中考数学习题分类精选大全集+备战中考数学专题等全集精品

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中考数学习题分类 精选大全集+备战中考数学专题等全集精品 一、 填空题 1、（2018 北京市朝阳区初二年级第一学期期末）在平面直角坐标系 xOy中， (0, 2)A ， (4,0)B ，点 P与 A，B 不重合．若以 P，O， B三点为顶点的三角形与 ABO 全等，则 点 P的坐标为 ． 答案：（0，-2）或（4，-2）或（4,2） 2、（2018 北京市怀柔区初二期末）化简二次根式： 2 2 4 4 b ac a  =________ ． 答案： 二、解答题 3.（2018 北京昌平区初二年级期末） 已知：关于 x的一元二次方程 x2﹣（2m+3）x + m2+ 3m + 2 = 0． （1）已知 x=2是方程的一个根，求 m的值； （2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中 AB、AC（AB＜AC）的边长，当 BC= 5时， △ABC是等腰三角形，求此时 m的值. 解：（1）∵x =2 是方程的一个根， ∴ 2 22 2 2 3 3 2 0m m m     ( ) . ……………………………1分 ∴ 2 0m m  . ∴m=0，m=1. ………………………………………………………………2 分 (2)∵  2 2(2 3) 4( 3 2)m m m       =1. …………………………………………………………………… 3 分 ∴ (2 3) 1 2 mx    . ∴x=m+2，x=m+1. …………………………………………………………4 分 ∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根， ∴AC=m+2，AB=m+1. ∵ 5BC  ，△ABC 是等腰三角形， ∴①当 AB=BC 时，有 +1 5m  ， 5 1.m   …………………………………………………………5 分 ②当 AC=BC 时，有 +2 5m  ， 5 2.m   …………………………………………… …………………6 分 综上所述，当 5 5 2m m -1或 = 时，△ABC 是等腰三角形. 4.（2018北京通州区一模） 答案： 中考数学习题精选 二、 填空题 1、（2018 北京市朝阳区初二年级第一学期期 末）在平面直角坐标系 xOy中， (0, 2)A ， (4,0)B ，点 P与 A，B 不重合．若以 P，O， B三点为顶点的三角形与 ABO 全等，则 点 P的坐标为 ． 答案：（0，-2）或（4，-2）或（4,2） 3、（2018 北京市怀柔区初二期末）化简二次根式： 2 2 4 4 b ac a  =________ ． 答案： 二、解答题 3.（2018 北京昌平区初二年级期末） 已知：关于 x的一元二次方程 x2﹣（2m+3）x + m2 + 3m + 2 = 0． （1）已知 x=2是方程的一个根，求 m的值； （2）以这个方程的两个实数根作为△A BC中 AB、AC（AB＜AC）的边长，当 BC= 5时， △ABC是等腰三角形，求此时 m的值. 解：（1）∵x =2 是方程的一个根， ∴ 2 22 2 2 3 3 2 0m m m     ( ) . ……………………………1分 ∴ 2 0m m  . ∴m=0，m=1. ………………………………………………………………2 分 (2)∵  2 2(2 3) 4( 3 2)m m m       =1. …………………………………………………………………… 3 分 ∴ (2 3) 1 2 mx    . ∴x=m+2，x=m+1. …………………………………………………………4 分 ∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根， ∴AC=m+2，AB=m+1. ∵ 5BC  ，△ABC 是等腰三角形， ∴①当 AB=BC 时，有 +1 5m  ， 5 1.m   …………………………………………………………5 分 ②当 AC=BC 时，有 +2 5m  ， 5 2.m   …………………………………………… …………………6 分 综上所述，当 5 5 2m m -1或 = 时，△ABC 是等腰三角形. 4.（2018北京通州区一模） 答案： 中考数学习题精选 一、填空题 1、（2018 北京通州区第一学期期末）如图， AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任 何 其 他 线 段 的 情 况 下 ， 请 写 出 两 个 关 于 图 中 角 度 的 正 确 结 论 ：（ 1 ） __________________________；（2）______________________. 答案： 2．（2018 北京市朝阳区初二年级第一学期期末）在你所学过的几何知识中，可以证明两个 角相等的定理有 ．（写出三 个定理即可） 答案：答案不唯一，如：全等三角形的对应角相等 3．（2018 北京市朝阳区初二年级第一学期期末）如图，在 ABC 中，AD BC ，CE AB ， 垂足分别为D，E，AD，CE交于点 F ．请你添加一个适当的条件，使 AEF ≌ CEB ．添 加的条件是： ．（写出一个即可） 答案：答案不唯一，如 AE=CE 4、（2018北京市丰台区初二期末）小东认为:任意抛掷一个啤酒瓶盖，啤酒瓶盖落地后印 有商标一面向上的可能性的大小是 1 2 ．你认为小东的想法 （“合理”或“不合 理”），理由是 ． 答案：不合理，答案不唯一 5．（2018 北京市海淀区八年级期末）已知△ABC中，AB=2，∠C=40°，请你添加一个适当 的 条 件 ， 使 △ ABC 的 形 状 和 大 小 都 是 确 定 的 ． 你 添 加 的 条 件 是 ． 答案：答案不唯一，如：∠A=60° （注意：如果给一边长，需小于或等于 2）或 AC=BC 6．（2018北京市海淀区八年级期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△DEF可以看作是 △ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF 的过程： ． 答案：答案不唯一，如：将△A BC 关于 y 轴对称，再将三角形向上平移 3 个单位长度 7. （2018 北京市怀柔区初二期末）如图，AB＝AC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CD，BE 交 于 点 F ， 只 添 加 一 个 条 件 使 △ ABE ≌ △ ACD ， 添 加 的 条 件 是 :__________ (添加一个即可)． 答案： AE=AD ∠B=∠C ∠BEA=∠CDA 8.（2018 北京市怀柔区初二期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程. 已知：∠AOB. 求作：一个角，使它等于∠AOB. 作法：（1）作射线O A ； （2）以 O 为圆心，任意长为半径作弧， 交 OA 于 C，交 OB 于 D； （3）以O为圆心，OC 为半径作弧C E ， 交O A 于C ； （4）以C 为圆心，CD 为半径作弧， 交弧C E 于D； （5）过点D作射线O B  . 所以∠ A O B  就是所求作的角 请回答：这样作一个角等于已知角的理由 是 . 答案：全等三角形的对应角相等；有三边分别相等的两个三角形全等；同圆（等圆）的半径 相等. 9、（2018 北京市平谷区初二期末）如图，线段 AE，BD 交于点 C，AB=DE，请 你添加一个条件__________ ____，使得△ABC≌△DEC． 解： EA  （或 DB  ，或 DE‖AB ) 10．（2018 北京市西城区八年级期末）如图，点 B， E，C，F 在同一条直线上，AB=DE， ∠B=∠DEF．要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一个条件是 ．（写 出一个即可） 答案：答案不唯一．如：∠A=∠D 11．（2018 北京市西城区八年级期末）写出一个一次函数，使得它同时满足下列两个条件： ①y 随 x 的增大而减小；②图象经过点（1， 4 ）． 答： ． 答案：答案不唯一．如： 4y x  12．（2018 北京市平谷区初二期末）阅读下面材料： 数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线 l 和直线 l 外一点 P，用直尺和圆 规作直线 PQ，使 PQ⊥l 于点 Q.” 小艾的做法如下： （1）在直线 l 上任取点 A，以 A 为圆心，AP 长为半径画弧. （2）在直线 l 上任取点 B，以 B 为圆心，BP 长为半径画弧. （3）两弧分别交于点 P 和点 M （4）连接 PM，与直线 l 交于点 Q，直线 PQ 即为所求. 老师表扬了小艾的作法是对的． 请 回 答 ： 小 艾 这 样 作 图 的 依 据 是 ____________________________________________________________． 解： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 两点确定一条直线；（或 sss；全 等三角形对应角相等；等腰三角形的三线合一） 13．（2018 北京市门头沟区八年级期末）已知：如图，∠BAC=∠DAC．请添加一个条 件 ，使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明． 解：（1）添加条件正确；…………… …………………………………………………1 分 （2）证明正确 . ……………………………………………………………………5 分 三、解答题 14．（2018 北京市石景山区初二期末）周末，老师带同学去北 京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为 三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积 极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如 下的数学问题： 如图 1，点 A，B，C，D 在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC， FB=FC”中选择三个．．作为已知条件，另一个．．．作为结论，构成真命题（补充已知和求证）， 并进行证明． 已知：如图 1，点 A， B，C，D 在同一条直线上， ． 求证： ． 证明： 图 1 选择一： 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，EA=ED，EF⊥AD，AB=CD ． 求证：FB=FC． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明：如图，延长 EF 交 AD 于点 H ⋯⋯⋯⋯2 分 ∵EA=ED，EF⊥AD， ∴AH=DH．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4 分 ∵AB=CD ∴BH=CH． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 ∴EH 垂直且平分线段 BC ∴FB=FC． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） 选择二： 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，EF⊥AD，AB=CD ． 求证：EA=ED． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明方法同选择一，相应给分． 选择三： 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，EF⊥AD，EA=ED． 求证：AB=CD． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明：如图，延长 EF 交 AD 于点 H ⋯⋯⋯⋯2 分 ∵EA=ED，EF⊥AD， ∴AH=DH．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4 分 ∵FB=FC，EF⊥AD， ∴BH=CH． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 ∴AB=CD． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 选择四：方法 1 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，AB=CD，EA=ED． 求证：EF⊥AD． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明：过点 F 作 FH⊥AD 于点 H ∵FB=FC，EF⊥AD， ∴BH=CH． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分 ∵AB=CD，∴AH=DH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ∴点 F 在 AD 的中垂线上． ∵EA=ED， ∴点 E 在 AD 的中垂线上． