2020九年级数学下册 第二章 二次函数

2020九年级数学下册 第二章 二次函数

课时作业(十七)‎ ‎[第二章　5　第1课时　二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系]‎ 一、选择题 ‎1．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是(　　)‎ A．2和－3 B．－2和3‎ C．2和3 D．－2和－3‎ ‎2．若二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图K－17－1所示，则m的值是(　　)‎ 图K－17－1‎ A．－8 B．8‎ C．±8 D．6‎ ‎3．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()‎ A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2‎ C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3‎ ‎4．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为(　　)‎ A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5‎ C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5‎ ‎5．如图K－17－2，一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是(　　)‎ 8‎ 图K－17－2‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．没有实数根 D．以上结论都正确 ‎6．下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是(　　)‎ A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧 C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧 二、填空题 ‎7．2018·孝感如图K－17－3，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________.‎ 图K－17－3‎ ‎　　‎ ‎8．如图K－17－4，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为________．‎ ‎　‎ 图K－17－4‎ ‎9．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为________．‎ 三、解答题 ‎10．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．‎ ‎(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点；‎ ‎(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？‎ 8‎ ‎11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K－17－5所示，根据图象解答下列问题：‎ ‎(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；‎ ‎(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；‎ ‎(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；‎ ‎(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.‎ 图K－17－5‎ ‎12．如图K－17－6，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)和B(3，0)两点，交y轴于点E(0，－3)．‎ ‎(1)求此抛物线的表达式；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．‎ 图K－17－6‎ 8‎ ‎13．2017·仙桃已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋(m2＋1)＝0有实数根．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)先作y＝x2－(m＋1)x＋(m2＋1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后所得图象的函数表达式；‎ ‎(3)在(2)的条件下，当直线y＝2x＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2－4n的最大值和最小值．‎ 阅读理解若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝.我们把它们称为一元二次方程根与系数的关系定理．‎ 如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，利用一元二次方程根与系数的关系定理可以得到A，B两点间的距离：‎ AB＝|x1－x2|＝＝＝＝.‎ 参考以上定理和结论，解答下列问题：‎ 如图K－17－7，设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．‎ ‎(1)当△ABC为等腰直角三角形时，求b2－‎4ac的值；‎ ‎(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－‎4ac的值．‎ 8‎ 图K－17－7‎ 8‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] A　二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标实际就是方程x2＋x－6＝0的两个根，由(x－2)(x＋3)＝0得两根分别为2和－3.‎ ‎2．[解析] B　∵二次函数图象与x轴有一个交点，‎ ‎∴b2－4ac＝m2－4×2×8＝0，‎ 解得m1＝8，m2＝－8.‎ ‎∵二次函数图象的对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，‎ ‎∴m＝8.‎ ‎3．[解析] B　把(1，0)代入y＝x2－3x＋m中，得0＝12－3×1＋m，∴m＝2.把m＝2代入方程x2－3x＋m＝0中，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.‎ ‎4．[解析] D　令y＝0得x2＋bx＝0，解得x1＝0，x2＝－b.∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴－b＝4，解得b＝－4.将b＝－4代入x2＋bx＝5得x2－4x＝5.整理得x2－4x－5＝0，即(x＋1)(x－5)＝0，解得x1＝－1，x2＝5.故选D.‎ ‎5．[解析] A　∵一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，‎ ‎∴ax2＋bx＋c＝－x有两个不相等的实数根，‎ ax2＋bx＋c＝－x可变形为ax2＋(b＋1)x＋c＝0，‎ ‎∴ax2＋(b＋1)x＋c＝0有两个不相等的实数根．‎ 故选A.‎ ‎6．[答案] D　‎ ‎7．[答案] x1＝－2，x2＝1‎ ‎[解析] ∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，‎ ‎∴方程组的解为 即关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为x1＝－2，x2＝1，‎ ‎∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.‎ 故答案为x1＝－2，x2＝1.‎ ‎8．[答案] 3‎ ‎[解析] 把(－1，0)，(1，－2)代入y＝x2＋bx＋c可求得函数表达式，并求出其图象的对称轴，根据点A的坐标求出点C的坐标，从而求出AC的长．‎ ‎9．[答案] 0，2或－2‎ ‎[解析] 分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，∴b2－‎4ac＝(m＋2)2－‎4m(m＋1)＝0且m≠0，解得m＝±2.‎ ‎②当函数是一次函数时，m＝0，此时函数的表达式是y＝2x＋1，图象和x轴只有一个交点．‎ ‎10．解：(1)证明：∵b2－‎4ac＝(－‎2m)2－4×1×(m2＋3)＝‎4m2‎－‎4m2‎－12＝－12＜0，‎ ‎∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，‎ 故不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点．‎ ‎(2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与 8‎ x轴只有一个公共点．‎ ‎11．(1)x1＝1，x2＝3　(2)1＜x＜3‎ ‎(3)x＞2　(4)k＜2‎ ‎12．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，‎ 把E(0，－3)代入得a×1×(－3)＝－3，解得a＝1，‎ 所以抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3.‎ ‎(2)把A(－1，0)代入y＝x＋m得－1＋m＝0，解得m＝1，‎ ‎∴直线AD的表达式为y＝x＋1.‎ 当x＝0时，y＝x＋1＝1，则F(0，1)．‎ 解方程组 得或则D(4，5)，‎ ‎∴△DEF的面积＝×4×4＝8.‎ ‎13．解：(1)对于一元二次方程x2－(m＋1)x＋(m2＋1)＝0，‎ Δ＝b2－4ac＝(m＋1)2－2(m2＋1)＝－m2＋2m－1＝－(m－1)2.‎ ‎∵方程有实数根，‎ ‎∴－(m－1)2≥0，∴m＝1.‎ ‎(2)由(1)可知y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，其变换图象如图所示：‎ ‎∴变化后所得图象的函数表达式为y＝－(x＋2)2＋2＝－x2－4x－2.‎ ‎(3)由消去y，得到x2＋6x＋n＋2＝0，‎ 由题意得Δ≥0，∴36－4n－8≥0，∴n≤7.‎ ‎∵n≥m，m＝1，∴1≤n≤7.‎ 令y′＝n2－4n＝(n－2)2－4，‎ ‎∴当n＝2时，y′的值最小，最小值为－4，‎ 当n＝7时，y′的值最大，最大值为21，‎ ‎∴n2－4n的最大值为21，最小值为－4.‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)当△ABC为等腰直角三角形时(如图)，过点C作CD⊥AB于点D，则AB＝2CD.‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，‎ 8‎ ‎∴b2－4ac>0，则＝b2－4ac.‎ ‎∵a＞0，∴AB＝＝.‎ 又∵CD＝＝，‎ ‎∴＝2×，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴b2－4ac＝.‎ ‎∵b2－4ac>0，∴b2－4ac＝4.‎ ‎(2)当△ABC为等边三角形时(如图)，‎ 过点C作CE⊥AB于点E，则CE＝AB.‎ 由(1)可知＝×.‎ ‎∵b2－4ac>0，∴b2－4ac＝12.‎ 8‎