB的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 典型例题二 例02.如图,已知:在中,,,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:. 分析:由于,,可得,又因为EF垂直平分AB,连结AF,可得. 要证,只需证,即证就可以了. 证明:连结AF, ∵EF垂直平分AB(已知) ∴(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等) ∴(等边对等角) ∵(已知), ∴(等边对等角) 又∵(已知), ∴(三角形内角和定理) ∴ ∴ ∴(直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半) ∴ 说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题. 典型例题三 例03.如图,已知:AD平分,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF. 求证:. 分析:与不在同一个三角形中,又,所在的两个三角形不全等,所以欲证,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD,可得,因此,又因为,,而,所以可证明. 证明:∵EF垂直平分AD(已知), ∴(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等). ∴(等边对等角) ∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), , 又(角平分线定义), ∴ 说明:运用线段的垂直平分线的定理或逆定理,能使问题简化,如本例题中,EF垂直平分AD,可以直接有结论,不必再去证明两个三角形全等. 典型例题四 例04.如图,已知直线和点A,点B,在直线上求作一点P,使. 分析:假设P点已经作出,则由,那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知,点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线的交点. 作法:1.连结AB. 2.作线段AB的垂直平分线,交直线于点P. 则P即为所求的点. 说明:在求作一个点时,要考虑该点具备什么样的特点,如它到一条线段的两个端点距离相等,它就在连结这两点的线段的垂直平分线上,如果它到一个角的两边的距离相等,它就在这个角的平分线上. 典型例题五 例05.如图所示,在,,DE垂直平分AB,交AB于E,交BC于D,,求的度数. 分析:由于DE垂直平分AB,所以,又为直角三角形,由直角三角形中两锐角互余,即可求出的度数. 解答:∵DE垂直平分AB, ∴ ∴ , 在中,, ∴ , 而, ,, ∴, ∴,∴ 答:的度数为. 典型例题六 例06.求证:三角形两边中垂线的交点在第三边的中垂线上. 分析:文字题应先根据题意画出图形,并根据图形写出已知、求证. 已知:中,(如图),EF、MN分别为AB、BC边的中垂线且交于O. 求证:点O在AC的中垂线上. 证明:连结OA、OB、OC ∵ EF为AB的中垂线 ∴ 同理得: ∴ ∴点O在AC的中垂线上 典型例题七 例07.如图所示,,. 求证:. 分析:要证,只需证直线AB是线段CD的垂直平分线即可. 证明:连结CD,延长AB交CD于E. ∵ , ∴ 为等腰三角形, ∵ , ∴ , ∴ BE是等腰的角平分线, ∴BE垂直平分CD(等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边), ∴直线AE是线段CD的垂直平分线, 又∵点A在直线AE上, ∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等) 说明 本例也可以通过证明,得出,利用线段垂直平分线的性质定理和逆定理为我们证明线段(或角)相等又提供了一个新的方法. 典型例题八 例08.如图所示:已知内有两点A、B,在内部找到一点D,使得D点到A、B两点的距离相等,并且点D到的两边也相等. 分析:欲使点D到A、B两点的距离相等,由线段的垂直平分线的判定定理可知,点D一定在AB的垂直平分线上;D点又要满足到的两边距离相等,由平分线的判定定理可知点D一定在的平分线上,综合以上两点,可以推知点D是线段AB的垂直平分线与的平分线的交点,因此可以据此找到D点. 作法:(1)连结AB,作AB的垂直平分线MN. (2)作的角平分线OP,与MN相交于一点D. 则D点就是满足要求的点. 选择题 1.选择题 (1)如图,已知:,那么( ) (A)CD垂直平分AB (B)AB垂直平分CD (C)CD与AB互相垂直平分 (D)以上说法都正确 (2)如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上,那么这个三角形是( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都有可能 参考答案: 1.选择题 (1)B (2)A 填空题 1.填空题 (1)和线段两个端点距离相等的点的集合是________. (2)在中,,AD为角平分线,则有AD______BC(填或),_____. 如果E为AD上的一点,那么_______. 