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 根据两点确定一条直线 EF⊥AD．⋯ ⋯⋯⋯6 分 说明：学生没作辅助线，但是由 FB=FC 推得“点 F 在 BC 的中垂线上”，再由 AB=CD 直接推出“点 F 在 AD 的中垂线上”，后面同上，依然得分． 方法 2：简要思路 ①连接 FA，FD，同方法 1，证出“点 F 在 AD 的中垂线上”，从而证出 FA=FD； （或通过全等证明 FA=FD） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分 ②利用 SSS 证明△EFA≌△EFD，从而∠1=∠2； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ③利用等腰三角形的三线合一证得 EF⊥AD． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 说明：其他方法酌情给分． 15．（2018北京丰台区一模）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022年 2月 4日至 2 月 20 日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城 市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有 400名学生参加活动，为 了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 【收集数据】 从甲、乙两校各随机抽取 20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 甲 30 60 60 70 60 80 30 90 100 60 60 100 80 60 70 60 60 90 60 60 乙 80 90 40 60 80 80 90 40 80 50 80 70 70 70 70 60 80 50 80 80 【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 30≤x≤50 50＜x≤80 80＜x≤100 甲 2 14 4 乙 4 1 4 2 （说明：优秀成绩为 80＜x≤100，良好成绩为 50＜x≤80，合格成绩为 30≤x≤50．） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示： 学校 平均分 中位数 众数 甲 67 60 60 x学校 绩人 数 成 乙 70 75 a 其中 a =__________. 【得出结论】 （1）小明同学说：“这次竞赛我得了 70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表 中数据可知小明是________校的学生；（填“甲”或“乙”） （2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为 优秀的概率为________； （3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由． （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） ．解：a=80； ………………………1 分 （1）甲； ………………………2 分 （2） 1 10 ； ………………………3 分 （3）答案不唯一，理由需支持推断结论. 如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校 的中位数 75 高于甲校的中位数 65，说明乙校分数不低于 70 分的学生比甲校 多. ………………………5 分 一、选择题 1.（2018年北京海淀区第一学期期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A出发沿线段 AB运动到点 B，小兰从点 C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点 C，两人 的运动路线如图 1所示，其中 AC DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结 束，其间他们与点 C的距离 y与时间 x（单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说 法正确的是 图 1 图 2 A．小红的运动路程比小兰的长 B．两人分别在 1.09秒和 7.49秒的时刻相遇 C．当小红运动到点 D的时候，小兰已经经过了点 D D．在 4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径 答案：D 2.（2018北京海淀区二模）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默 写出的单词个数与复习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中 , , ,M N S T 四 位同学的单词记忆效率 y与复习的单词个数 x的情况，则这四位同学在这次单词复习 中正确默写出的单词个数最多的是 A．M B． N C． S D．T 答案：C 二、解答题 3．（2018北京延庆区初三统一练习）从北京市环保局证实，为满足 2022年冬奥会对环境质 量的要求，北京延庆正在对其 周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过 程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测． 过程如下，请补充完整. 收集数据: 从 2016年 12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将 30天的空气污染 指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数 如下： 千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45 永宁 镇：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60 整理、描述数据： 按如下表整理、描述这两镇空气污染指数的数据： 空气质量为优 空气质量为良 空气质量为轻微污染 千家店镇 4 6 2 永宁 镇 （说明：空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气 质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．） 分析数据： 两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示； 请将以上两个表格补充完整； 得出结论：可以推断出______镇这一年中环境状况比较好，理由为_____________. （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 城镇 平均数 中位数 众数 千家店 80 50 永 宁 81.3 87.5 空气质量 次数镇 解：（1）1，9，2． ……1 分 （2） 82.5，90． ……3 分 （3）千家店镇 ……4 分 理由：千家店镇污染指数平均数为 80，永宁镇污染指数平均数为 81.3，所以千家店镇污染 指数平均数较低，空气质量较好；千家店镇空气质量为优的天数是 4 天，永宁镇空气质量为 优的天数是 1 天，所以千家店镇空气质量为优的天数多，空气质量较好．…6 分 4.（2018北京西城区九年级统一测试）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线G： 2 2 1( 0)y mx mx m m     与 y轴交于点C ，抛物线G的顶点为 D，直线 l： 1( 0)y mx m m    ． （1）当 1m  时，画出直线 l和抛物线G，并直接写出直线 l被抛物线G截得的线段长． （2）随着m取值的变化，判断点C ，D是否都在直线 l上并说明理由． （3）若直线 l被抛物线G截得的线段长不小于 2，结合函数的图象，直接写出m的取值范 围． 解：（1）当 1m  时，抛物线 G的函数表达式为 2 2y x x  ，直线 l的函数表达式为 y x ． 画出的两个函数的图象如图 6所示．……………1分 2 ．……………………………………………… 2分 （2）∵ 抛物线 G： 2 2 1y mx mx m    (m≠0) 与 y轴交于点 C， ∴ 点 C的坐标为 (0, 1)C m  ． ∵ 2 22 1 ( 1) 1y mx mx m m x       ， ∴ 抛物线 G的顶点 D的坐标为 ( 1, 1)  ． 对于直线 l： 1y mx m   (m≠0)， 当 0x  时， 1y m  ； 当 1x   时， ( 1) 1 1y m m       ． ∴ 无论 m取何值，点 C，D都在直线 l上．……………………………………4分 （3）m的取值范围是 m≤ 3 或 m≥ 3． ……………………………………… 6分 5．（2018北京海淀区第二学期练习）在研究反比例函数 1y x  的图象与性质时，我们对函数 解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量 x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被 y轴分成两部分； 其次，分析解析式，得到 y随 x的变化趋势：当 0x  时，随着 x值的增大， 1 x 的值减小，且 逐渐接近于零，随着 x值的减小， 1 x 的值会越来越大，由此，可以大致画出 1y x  在 0x  时的部分图象，如图 1 所示： 利用同样的方法，我们可以研究函数 1 1 y x   的图象 与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图 2 所示. （1）请沿此思路在图 2 中完善函数图象的草图并标出 此函数图象上横坐标为 0 的点 A；（画出网格区域内的部分 即可） （2）观察图象，写出该函数的一条性质： ____________________； （3）若关于 x的方程 1 ( 1) 1 a x x    有两个不 相等的实数根， 结合图象，直接写出实数 a的取值范围： ___________________________. 解：（1）如图： ……2分 （2）当 1x  时， y随着 x的增大而减小；（答案不唯一） ……4分 （3） 1a  . ………………6分 6.（2018 北京怀柔区一模）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学 生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下， 请补充完整. 收集数据 从选择篮球和排球的学生中各随机抽取 16 人，进行了体育测试，测试成绩（十 分制）如下： 排球 10 9.5 9.5 10 8 9 9.5 9 7 10 4 5.5 10 9.5 9.5 10 篮球 9.5 9 8.5 8.5 10 9.5 10 8 6 9.5 10 9.5 9 8.5 9.5 6 整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 4.0≤x＜5.5 5.5≤x＜7.0 7.0≤x＜8.5 8.5≤x＜10 10 排球 1 1 2 7 5 篮球 （说明：成绩 8.5 分及以上为优秀，6 分及以上为合格，6 分以下为不合格.） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 项目 平均数 中位数 众数 排球 8.75 9.5 10 篮球 8.81 9.25 9.5 得出结论 (1)如果全校有 160 人选择篮球项目，达到优秀的人数约为 人； (2)初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球 项目整体水平较高. 你同意 的看法， 理由为 .（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 解：补全表格： 4.0≤x＜5.5 5.5≤x＜7.0 7.0≤x＜8.5 8.5≤x＜10 10 排球 1 1 2 7 5 篮球 0 2 1 10 3 …………………………………………………………………………………………………2 分 (1)130；…………………………………………………………………………………………4 分 (2)答案不唯一，理由需支持判断结论. ………………………………………………………6 分 7. （2018 北京门头沟区初三综合练习）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为 1 1( , )x y ， 点 N 的坐标为 2 2( , )x y ，且 1 2x x ， 1 2y y ,我们规定：如果存在点 P，使 MNP 是以线段 MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点 P 为点 M、N 的 “和谐点”. （1）已知点 A 的坐标为 )3,1( ， ①若点 B 的坐标为 )3,3( ，在直线 AB 的上方，存在点 A，B 的“和谐点”C，直接写出点 C的坐标； ②点 C 在直线 x=5 上，且点 C 为点 A，B 的“和谐点”，求直线 AC 的表达式. （2）⊙O 的半径为 r ，点 D (1 , 4)为点 E (1 , 2)、 F ),( nm 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙ O有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径 r 的取值范围. 