2013年南京市中考数学试卷及答案(解析版)
南京市2013年初中毕业生学业考试
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，
在其他位置答题一律无效。
4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 计算12-7´(-4)+8¸(-2)的结果是
(A) -24 (B) -20 (C) 6 (D) 36
答案：D
解析：原式＝12＋28－4＝36，选D。
2. 计算a3．( )2的结果是
(A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9
答案：A
解析：原式＝，选A。
3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数； a可以用数轴上的一个点来表示； 3
0 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0
答案：C
解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。
6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是
答案：B
解析：涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错；D还原不回去，故错，选B。
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)
7. -3的相反数是 ；-3的倒数是 。
答案：3；-
解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置。
8. 计算 - 的结果是 。
答案：
解析：原式＝
9. 使式子1+ 有意义的x的取值范围是 。
答案：x¹1
解析：当x＝1时，分母为0没有意义，故x¹1
10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000
名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为 。
答案：1.3´104
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
A
B
C
D
B’
1
C’
D’
13000＝1.3´104
11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，
旋转角为a (0°226。
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元，
那么该商品的标价至少为630元。 (8分)
24. (8分) 小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。
(1) 小丽驾车的最高速度是 km/h；
(2) 当20£x£30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度；
(3) 如果汽车每行驶100 km耗油10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀增加(或减少)，那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数。例如，由图像可知，第5 min到第10 min汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为 =36(km/h)。该时间段行驶的路程为36´ =3(km)。
A
B
C
D
x(min)
y(km/h)
240
480
720
O
100
200
300
400
500
E
F
解析：解：(1) 60；(1分)
(2) 当20£x£30时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b。
根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。
所以，解得。所以，y与x之间的函数关系式为y= -3.6x+132。
当x=22时，y= -3.6´22+132=52.8。
所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分)
(3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
´+´+60´+´+´+48´+´
=33.5(km)。
所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5´=3.35(L) (8分)
25. (8分) 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
A
B
C
D
O
M
P
于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
j
A
B
C
D
O
M
P
N
如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。
∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。
∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。
∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。
∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。
∴ÐPCO=90°，即PC^OC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)
(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。
∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，
∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。
∴PC= 。(8分)
A
B
C
D
O
M
P
k
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，
即ÐOAD=90°。
∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，
即OM^BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴ÐMAB=ÐMAC。
∴ÐBAC=2ÐMAC。又∵ÐMOC=2ÐMAC，∴ÐMOC=ÐBAC。
∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。∴ÐMOC=ÐACD。又∵ÐBCP=ÐACD，
∴ÐMOC=ÐBCP。∵ÐMOC+ÐOCM=90°，∴ÐBCP+ÐOCM=90°。
∴ÐPCO=90°，即PC^OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 = 。
∴PC= 。(8分)
26. (9分) 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数，且a¹0)。
(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
当△ABC的面积等于1时，求a的值：
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
解析： (1) 证明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。
因为当a¹0时，[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。
所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。
所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)
(2) 解：j y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ，
所以，点C的坐标为(,- )。
当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。
当△ABC的面积等于1时，´1´| - |=1。
所以´1´( -)=1，或´1´=1。
所以a= -8，或a=8。
k 当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
´1´| - |= ´1´| am2+am |。
所以´1´( -)= ´1´(am2+am)，或´1´ = ´1´(am2+am)。
所以m= - ，或m= ，或m= 。 (9分)
27. (10分) 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个
三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为
逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，
因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与
A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
k
A
B
C
j
A
B
C
A’
B’
C’
A’
B’
C’
(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
△GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图，在锐角△ABC中，ÐA<ÐB<ÐC，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重
合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
A
B
C
l
理由。
解析：
(1) jk；l (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图j，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使ÐCPQ1=ÐA，ÐBPQ2=ÐA，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图k，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作ÐCBM=ÐA，BM交AC
于点M。
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此
时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐABC，
ÐCP2Q2=ÐABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图l，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此时
△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐACB，
ÐBP2Q2=ÐBCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使ÐBP3Q’=ÐBCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
A
B
C
Q1
P
j
Q2
A
B
C
Q1
M
Q2
Q
P1
P2
A
B
C
Q1
Q’
Q
P1
P2
D’
E
Q2
P3
k
l