如果,,那么点D到AD的距离是______. (3)已知:在中,,,DE垂直平分AB,且交CA的延长线于D,则的度数为_______. (4)在等腰三角形ABC中,,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D,若的周长为,则底边BC的长为______. (5)如图,在中,,BC的垂直平分线交AB于D,垂足为E. ①若,则______,________. ②若,,则的周长为______. (6)如图,在中,,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,,的周长为12,则_____. (7)如图,在中,,,DE是AB的垂直平分线,则_______. (8)如图,在中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,的周长为,,则的周长为_______. (9)如图,已知在直角三角形ABC中,,,DE垂直平分AB ,交BC于E,,则______. (10)在中,,,AC的垂直平分线交BC于D,交AC于E,若,则BC的长度为______. 参考答案: 1.填空题 (1)线段的垂直平分线 (2),CD,EC,2 (3) (4) (5)①, ②15 (6)4 (7) (8)17 (9) (10)30 解答题 1.作图题 (1)已知:如图,B为的边OB上的一点, 求作:点P,使P点到OA和OB的距离相等,并且有. (2)已知不在同一直线上的三点A、B、C,求作一点P,使. 参考答案: 1.作图题 (1)作法:①画出的平分线OC, ②作出OB的垂直平分线MN,则OC与MN的交点即为所要求的点P. (2)①作线段AB的垂直平分线MN, ②作线段BC的垂直平分线CD. 则AB与CD的交点即为所要求的点P. 解答题 1.计算题 (1)如图,已知:在直角三角形ABC中,,E为AB的中点,且交BC于D,连结AD,若,求:和的度数. (2)如图,已知:在中,,BC边上的垂直平分线交AC于D,交BC于E. BD分为两部分,若. 求的度数. (3)如图,已知:在中,,MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线,求的大小. 参考答案: 1.计算题 (1)解:E为AB中点,且,∴DE为AB的垂直平分线, ∴,∴. 又,∴, ∵,∴, 即,求得,∴. (2)解:DE为BC的垂直平分线,∴, 又∵,∴. ∵,∴, 即,求得. (3)解:PM与QN为AB与AC的垂直平分线, ∴. ∴,. 又∵ , ∴ 解答题 1.证明题 (1)如图,已知:,DE是AB的垂直平分线,D为垂足,交BC于E,. 求证:. (2)如图,已知:线段CD垂直平分AB,AB平分. 求证:. (3)如图,已知:AD是的高,E为AD上一点,且. 求证:是等腰三角形. (4)如图,已知:在中,,DE垂直平分线AC交AB于D,交AC于E. 求证:. (5)如图,已知:E是的平分线上的一点,,,垂足分别是C、D. 求证:OE垂直平分CD. (6)如图,已知:在中,AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在AC的垂直平分线上. (7)如图,已知:AD是的的平分线,AD的垂直平分线EF,交BC的延长线于F,交AD于E,求证:. (8)如图,已知:在中,的平分线交BC于D,且,,垂足分别是E、F. 求证:AD是EF的垂直平分线. (9)如图,已知:,,,,. 求证:. 参考答案 1.证明题 (1)证明:连结AE,由于,,∴,,∵DE是AB的垂直平分线,∴,∴,∴,即AE是的角平分线,∴. (2)证明:∵CD是AB的垂直平分线,∴,∴,又∵,∴,∴. (3)证明:∵,∴AD是BC的垂直平分线,∴,∴是等腰三角形. (4)证明:DE垂直平分AC,∴,∴,∵,又有,∴,∴. (5)证明:OE是的平分线,∴,∴,∴,∴O与E都在CD的垂直平分线上,∴OE垂直平分CD. (6)证明:P是AB、BC边上的垂直平分线,∴,∴,∴P点在AC的垂直平分线上. (7)证明:EF垂直平分AD,∴,∴. ∴ (8)证明:∵AD是的平分线,且,,∴,∴易证,∴,∴A与D都在EF的垂直平分线上,∴AD就是EF的垂直平分线. (9)证明:,且,∴. 又∵,∴,∴,∴AC为DM的垂直平分线,∴,∴. 能力训练 1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是( ) A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定 答:C 提示:此交点恰好为斜边的中点 2、如图,∠BAC=,若MP、NQ分别垂直平分AB、AC,则∠PAQ的度数____ A B C M N P Q 提示:利用三角形内角和求得∠B+∠C=, 再转化为∠BAP+∠CAQ= A B C D E 3、如图,△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长为12,AC=5,则△ABC的周长=____ 提示:把DC转化为AD,利用△ABD的周长. 答:17 4、如图,△ABC中∠A=,∠C=,AC=12,DE垂直平分BC, 则BE=___ 答:24 A B C P M N 5、如图,已知:△ABC中,AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在AC的垂直平分线上 证明:连结PA、PB、PC ∵PM垂直平分AB,PN垂直平分BC ∴PA=PB,PB=PC ∴PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上 C D A B E F 6、如图,△ABC中,AD为∠A的平分线,FE垂直平分AD,E为垂足,交BC的延长线于F. 求证:∠B=∠CAF 证明: ∵EF垂直平分AD ∴∠ADF=∠DAF,∠ADF=∠B+∠BAD ∵∠BAD=∠CAD, ∴∠ADC=∠B+∠CAD , 又∵∠DAF=∠CAD+∠CAF ∴∠B=∠CAF查看更多