备用图 1 备用图 2 解： (1) )5,3()5,1( 21 CC 或 . ……………………………………………2 分 由图可知，B )3,5( ∵A(1,3) ∴AB=4 项目 人数 成绩 x ∵ ABC 为等腰直角三角形 ∴BC=4 ∴ )1,5()7,5( 21 CC 或 设直线 AC 的表达式为 ( 0)y kx b k   当 )7,5(1C 时，      75 3 bk bk       2 1 b k 2 xy …………………………………3 分 当 )1,5(2 C 时，      15 3 bk bk       4 1 b k 4 xy …………………………………4 分 ∴综上所述，直线 AC 的表达式是 2 xy 或 4 xy (2)当点 F 在点 E 左侧时： 2 17r ≤ ≤ 当点 F 在点 E 右侧时： 5 17r ≤ ≤ …………………………………7 分 综上所述： 2 17r ≤ ≤ …………………………………8 分 8.（2018 北京石景山区初三毕业考试）如图，半圆O的直径 5cmAB  ，点M 在 AB上且 1cmAM  ，点 P是半圆O上的 动点，过点 B 作 BQ PM 交 PM （或 PM 的延长线）于点 Q .设 cmPM x ， cmBQ y .（当点 P与点 A或点 B重合时， y的值为 0） 小石根据学习 函数的经验，对函数 y随自 变量 x 的变化而变 化的规律进行了探究. 下面是小石的 探究过程，请补充完整： （1）通过取点、 画图、测量，得到了 x与 y的 几组值，如下表： / cmx 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 / cmy 0 3.7 3.8 3.3 2.5 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数 的图象； （3）结 合画出的 函数图象， 解决问题： 当 BQ 与 直径 AB所 夹的锐角 为60时， PM 的 长 度 约 为 cm . 解：（1）4； 0. ………………2分 （2） ………………4分 （3）1.1或3.7 . 9.(2018北京昌平区初一第一学期期末)28. 十九大报告中提出“广泛开展全民健身活动，加 快推进体育强国建设”.为了响应号召，提升学生训练兴趣，某中学自编“功夫扇”课 间操.若设最外侧两根大扇骨形成的角为∠COD，当“功夫扇”完全展开时∠COD=160°. 在扇子舞动过程中，扇钉 O始终在水平线 AB上. 小华是个爱思考的孩子，不但将以上实际问题抽象为数学问题，而且还在抽象出的图中 画出了∠BOC 的平分线 OE，以便继续探究. （1）当扇子完全展开且一侧扇骨 OD呈水平状态时，如图 1所示. 请在抽象出的图 2中 画出∠BOC 的平分线 OE，此时∠DOE的度数为 ； （2）“功夫扇”课间操有一个动作是把扇子由图 1旋转到图 3所示位置，即将图 2中的∠ COD绕点 O旋转至图 4所示位置，其他条件不变，小华尝试用如下两种方案探究了 ∠AOC和∠DOE度数之间的关系. 方 案 一 ： 设 ∠ BOE 的度数为 x. 可得出 180 2AOC= x-  ，则 1 1 180 90 2 2 x= AOC = AOC- -   （ ） . 160DOE= x-  ，则 160x= DOE-  . 进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系. 方案二：如图 5，过点 O作∠AOC的平分线 OF. 易得 90EOF= ，即 1 90 2 AOC+ COE=   . 由 160COD= ，可得 160DOE+ COE=   . 进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系. 参考小华的思路可得∠AOC 和∠DOE 度数之间的关系 为 ； （3）继续将扇子旋转至图 6所示位置，即将∠COD绕点 O旋转至如图 7所示的位置， 其他条件不变,请问（2）中结论是否依然成立？说明理由． 解 ：（ 1 ） 如 图 1. …………………………………………1 分 ∠DOE 的度数为 80° . ……………………2 分 （2） 1 70 2 DOE AOC=-   . ………………………4 分 （3）不成立. 理由如下： 方法一： 设∠BOE 的度数为 x. 可得出 180 2AOC= x-  ，则 1 1 180 90 2 2 x= AOC = AOC- -   （ ） . ……5 分 160DOE= +x  ，则 160x= DOE-  . …………………………6 分 图 1 所以 1 250 2 DOE+ AOC=   . ……………………………………7 分 方法二：如图 2,过点 O 作∠AOC 的平分线 OF. 易得 90EOF= ，即 1 90 2 AOC+ COE=   . ……5 分 由 160COD= ，可得 160DOE COE=-   . …6 分 所以 1 250 2 DOE+ AOC=   . …………………7分 10．（2018 北京市石景山区初二期末）周末，老师带同学去北 京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为 三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积 极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如 下的数学问题： 如图 1，点 A，B，C，D 在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC， FB=FC”中选择三个．．作为已知条件，另一个．．．作为结论，构成真命题（补充已知和求证）， 并进行证明． 已知：如图 1，点 A，B，C，D在同一条直线上， ． 求证： ． 证明： 选择一： 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，EA=ED，EF⊥AD，AB=CD ． 求证：FB=FC． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明：如图，延长 EF 交 AD 于点 H ⋯⋯⋯⋯2 分 ∵EA=ED，EF⊥AD， ∴AH=DH．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4 分 ∵AB=CD ∴BH=CH． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 ∴EH 垂直且平分线段 BC ∴FB=FC． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） 选择二： 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，EF⊥AD，AB=CD ． 求证：EA=ED． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明方法同选择一，相应给分． 选择三： 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，EF⊥AD，EA=ED． 求证：AB=CD． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明：如图，延长 EF 交 AD 于点 H ⋯⋯⋯⋯2 分 ∵EA=ED，EF⊥AD， ∴AH=DH．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4 分 ∵FB=FC，EF⊥AD， ∴BH=CH． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 ∴AB=CD． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 选择四：方法 1 已知：如图 1，点 A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，AB=CD，EA=ED． 求证：EF⊥AD． ⋯⋯⋯⋯1 分 证明：过点 F 作 FH⊥AD 于点 H ∵FB=FC，EF⊥AD， ∴BH=CH． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分 ∵AB=CD，∴AH=DH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ∴点 F 在 AD 的中垂线上． ∵EA=ED， ∴点 E 在 AD 的中垂线上． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 根据两点确定一条直线 EF⊥AD．⋯ ⋯⋯⋯6 分 说明：学生没作辅助线，但是由 FB=FC 推得“点 F 在 BC 的中垂线上”，再由 AB=CD 直接推出“点 F 在 AD 的中垂线上”，后面同上，依然得分． 方法 2：简要思路 ①连接 FA，FD，同方法 1，证出“点 F 在 AD 的中垂线上”，从而证出 FA=FD； （或通过全等证明 FA=FD） ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分 ②利用 SSS 证明△EFA≌△EFD，从而∠1=∠2； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 ③利用等腰三角形的三线合一证得 EF⊥AD． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 说明：其他方法酌情给分． 11．（2018 北京市西城区八年级期末附加题）基础代谢是维持机体生命活动最基本的能量消 耗．在身高、年龄、性别相同的前提下（不考虑其他因素的影响），可以利用某基础代谢 估算公式，根据体重 x（单位：kg）计算得到人体每日所需基础代谢的能量消耗 y（单位： Kcal），且 y 是 x 的函数．已知六名身高约为 170cm 的 15 岁男同学的体重，以及计算得 到的他们每日所需基础代谢的能量消耗，如下表所示： 学生编号 A B C D E F 体重 x（kg） 54 56 60 63 67 70 每日所需基础代谢 的能量消耗 y（Kcal） 1596 1631 1701 1753.5 1823.5 1876 请根据上表中的数据回答下列问题： （1）随着体重的增加，人体每日所需基础代谢的能量消耗 ；（填“增大”、“减 小”或“不变”） （2）若一个身高约为 170cm 的 15 岁男同学，通过计算得到他每日所需基础代谢的能量 消耗为 1792Kcal，则估计他的体重最接近于（ ）； A．59kg B．62kg C．65kg D．68kg （3）当 54≤x≤70 时，下列四个 y 与 x 的函数中，符合表中数据的函数是（ ）． A． 2y x B． 10.5 1071y x   C． 10 1101y x  D． 17.5 651y x  解：（1）增大； ………………………………………………………………………… 2 分 （2）C； …………………………………………………………………………… 4 分 （3）D． …………………………………………………………………………… 6 分 备战中考数学专题二：2.2 二元一次方程组 一、选择题 1. 方程 2x﹣ =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0 中，二元一次方程的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 二元一次方程组 的解为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“ ”中各填有一个式子，如果图中任意 三个“ ”中的式子之和均相等，那么 a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 4. 已知 是方程组 的解，则 a+b+c 的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D.无法确定 5. 早餐店里，小明妈妈买了 5 个馒头，3 个包子，老板少要 1 元，只要 10 元；小红爸爸买 了 8 个馒头，6 个包子，老板九折优惠，只要 18 元．若馒头每个 x 元，包子每个 y 元，则 所列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，周长为 34cm 的长方形 ABCD 被分成 7 个形状大小完全相同的小长方形，则长方形 ABCD 的面积为（ ） A. 49cm2 B. 68cm2 C. 70cm2 D. 74cm2 7. 陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种， 两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4 个 气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ） A. 19 B. 18 C. 16 D. 15 二、填空题 8. 