2020九年级数学下册 第2章 直线与圆的位置关系 2

2020九年级数学下册 第2章 直线与圆的位置关系 2

2.3 三角形的内切圆 ‎(见B本63页)‎ A　练就好基础　基础达标 第1题图 ‎1．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE等于(　B　)‎ A．70° B．110° C．120° D．130°‎ ‎2．下列命题中正确的是(　C　)‎ A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心、外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形 ‎3．如图所示，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在(　A　)‎ A．△ABC的三条内角平分线的交点处 B．△ABC的三条高线的交点处 C．△ABC三边的中垂线的交点处 D．△ABC的三条中线的交点处 第3题图 5‎ ‎　　第5题图 ‎4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为(　C　)‎ A．1.5，2.5 B．2，‎5 ‎ C．1，2.5 D．2，2.5‎ ‎5．如图所示，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为__76°__．‎ ‎6．如图所示，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是____．‎ 第6题图 ‎　　　第7题图 ‎7．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝__140°__；若O为△ABC的内心，则∠BOC＝__125°__．‎ 第8题图 ‎8．如图所示，△ABC的面积为‎4 cm2，周长为‎10 cm，求△ABC的内切圆半径．‎ 解：∵S△ABC＝(AB＋BC＋AC)r＝×10×r＝5r＝4，‎ ‎∴r＝ cm.‎ 第9题图 ‎9．如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D.若AC＝6，CD＝2.‎ 5‎ ‎(1)求证：四边形OECF为正方形．‎ ‎(2)求⊙O的半径．‎ ‎(3)求AB的长．‎ 解：(1)证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，‎ ‎∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是矩形，‎ ‎∵OF＝OE，∴四边形OECF为正方形．‎ ‎(2)由题意可得，EO∥AC，∴△DEO∽△DCA，∴＝.‎ 设⊙O的半径为x，则＝，解得x＝1.5，‎ 故⊙O的半径为1.5.‎ ‎(3)∵⊙O的半径为1.5，AC＝6，‎ ‎∴CF＝1.5，AF＝4.5，∴AG＝4.5，‎ 设BG＝BE＝y，‎ ‎∴在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，‎ ‎∴62＋(y＋1.5)2＝(4.5＋y)2，解得y＝3，‎ ‎∴AB＝AG＋BG＝4.5＋3＝7.5.‎ B　更上一层楼　能力提升 ‎10．已知AC⊥BC于点C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为的是(　C　)‎ ‎　 ‎ A　　　 　B　　　　C　　　　　D ‎11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝‎9 cm，BC＝‎14 cm，CA＝‎13 cm，则AF的长为(　B　)‎ A．‎3 cm　 B．‎4 cm　 C．‎5 cm　 D．‎‎9 cm 第11题图 ‎　　　第12题图 ‎12．如图所示，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于点F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__1∶2__．‎ 5‎ 第13题图 ‎13．如图所示，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.‎ ‎(1)求证：IE＝BE.‎ ‎(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．‎ 第13题答图 解：(1)证明：连结IB.∵点I是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.‎ 又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，‎ ‎∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，‎ ‎∴BE＝IE.‎ ‎(2)在△BED和△AEB中，‎ ‎∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，‎ ‎∴△BED∽△AEB，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵IE＝4，∴BE＝4.‎ ‎∵AE＝8，‎ ‎∴DE＝＝2.‎ C　开拓新思路　拓展创新 ‎14．如图所示，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC.则k的值为__4__．‎ 第14题图 ‎15．2017·百色中考已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若 5‎ ＝，如图1.‎ ‎(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；‎ ‎(2)设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．‎ 第15题图 解：(1)连结OA，DF.结论：△ABC为等腰三角形，‎ 理由：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，‎ ‎∴AF＝AD，∠OAF＝∠OAD，∴OA⊥DF，‎ ‎∵＝，∴A，O，E共线，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴∠ACB＋∠CAE＝90°，∠ABC＋∠BAE＝90°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ 第15题答图 ‎(2)连结OB，OC，OD，OF，如图，‎ ‎∵在等腰三角形ABC中，AE⊥BC，‎ ‎∴E是BC中点，BE＝CE，‎ 在Rt△AOF和Rt△AOD中，‎ ‎∴Rt△AOF≌Rt△AOD，∴AF＝AD，‎ 同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，‎ Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，‎ ‎∴AD＝AF，BD＝CF，‎ ‎∴DF∥BC，∴＝＝，‎ ‎∵AE＝＝4，‎ ‎∴AM＝4×＝.‎ 5‎