若方程 xm﹣1﹣3yn+1=5 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m+n=________． 9. 已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的一组解，则 a+b=________． 10. 二元一次方程 的非负整数解为________ 11. 二元一次方程组 的解和二元一次方程 5x+3y=14 的解相同，则 a=________. 12. 如果 是关于 的二元一次方程，那么 =________ 13. 已知关于 x，y 的二元一次方程 2x＋□y＝7 中，y 的系数已经模糊不清，但已知 是 这个方程的一个解，那么原方程是________． 三、计算题 14. 求下列二元一次方程的整数解． （1）5x+10y=20； （2）3x-4y=7； （3）4x+7y=8； （4）13x+30y=4． 15. 解下列方程组： （1） ， （2） 16. 解方程组： （1） （2） ． 17. 已知 x，y 满足方程组 ，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值． 四、解答题 18. 某机械厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 50 个或螺母 20 个，如果一个 螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好 能是每天生产出来的产品配成一套？ 19. 某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置 12 户居民，则在规定时间内只能 安置 90%的居民户；若每个月安置 16 户居民，则可提前一个月完成安置任务，问要安置多 少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解） 20. 从 A 城到 B 城，水路比陆路近 40 千米，上午 11 时，一只轮船以每小时 24 千米的速度 从 A 城向 B 城行驶，下午 2 时，一辆汽车以每小时 40 千米的速度从 A 城向 B 城行驶，轮船 和汽车同时到达 B 城，求 A 城到 B 城的水路和陆路各多长？ 参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3. A 4.A 5. B 6. C 7.C 二、填空题 8.2 9.5 10. ， ， ， ， 11.2 12. 13.2x+3y=7 三、计算题 14.（1）解：由 5x+10y=20 得 x+2y=4， ∴x=4-2y， ∴x=0，y=2 是原方程的一组解， ∴原方程的整数解为： ，（k 为任意整数）. （2）解：∵3x-4y=7， ∴x= =2+y+ ， ∵x 为整数， ∴3|1+y， ∴y=2，x=5， ∴x=5，y=2 是原方程的一组解， ∴原方程的整数解为： ，（k为任意整数）. （3）解：∵4x+7y=8， ∴x= =2- ， ∵x 为整数， ∴4|7y， ∴y=4，x=-5， ∴x=-5，y=4 是原方程的一组解， ∴原方程的整数解为： ，（k为任意整数）. （4）解：∵13x+30y=4， ∴x= =1-2y- ， ∵x 为整数， ∴13|9+4y， ∴y=1，x=-2， ∴x=-2，y=1 是原方程的一组解， ∴原方程的整数解为： ，（k 为任意整数）. 15. （1）解：方程组整理得： ， 得： 把 代入（1）得： ， 原方程组的解为： （2）解：方程组 ， 去分母整理得： 去分母整理得： ， 得： ， 把 代入（3）得： ，∴原方程组的解为 16.（1）解： 将①代入②，得 3（3+2y）﹣8y=13， 解得，y=﹣2， 将 y=﹣2 代入①，得 x=﹣1 ∴原方程组的解是： （2）解：①+②，得 2x+3y=18④ ③﹣①，得 2x﹣2y=﹣2⑤ ④﹣⑤，得 5y=20， 解得，y=4， 将 y=4 代入④，得 x=3， 将 x=3，y=4 代入①，得 z=5 ∴原方程组的解是 ． 17.解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2 ， ， ①+②得：3x=﹣3，即 x=﹣1， 把 x=﹣1 代入①得：y= ， 则原式= + = ． 四、解答题 18.解：设每天安排 x 名工人生产螺栓，y 名工人生产螺母。 解得 答：每天安排 20 名工人生产螺栓,100 名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成 一套。 19.解：设安置 x 户居民，规定时间为 y 个月． 则： ， 解得： ． 答：需要安置 80 户居民，规定时间为 6 个月． 20.解：设水路 a 千米,陆路 b 千米,根据题意可得: ,解得: , 答:水路 240 千米,陆路 280 千米 中考数学复习专题--《特殊平行四边形》 评卷人 得 分 一．选择题（共 12 小题） 1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补 2．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 4．以下条件不能判别四边形 ABCD 是矩形的是（ ） A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD 5．顺次连接四边形 ABCD 各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形 ABCD 的对 角线 AC 和 BD 只需满足的条件是 （ ） A．相等 B．互相垂直 C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分 6．已知菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，则菱形的边长是（ ） A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm 7．如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，以 A为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于 F，若 BF=12，AB=10，则 AE 的长为（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 8．如图，E，G，F，H分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EF⊥GH，若 AB=2，BC=3， 则 EF：GH=（ ） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定 9．如图：点 P是 Rt△ABC 斜边 AB 上的一点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，BC=15， AC=20，则线段 EF 的最小值为（ ） A．12 B．6 C．12.5 D．25 10．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， 点 E为垂足，连接 DF，则∠CDF 为（ ） A．80° B．70° C．65° D．60° 11．如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EP⊥CD 于点 P，则∠FPC 的度数为（ ） A．55° B．50° C．45° D．35° 12．如图，矩形 ABCD 中，O为 AC 中点，过点 O的直线分别与 AB，CD 交于点 E， F，连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论： ①FB⊥OC，OM=CM； ②△EOB≌△CMB； ③四边形 EBFD 是菱形； ④MB：OE=3：2． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 评卷人 得 分 二．填空题（共 6小题） 13．如图，菱形纸片 ABCD，∠A=60°，P 为 AB 中点，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP 所在的直线上，得到经过点 D的折痕 DE，则∠DEC 等于 度． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行， A，B两点的纵坐标分别为 3，1，反比例函数 y= 的图象经过 A，B两点，则菱形 ABCD 的面积为 ． 15．如图：在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E，则 DE 的长是 ． 16．平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AD，E、F、G 分别是 OC、OD，AB 的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB 平分∠EFG； ④EA 平分∠GEF；⑤四边形 BEFG 是菱形．其中正确的是 ． 17．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E是 BC 上一点，且 AB=BE， ∠1=15°，则∠2= ． 18．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC，PF⊥ BD 于 F，则 PE+PF 的值为 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共 6小题） 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接 DE 交 AC 于点 O． （1）证明：四边形 ADCE 为菱形． （2）BC=6，AB=10，求菱形 ADCE 的面积． 20．已知，如图，BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EF⊥BD 于 点 O，与 AD、BC 分别交于点 E、F．试判断四边形 BFDE 的形状，并证明你的结论． 21．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D是 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，DG⊥AB 于点 G，EK⊥AB 于点 K，GH⊥AC 于点 H、EK 和 GH 相交于点 F． 求证：GE 与 FD 互相垂直平分． 22．如图：在△ABC 中，CE、CF 分别平分∠ACB 与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于 E，AF⊥CF 于 F，直线 EF 分别交 AB、AC 于 M、N． （1）求证：四边形 AECF 为矩形； （2）试猜想 MN 与 BC 的关系，并证明你的猜想； （3）如果四边形 AECF 是菱形，试判断△ABC 的形状，直接写出结果，不用说明 理由． 23．如图：矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1． （1）判断△BEC 的形状，并说明理由？ （2）判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断； （3）求四边形 EFPH 的面积． 24．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为 AC 的中线，过点 C作 CE⊥BD 于点 E， 过点 A作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连 接 BG、DF． （1）求证：BD=DF； （2）求证：四边形 BDFG 为菱形； （3）若 AG=13，CF=6，求四边形 BDFG 的周长． 2017---2018 学年中考数学复习专题--《特殊平行四边 形》 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补 【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以 A选项错误； B、平行四边形的对角线互相平分，所以 B选项错误； C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以 C选项正确； D、平行四边形的对角相等，所以 D选项错误． 故选 C． 2．能判定一个四边形是菱形的条件是（ ） A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角 【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形． ∴A、B、D都不正确． ∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 故 C正确． 故选 C． 3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且 都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等； 菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱 形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角； ∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选 D． 4．以下条件不能判别四边形 ABCD 是矩形的是（ ） A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD 【解答】解：如图： A、∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵∠BAD=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形，故本选项错误； B、∵OA=OB=OC=OD， ∴AC=BD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是矩形，故本选项错误； C、∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AC=BD， ∴四边形 ABCD 是矩形，故本选项错误； D、∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 根据 OA=OC，OB=OD 不能推出平行四边形 ABCD 是矩形，故本选项正确； 故选 D． 5．顺次连接四边形 ABCD 各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形 ABCD 的对 角线 AC 和 BD 只需满足的条件是 （ ） A．相等 B．互相垂直 C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分 【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系： ①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形； ②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形； ③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形； ④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形． 因为顺次连接四边形 ABCD 各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形 ABCD 的对 角线 AC 和 BD 相等． 故选 A． 6．已知菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，则菱形的边长是（ ） A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm 【解答】解：如图：∵菱形 ABCD 中 BD=8cm，AC=6cm， ∴OD= BD=4cm，OA= AC=3cm， 在直角三角形 AOD 中 AD= = =5cm． 故选 D． 7．如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，以 A为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于 F，若 BF=12，AB=10，则 AE 的长为（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 【解答】解：连结 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图， ∵AO 平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AB=EB， 同理：AF=BE， 又∵AF∥BE， ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∴四边形 ABEF 是菱形， ∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：OA= = =8， ∴AE=2OA=16． 故选：A． 8．如图，E，G，F，H分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EF⊥GH，若 AB=2，BC=3， 则 EF：GH=（ ） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定 【解答】解： 过 F作 FM⊥AB 于 M，过 H作 HN⊥BC 于 N， 则∠4=∠5=90°=∠AMF ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF， ∴四边形 AMFD 是矩形， ∴FM∥AD，FM=AD=BC=3， 同理 HN=AB=2，HN∥AB， ∴∠1=∠2， ∵HG⊥EF， ∴∠HOE=90°， ∴∠1+∠GHN=90°， ∵∠3+∠GHN=90°， ∴∠1=∠3=∠2， 即∠2=∠3，∠4=∠5， ∴△FME∽△HNG， ∴ = = ∴EF：GH=AD：CD=3：2． 故选 B． 9．如图：点 P是 Rt△ABC 斜边 AB 上的一点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，BC=15， AC=20，则线段 EF 的最小值为（ ） A．12 B．6 C．12.5 D．25 【解答】解：如图，连接 CP． ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= = =25， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°， ∴四边形 CFPE 是矩形， ∴EF=CP， 由垂线段最短可得 CP⊥AB 时，线段 EF 的值最小， 此时，S△ABC= BC•AC= AB•CP， 即 ×20×15= ×25•CP， 解得 CP=12． 故选 A． 10．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， 点 E为垂足，连接 DF，则∠CDF 为（ ） A．80° B．70° C．65° D．60° 【解答】解：如图，连接 BF， 在△BCF 和△DCF 中， ∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF ∴△BCF≌△DCF ∴∠CBF=∠CDF ∵FE 垂直平分 AB，∠BAF= ×80°=40° ∴∠ABF=∠BAF=40° ∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60° ∴∠CDF=60°． 故选 D． 11．如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EP⊥CD 于点 P，则∠FPC 的度数为（ ） A．55° B．50° C．45° D．35° 【解答】解：延长 PF 交 AB 的延长线于点 G．如图所示： 在△BGF 与△CPF 中， ， ∴△BGF≌△CPF（ASA）， ∴GF=PF， ∴F为 PG 中点． 又∵由题可知，∠BEP=90°， ∴EF= PG， ∵PF= PG， ∴EF=PF， ∴∠FEP=∠EPF， ∵∠BEP=∠EPC=90°， ∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°， ∵E，F分别为 AB，BC 的中点， ∴BE=BF，∠BEF=∠BFE= （180°﹣70°）=55°， ∴∠FPC=55°； 故选：A． 12．如图，矩形 ABCD 中，O为 AC 中点，过点 O的直线分别与 AB，CD 交于点 E， F，连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论： ①FB⊥OC，OM=CM； ②△EOB≌△CMB； ③四边形 EBFD 是菱形； ④MB：OE=3：2． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：连接 BD， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD，AC、BD 互相平分， ∵O为 AC 中点， ∴BD 也过 O点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°，OB=OC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=BC=OC，∠OBC=60°， 在△OBF 与△CBF 中 ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF 与△CBF 关于直线 BF 对称， ∴FB⊥OC，OM=CM； ∴①正确， ∵∠OBC=60°， ∴∠ABO=30°， ∵△OBF≌△CBF， ∴∠OBM=∠CBM=30°， ∴∠ABO=∠OBF， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE， ∵OA=OC， 易证△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴OB⊥EF， ∴四边形 EBFD 是菱形， ∴③正确， ∵△EOB≌△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△CMB 错误． ∴②错误， ∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°， ∴MB= ，OF= ， ∵OE=OF， ∴MB：OE=3：2， ∴④正确； 故选：C． 二．填空题（共 6小题） 13．如图，菱形纸片 ABCD，∠A=60°，P 为 AB 中点，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP 所在的直线上，得到经过点 D的折痕 DE，则∠DEC 等于 75 度． 【解答】解：连接 BD， ∵四边形 ABCD 为菱形，∠A=60°， ∴△ABD 为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， ∵P为 AB 的中点， ∴DP 为∠ADB 的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°， 在△DEC 中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°． 故答案为：75． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行， A，B两点的纵坐标分别为 3，1，反比例函数 y= 的图象经过 A，B两点，则菱形 ABCD 的面积为 4 ． 【解答】解：过点 A作 x轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E， ∵A，B两点在反比例函数 y= 的图象上且纵坐标分别为 3，1， ∴A，B横坐标分别为 1，3， ∴AE=2，BE=2， ∴AB=2 ， S 菱形 ABCD=底×高=2 ×2=4 ， 故答案为 4 ． 15．如图：在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E，则 DE 的长是 3 ． 【解答】解：如图，连接 CE， ， 设 DE=x，则 AE=8﹣x， ∵OE⊥AC，且点 O是 AC 的中点， ∴OE 是 AC 的垂直平分线， ∴CE=AE=8﹣x， 在 Rt△CDE 中， x2+42=（8﹣x）2 解得 x=3， ∴DE 的长是 3． 故答案为：3． 16．平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=2AD，E、F、G 分别是 OC、OD，AB 的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB 平分∠EFG； ④EA 平分∠GEF；⑤四边形 BEFG 是菱形．其中正确的是 ①②④ ． 【解答】解：令 GF 和 AC 的交点为点 P，如图所示： ∵E、F分别是 OC、OD 的中点， ∴EF∥CD，且 EF= CD， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD，且 AB=CD， ∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等）， ∵点 G为 AB 的中点， ∴BG= AB= CD=FE， 在△EFG 和△GBE 中， ， ∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立， ∴∠EGF=∠GEB， ∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行）， ∵BD=2BC，点 O为平行四边形对角线交点， ∴BO= BD=BC， ∵E为 OC 中点， ∴BE⊥OC， ∴GP⊥AC， ∴∠APG=∠EPG=90° ∵GP∥BE，G 为 AB 中点， ∴P为 AE 中点，即 AP=PE，且 GP= BE， 在△APG 和△EGP 中， ， ∴△APG≌△EPG（SAS）， ∴AG=EG= AB， ∴EG=EF，即①成立， ∵EF∥BG，GF∥BE， ∴四边形 BGFE 为平行四边形， ∴GF=BE， ∵GP= BE= GF， ∴GP=FP， ∵GF⊥AC， ∴∠GPE=∠FPE=90° 在△GPE 和△FPE 中， ， ∴△GPE≌△FPE（SAS）， ∴∠GEP=∠FEP， ∴EA 平分∠GEF，即④成立． 故答案为：①②④． 17．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E是 BC 上一点，且 AB=BE， ∠1=15°，则∠2= 30° ． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OB=OC，OB=OA， ∴∠OCB=∠OBC， ∵AB=BE，∠ABE=90°， ∴∠BAE=∠AEB=45°， ∵∠1=15°， ∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠AOB=30°+30°=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB=OB， ∵∠BAE=∠AEB=45°， ∴AB=BE， ∴OB=BE， ∴∠OEB=∠EOB， ∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°， ∴∠OEB=75°， ∵∠AEB=45°， ∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°， 故答案为：30°． 18．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC，PF⊥ BD 于 F，则 PE+PF 的值为 ． 【解答】解：连接 OP， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD， ∴OA=OD=OC=OB， ∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC= S 矩形 ABCD= ×6×8=12， 在 Rt△BAD 中，由勾股定理得：BD= = =10， ∴AO=OD=5， ∵S△APO+S△DPO=S△AOD， ∴ ×AO×PE+ ×DO×PF=12， ∴5PE+5PF=24， PE+PF= ， 故答案为： ． 三．解答题（共 6小题） 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接 DE 交 AC 于点 O． （1）证明：四边形 ADCE 为菱形． （2）BC=6，AB=10，求菱形 ADCE 的面积． 【解答】证明：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点， ∴CD= AB=AD， 又∵AE∥CD，CE∥AB ∴四边形 ADCE 是平行四边形， ∴平行四边形 ADCE 是菱形； （2）在 Rt△ABC 中，AC= = =8． ∵平行四边形 ADCE 是菱形， ∴CO=OA， 又∵BD=DA， ∴DO 是△ABC 的中位线， ∴BC=2DO． 又∵DE=2DO， ∴BC=DE=6， ∴S 菱形 ADCE= = =24． 20．已知，如图，BD 为平行四边形 ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EF⊥BD 于 点 O，与 AD、BC 分别交于点 E、F．试判断四边形 BFDE 的形状，并证明你的结论． 【解答】答：四边形 BFDE 的形状是菱形， 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，OB=OD， ∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB， ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF， 又∵ED∥BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴▱ BEDF 是菱形． 21．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D是 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，DG⊥AB 于点 G，EK⊥AB 于点 K，GH⊥AC 于点 H、EK 和 GH 相交于点 F． 求证：GE 与 FD 互相垂直平分． 【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC， ∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH， ∴四边形 DEFG 是平行四边形， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△DGB 和△DEC 中， ， ∴△DGB≌△DEC（AAS）， ∴DG=DE， ∵四边形 DEFG 是平行四边形， ∴四边形 DEFG 是菱形， ∴GE 与 FD 互相垂直平分． 22．如图：在△ABC 中，CE、CF 分别平分∠ACB 与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于 E，AF⊥CF 于 F，直线 EF 分别交 AB、AC 于 M、N． （1）求证：四边形 AECF 为矩形； （2）试猜想 MN 与 BC 的关系，并证明你的猜想； （3）如果四边形 AECF 是菱形，试判断△ABC 的形状，直接写出结果，不用说明 理由． 【解答】（1）证明：∵AE⊥CE 于 E，AF⊥CF 于 F， ∴∠AEC=∠AFC=90°， 又∵CE、CF 分别平分∠ACB 与它的邻补角∠ACD， ∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF， ∴∠ACE+∠ACF= （∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）= ×180°=90°， ∴三个角为直角的四边形 AECF 为矩形． （2）结论：MN∥BC 且 MN= BC． 证明：∵四边形 AECF 为矩形， ∴对角线相等且互相平分， ∴NE=NC， ∴∠NEC=∠ACE=∠BCE， ∴MN∥BC， 又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴N是 AC 的中点， 若 M不是 AB 的中点，则可在 AB 取中点 M1，连接 M1N， 则 M1N 是△ABC 的中位线，MN∥BC， 而 MN∥BC，M1即为点 M， 所以 MN 是△ABC 的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明 AM=BM） ∴MN= BC； 法二：延长 MN 至 K，使 NK=MN， 因为对角线互相平分， 所以 AMCK 是平行四边形，KC∥MA，KC=AM 因为 MN∥BC， 所以 MBCK 是平行四边形，MK=BC， 所以 MN= BC （3）解：△ABC 是直角三角形（∠ACB=90°）． 理由：∵四边形 AECF 是菱形， ∴AC⊥EF， ∵EF∥AC， ∴AC⊥CB， ∴∠ACB=90°．即△ABC 是直角三角形． 23．如图：矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1． （1）判断△BEC 的形状，并说明理由？ （2）判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断； （3）求四边形 EFPH 的面积． 【解答】（1）△BEC 是直角三角形： 理由是： ∵矩形 ABCD， ∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2， 由勾股定理得：CE= = = ， 同理 BE=2 ， ∴CE2+BE2=5+20=25， ∵BC2=52=25， ∴BE2+CE2=BC2， ∴∠BEC=90°， ∴△BEC 是直角三角形． （2）解：四边形 EFPH 为矩形， 证明：∵矩形 ABCD， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BP， ∴四边形 DEBP 是平行四边形， ∴BE∥DP， ∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP， ∴AE=CP， ∴四边形 AECP 是平行四边形， ∴AP∥CE， ∴四边形 EFPH 是平行四边形， ∵∠BEC=90°， ∴平行四边形 EFPH 是矩形． （3）解：在 Rt△PCD 中 FC⊥PD， 由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD， ∴CF= = ， ∴EF=CE﹣CF= ﹣ = ， ∵PF= = ， ∴S 矩形 EFPH=EF•PF= ， 答：四边形 EFPH 的面积是 ． 24．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为 AC 的中线，过点 C作 CE⊥BD 于点 E， 过点 A作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连 接 BG、DF． （1）求证：BD=DF； （2）求证：四边形 BDFG 为菱形； （3）若 AG=13，CF=6，求四边形 BDFG 的周长． 【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD 为 AC 的中线， ∴BD= AC， ∵AG∥BD，BD=FG， ∴四边形 BGFD 是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点 D是 AC 中点， ∴DF= AC， ∴BD=DF； （2）证明：∵BD=DF， ∴四边形 BGFD 是菱形， （3）解：设 GF=x，则 AF=13﹣x，AC=2x， ∵在 Rt△ACF 中，∠CFA=90°， ∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2， 解得：x=5， ∴四边形 BDFG 的周长=4GF=20． 单元检测六 圆 (时间:90 分钟 总分:120 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.如图,量角器外缘边上有A,P,Q三点,它们所表示的读数分别是180°,70°,30°,则∠PAQ 的大小为( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 答案 B 2. 如图,AB 为圆 O的直径,点 C 在圆 O上,若∠OCA=50°,AB=4,则 的长为( ) A. π B. π C. π D. π 答案 B 3. 如图,☉O 的半径为 5,弦 AB=8,M 是弦 AB 上的动点,则 OM 不可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A 4. 如图,已知圆柱体底面圆的半径为 ,高为 2,AB,CD分别是两底面的直径,AD,B C是母线.若一 只小虫从点 A 出发,从侧面爬行到点 C,则小虫爬行的最短路线的长度是( ) A.2 B. C. D.2 答案 A 5. 如图,PA,PB 是☉O 的切线,AC 是☉O 的直径,∠P=40°,则∠BAC 的度数是( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 答案 B 6.如图,水平地面上有一面积为 30π cm 2 的扇形 AOB,半径 OA=6 cm,且 OA 与地面垂直.在没 有滑动的情况下,将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直为止,则点 O 移动的距离为 ( ) A.π cm B.2π cm C.5π cm D.10π cm 答案 D 7. 如图,AB 是☉O 的直径,AD 是☉O 的切线,点 C 在☉O 上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则 BC 的长为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 8. 如图,已知☉O 的半径为 1,锐角三角形 ABC 内接于☉O,BD⊥AC 于点 D,OM⊥AB 于点 M,则 sin ∠CBD 的值等于 ( ) A.OM 的长 B.2OM 的长 C.CD 的长 D.2CD 的长 答案 A 9. 如图,已知直线 l 的解析式是 y= x-4,并且与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点.一个半径为 1.5 的☉C,圆心 C 从点(0,1.5)开始以每秒移动 0.5 个单位长度的速度沿着 y 轴向下运动,当☉C 与直线 l 相切时,则该圆运动的时间为( ) A.3 s 或 6 s B.6 s 或 10 s C.3 s 或 16 s D.6 s 或 16 s 答案 D 10. “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的 直径 AB=8 cm,圆柱体部分的高 BC=6 cm,圆锥体部分的高 CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是 ( ) A.68π cm 2 B.74π cm 2 C.84π cm 2 D.100π cm 2 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11. 如图,正方形 ABCD 是☉O 的内接正方形,点 P 是劣弧 上不同于点 C 的任意一点,则∠BPC 的 度数是 . 答案 45° 12. 如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r 上,下方的弧半径为r 下,则r 上 r下.(填 “>”“=”或“<”) 答案< 13. 如图,A,B 是☉O 上的两点,AC 是过点 A 的一条直线,若∠AOB=120°,则当∠CAB 的度数等于 时,AC 才能成为☉O 的切线. 答案 60° 14. 如图,在△ABC 中,BC=6,以点 A 为圆心,2 为半径的☉A 与 BC 相切于点 D,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,点 P是优弧 上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是 . 答案 6- π 15. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高 AO=8 m,母线 AB 与底面半径 OB 的夹 角为α,tan α= ,则圆锥的底面积是 m 2.(结果保留π) 答案 36π 16.如图,将边长为 cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动6次 后,正方形 ABCD 的中心 O经过的路线长是 cm. 答案 3π 三、解答题(56 分) 17. (6分)如图,已知△ABC,∠BAC=90°.请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似 的三角形.(保留作图痕迹,不写作法) 解如图,直线 AD 即为所作. 18.(8 分)如图,AC 是☉O 的直径,弦 BD 交 AC 于点 E. (1)求证:△ADE∽△BCE; (2)如果 AD2=AE·AC,求证:CD=CB. 证明(1)∵ ,∴∠ADE=∠BCE. 又∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE. (2)∵AD2=AE·AC,∴ . ∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD, ∴∠ADB=∠ACD. ∵ ,∴∠ADB=∠BCA. ∴∠ACD=∠BCA,∴ . ∵AC 是☉O的直径,∴ , ∴ ,∴CD=CB. 19.(10 分 ) 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 5 个 点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3). (1)画出△ABC 的外接圆☉P,并指出点 D与☉P 的位置关系; (2)若直线 l 经过点 D(-2,-2),E(0,-3),判断直线 l 与☉P的位置关系. 解(1)☉P 如图. 由图知,☉P的半径为 . 连接 PD.∵PD= ,∴点 D 在☉P 上. (2)直线 l 与☉P相切. 理由:连接 PE,PD. ∵直线 l 过点 D(-2,-2),E(0,-3), ∴PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5. ∴PE2=PD2+DE2. ∴△PDE 是直角三角形且∠PDE=90°. ∴PD⊥l. 又点 D在☉P 上,∴直线 l与☉P 相切. 20.(10 分)如图,已知△ABC 内接于☉O,AC 是☉O 的直径,D 是 的中点,过点 D 作直线 BC 的 垂线,分别交 CB,CA 的延长线于点 E,F. (1)求证:EF 是☉O 的切线; (2)若 EF=8,EC=6,求☉O 的半径. (1)证明如图,连接 OD 交 AB 于点 G. ∵D 是 的中点,OD 为半径,∴AG=BG. ∵AO=OC, ∴OG 是△ABC 的中位线. ∴OG∥BC,即 OD∥CE. ∵CE⊥EF,∴OD⊥EF. ∴EF 是☉O的切线. (2)解在 Rt△CEF 中,CE=6,EF=8, ∴CF=10. 设半径 OC=OD=r,则 OF=10-r. ∵OD∥CE,∴△FOD∽△FCE. ∴ ,∴ , ∴r= ,即☉O 的半径为 . 21.(10 分)在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以 BC 为直径作☉O交 AB 于点 D. (1)求线段 AD 的长度; (2)点 E 是线段 AC 上的一点,试问当点 E 在什么位置时,直线 ED 与☉O相切?请说明理由. 解(1)在 Rt△ACB 中, ∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°, ∴AB=5cm. 如图,连接 CD. ∵BC 为直径, ∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴Rt△ADC∽Rt△ACB. ∴ . ∴AD= (cm). (2)当点 E 是 AC 的中点时,直线 ED 与☉O 相切. 证明:如图,连接 OD,ED. ∵DE 是 Rt△ADC 的中线,∴ED=EC. ∴∠EDC=∠ECD. ∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD. ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴直线 ED 与☉O相切. 22.(12 分)如图①,已知在☉O 中,AB=2,CD=1 ,AD⊥BD,直线 AD,BC 相交于点 E. (1)求∠E 的度数; (2)如果点 C,D 在☉O 上运动,且保持弦 CD 的长度不变,那么,直线 AD,BC 相交所成锐角的大 小是否改变?试就以下三种情况进行探究,并说明理由(图形未画完整,请你根据需要补全). ①如图②,弦 AB 与弦 CD 交于点 F; ②如图③,弦 AB 与弦 CD 不相交; ③如图④,点 B 与点 C 重合. 解(1)如图①,连接 OC,OD. ∵AD⊥BD,∴AB 是直径. ∴OC=OD=CD=1. ∴∠COD=60°,∴∠DBE=30°. ∴∠E=60°. (2)①如图②,连接 OD,OC,AC. ∵DO=CO=CD=1, ∴△DOC 为等边三角形. ∴∠DOC=60°.∴∠DAC=30°. ∴∠EBD=30°. ∵∠ADB=90°,∴∠E=90°-30°=60°. ②如图③,连接 OD,OC. 同理可得∠CBD=30°,∠BED=90°-30°=60°. ③如图④,当点 B 与点 C 重合时,则直线 BE 与☉O只有一个公共点. ∴EB 恰为☉O 的切线.∴∠E=60°. 单元检测七 图形与变换 (时间:90 分钟 总分:120 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是( ) 答案 C 2. 如图所示的几何体是由 5个大小相同的小立方块搭成,则它的俯视图是( ) 答案 C 3.如图,“小鱼”与“大鱼”是位似图形,已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为(a,b),则 “大鱼”上对应“顶点”的坐标为( ) A.(-a,-2b) B.(-2a,b) C.(-2a,-2b) D.(-2b,-2a) 答案 C 4.如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以 C,D,E 为顶点的三角形与 △ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( ) A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2) 答案 B 5. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC=( ) A.73° B.56° C.68° D.146° 答案 A 6.将点 A(3,2)沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A',点 A'关于 y 轴对称的点的坐标是 ( ) A.(-3,2) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2) 答案 C 7.在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,则在同一路灯下( ) A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长 答案 D 8. 如图,点 A,B,C,D,E,F,G,H,K 都是 7×8 方格中的格点,为使△DEM∽△ABC,则点 M 应是 F,G,H,K 四点中的( ) A.F B.G C.H D.K 答案 C 9. 如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高.下午课外活动时她测得一根长 为 1 m 的竹竿的影长是 0.8 m.但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一 部分影子落在教学楼的墙壁上(如图).她先测得留在墙壁上的影高为 1.2 m,又测得地面的影 长为 2.6 m,请你帮她算一下,树高是( ) A.3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75 m 答案 C 1 0.在平面直角坐标系中,已知点 E(-4,2),F(-2,-2),以原点 O 为位似中心,位似比为 ,把 △EFO 缩小,则点 E 的对应点 E'的坐标是( ) A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1) 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11.在平面直角坐标系中,已知点 P(-3,2),点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点,将点 Q 向右平移 4 个单位长度得到点 R,则点 R 的坐标是 . 答案(1,-2) 12. 如图,已知零件的外径为 25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等,OC=OD)量零件的 内孔直径 AB.若 OC∶OA=1∶2,量得 CD=10 mm,则零件的厚度 x= mm. 答案 2.5 13.一个几何体的三视图如图所示,根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积 为 . 答案 24π 14. 如图,D,E是 AB的三等分点,DF∥EG∥BC,△ADF的面积是S1,四边形DFGE的面积是S2,四边形 EGCB 的面积是 S3,则 S1∶S2∶S3= . 答案 1∶3∶5 15. 如图,点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上,射线 CF 交 DA 的延长线于点 E.在不添加辅助线的 情况下,与△AEF 相似的三角形有 个. 答案 2 16.如图,在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中,点 G 在 CD 上,DE=2,将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针 旋转 60°,得到正方形 DE'F'G',此时点 G'在 AC 上,连接 CE',则 CE'+CG'= . 答案 三、解答题(56 分) 17.(6分)如图,在方格纸中(小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点均为格点,将△ABC沿x 轴向左平移 5 个单位长度,根据所给的直角坐标系(O 是坐标原点),解答下列问题: (1)画出平移后的△A'B'C',并直接写出点 A',B',C'的坐标; (2)求出在整个平移过程中,△ABC 扫过的面积. 解(1)平移后的△A'B'C'如图: 点 A',B',C'的坐标分别为(-1,5),(-4,0),(-1,0). (2)由平移的性质可知,四边形 AA'B'B 是平行四边形,∴△ABC 扫过的面积=S 四边形 AA'B'B+S△ABC =B'B·AC+ BC·AC =5×5+ ×3×5= . 18. (8 分)如图,D 为☉O上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD 是☉O 的切线; (2)过点 B 作☉O的切线交 CD 的延长线于点 E,BC=6, ,求 BE 的长. (1)证明如图,连接 OD. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵∠CDA=∠CBD, ∴∠CDA=∠ODB. 又 AB 是☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ADO+∠ODB=90°, ∴∠ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°, ∴OD⊥CD. ∵OD 是☉O的半径,∴CD 是☉O 的切线. (2)解∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD, ∴△CDA∽△CBD,∴ . ∵ ,BC=6,∴CD=4. ∵CE,BE 是☉O 的切线, ∴BE=DE,BE⊥BC, ∴BE2+BC 2=EC2 ,即 BE2+62=(4+BE)2 , 解得 BE= . 19.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知点 B(4,2),BA⊥x 轴于点 A. (1)将点 B 绕原点逆时针方向旋转 90°后得到点 C,求点 C的坐标; (2)将△OAB 平移得到△O'A'B',点 A 的对应点是 A',点 B 的对应点 B'的坐标为(2,-2),在坐 标系中作出△O'A'B',并写出点 O',A'的坐标. 解(1)如图,由旋转,可知 CD=BA=2,OD=OA=4, ∴点 C的坐标是(-2,4). (2)△O'A'B'如图,O'(-2,-4),A'(2,-4). 20.(10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把△ABO绕点B逆时针旋转, 得△A'BO',点 A,O 旋转后的对应点为 A',O',记旋转角为α. (1)如图①,若α=90°,求 AA'的长; (2)如图②,若α=120°,求点 O'的坐标; (3)在(2)的条件下,边 OA 上的一点 P 旋转后的对应点为 P',当 O'P+BP'取得最小值时,求点 P'的坐标(直接写出结果即可). 图① 图② 解(1)∵点 A(4,0),点 B(0,3), ∴OA=4,OB=3. 在 Rt△ABO 中, 由勾股定理,得 AB= =5. 根据题意,△A'BO'是△ABO 绕点 B逆时针旋转 90°得到的. 由旋转的性质,可得∠A'BA=90°,A'B=AB=5. ∴在 Rt△A'BA 中,AA'= =5 . (2)如图,根据题意, 由旋转的性质,可得∠O'BO=120°,O'B=OB=3. 过点 O'作 O'C⊥y 轴,垂足为 C,则∠O'CB=90°. 在 Rt△O'CB 中,由∠O'BC=180°-∠O'BO=60°, 得 O'C=O'B·sin∠O'BC=O'B·sin60°= , BC=O'B·cos∠O'BC=O'B·cos60°= . ∴OC=OB+BC= . ∴点 O'的坐标为 . (3) . 21. (10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,M 是边 CD 上一点,将△ADM 沿直线 AM 对折,得 到△ANM. (1)当 AN 平分∠MAB 时,求 DM 的长; (2)连接 BN,当 DM=1 时,求△ABN 的面积. 解(1)由折叠可知△ANM≌△ADM, ∴∠MAN=∠DAM. ∵AN 平分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB. ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠DAB=90°.∴∠DAM=30°, ∴DM=AD·tan∠DAM=3× . (2)如图,延长 MN 交 AB 的延长线于点 Q. ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥DC, ∴∠DMA=∠MAQ. 由折叠可知△ANM≌△ADM, ∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1. ∴∠MAQ=∠AMQ, ∴MQ=AQ. 设 NQ=x,则 AQ=MQ=1+x. 在 Rt△ANQ 中,AQ2=AN2+NQ2 , ∴(x+1)2=32+x2 ,解得 x=4. ∴NQ=4,AQ=5. ∵AB=4,AQ=5, ∴S△NAB= S△NAQ= AN·NQ= . 22.(12 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB, (1)图①中共有 对相似三角形,写出来分别为 (不需证明); (2)已知 AB=10,AC=8,请你求出 CD 的长; (3)在(2)的情况下,如果以AB为x轴,CD为y轴,点D为坐标原点O,建立直角坐标系(如图②), 若点 P从点 C出发,以每秒1个单位的速度沿线段 CB运动,点 Q从点 B出发,以每秒 1个单位 的速度沿线段 BA 运动,其中一点最先到达线段的端点时,两点即刻同时停止运动;设运动时 间为 t 秒,是否存在点 P,使以点 B,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出点 P 的 坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)题图①中共有 3 对相似三角形,分别为△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD. (2)题图①,在△ABC 中, ∵∠ACB=90°,AB=10,AC=8, ∴BC= =6. ∵△ABC 的面积= AB·CD= AC·BC, ∴CD= =4.8. (3)存在点 P,使以点 B,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,理由如下: 在△BOC 中,∵∠COB=90°,BC=6,OC=4.8, ∴OB= =3.6. 分两种情况:①当∠BQP=90°时,如图甲, 图甲 此时△PQB∽△ACB, ∴ .∴ , 解得 t=2.25,即 BQ=CP=2.25, ∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35,BP=BC-CP=6-2.25=3.75. 在△BPQ 中,由勾股定理, 得 PQ= =3, ∴点 P的坐标为(1.35,3). ②当∠BPQ=90°时,如图乙, 图乙 此时△QPB∽△ACB, ∴ . ∴ ,解得 t=3.75, 即 BQ=CP=3.75,BP=BC-CP=6-3.75=2.25. 过点 P作 PE⊥x轴于点 E. ∵△QPB∽△ACB, ∴ ,即 , ∴PE=1.8. 在△BPE 中,BE= = =1.35. ∴OE=OB-BE=3.6-1.35=2.25. ∴点 P的坐标为(2.25,1.8). 综上可得,点 P 的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8). 中考数学导向：3.2 一次函数 §3.2 一次函数 一、选择题 1．(改编题)若 y＝kx－4 的函数值 y 随 x 的增大而增 大，则 k 的值可能是下列的( ) A．－4 B．－12 C．0 D．3 解析 ∵在一次函数 y＝kx－4 中，y 随 x 的增大而 增大，∴k＞0.故选 D. 答案 D 2．(原创题)在同一平面直角坐标系中，若一次函数 y＝－x＋3 与 y＝3x－5 的图象交于点 M，则点 M 的坐标为 ( ) A．(－1，4) B．(－1，2) C．(2，－1) D．(2，1) 解析 由 y＝－x＋3，y＝3x－5 解得 x＝2，y＝1， 因此交点坐标是(2，1)．故选 D. 答案 D 3．(原创题)如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 y 轴 交于点(0，1)，则关于 x 的不等式 kx＋b1 的解集是( ) A．x0 B．x0 C．x1 D．x1 解析 不等式 kx＋b1，就是一次函数 y＝kx＋b 的函 数值大于 1，这部分图象在(0，1)的上方，此时，x0.故 选 B. 答案 B 4．(原创题)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 点 P以每秒 1 cm 的速度从点 A出发，沿折线 AC－CB 运动， 到点 B 停止，过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 y(cm) 与点 P 的运动时间 x(秒)的函数图象如图 2 所示，当点 P 运动 5 秒时，PD 的长是( ) A．1.5 cm B．1.2．1.8 cm D．2 cm 图 1 图 2 解析 由图 2 可得，AC＝3，BC＝4， 当 t＝5 时，如图所示： 此时 AC＋CP＝5，故 BP＝AC＋BC－AC－CP＝2， ∵sin∠B＝ACAB＝35， ∴PD＝BPsin∠B＝2×35＝65＝1.2 答案 B 5．(原创题)对于一次函数 y＝kx＋b(k≠0)，两个同 学分别作出了描述，小刚说：y 随 x 的增大而增大；小亮 说：b＜0；则与描述相符的图象是( ) 解析 ∵y 随 x 的增大而增大，∴k＞0，图象经过第一、 三象限．∵b＜0，∴图象与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上．故 选 A. 答案 A 二、填空题 6．(原创题)如果一次函数 y＝mx＋n 的图象经过第 一、二、四象限，则一次函数 y＝nx＋m 不经过第________ 象限． 解析 ∵y＝mx＋n 的图象经过第一、二、四象限， ∴m＜0，n＞0.∴y＝nx＋m 的图象经过第一、三、四象限， 不经过第二象限． 答案 二 7．(原创题)直线y＝3x＋2沿y轴向下平移5个单位， 则平移后直线与 y 轴的交点坐标为________． 解析 直线 y＝3x＋2 与 y 轴的交点坐标为(0，2)， 向下平移 5 个单位后，直线与 y 轴交点坐标为(0，－3)． 答案 (0，－3) 8．(原创题)已知点 A(1，5)，B(3，1)，点 M 在 x 轴 上，当 AM＋BM 最小时，点 M 的坐标为________． 解析 作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，则 B′(3，－ 1)．过 A，B′作直线，交 x 轴于点 M，则此时 AM＋BM 最 小．设 AB′的解析式为 y＝kx＋b，把 A(1，5)，B′(3， －1)代入，得 k＋b＝5，3k＋b＝－1，解得 k＝－3，b＝8， ∴该函数的解析式为 y＝－3x＋8.∵点 M 在 x 轴上，∴纵 坐标为 0.把 y＝0 代入 y＝－3x＋8，得 x＝83.∴点 M 的 坐标为 83，0. 答案 83，0 9．(原创题)直线 y＝(3－a)x＋b－4 在直角坐标系中 的图象如图所示，化简|b－a|－b2－8b＋16－|3－a|＝ ________． 解析 由函数图象看出，3－a＞0，b－4＞0，∴a＜3， b＞4.∴b＞a.∴|b－a|－b2－8b＋16－|3－a|＝|b－a| －（b－4）2－|3－a|＝b－a－b＋4－3＋a＝1. 答案 1 三、解答题 10．(改编题)已知一次函数 y＝kx＋b(k≠0)图象过 点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一 次函数的解析式． 解 ∵一次函数 y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)， ∴b＝2.令 y＝0，则 x＝－2k.∵函数图象与两坐标轴 围成的三角形面积为 2，∴12×2×－2k＝2，即 2k＝2， 当 k＞0 时，2k＝2，解得 k＝1； 当 k＜0 时，－2k＝2，解得 k＝－1. 故此函数的解析式为：y＝x＋2 或 y＝－x＋2．(改编 题)在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对 A，B 两 村之间的公路进行改造，并由甲工程队从 A 村向 B 村方向 修筑，乙工程队从 B 村向 A 村方向修筑．已知甲工程队先 施工 3 天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因 另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直 到公路修通．下图是甲、乙两个工程队修公路的长度y(米) 与施工时间 x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的 信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路多少米？ (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度 y(米)与施工 时间 x(天)之间的函数关系式． (3)若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几 天完成？ 解 (1)∵720÷(9－3)＝120， ∴乙工程队每天修公路 120 米． (2)设 y 乙＝kx＋b，则 3k＋b＝0，9k＋b＝720， ∴k＝120，b＝－360. ∴y 乙＝120x－360. 当 x＝6 时，y 乙＝360， 设 y 甲＝kx， 则 360＝6k，k＝60， ∴y 甲＝60x. (3)当 x＝15 时，y 甲＝900， ∴该公路总长为：720＋900＝1 620(米)． 设需 m 天完成，由题意得，(120＋60)m＝1 620， 解得 m＝9. 答：需 9 天完成．